第13讲三角形与全等三角形

1、.第13讲三角形与全等三角形考试目的锁定考纲要求备考指津1.理解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系2.理解三角形内角和定理及推论3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质4.掌握三角形全等的性质与断定，纯熟掌握三角形全等的证明.中考中多以填空题、选择题的形式考察三角形的边角关系，通过解答题来考察全等三角形的性质及断定全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考察学生综合运用知识的才能根底自主导学考点一三角形的概念及性质1概念：1由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形2三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形

2、和直角三角形2性质：1三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角2三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边考点二三角形中的重要线段1三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心2三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高特性：三角形的三条高线相交于一点3三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三

3、角形的中线特性：三角形的三条中线交于一点4三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半考点三全等三角形的性质与断定1概念：可以完全重合的两个三角形叫做全等三角形2性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等3断定：1有三边对应相等的两个三角形全等，简记为SSS；2有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为SAS；3有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为ASA；4有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS；5有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为HL考点四定义、命题、定理、公理1定义：

4、对一个概念的特征、性质的描绘叫做这个概念的定义2命题：判断一件事情的语句1命题由题设和结论两部分组成命题通常写成“假设那么的形式，“假设后面是题设，“那么后面是结论2命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题3互逆命题：在两个命题中，假设第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题3定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题所以不是所有的定理都有逆定理4公理：有一类命题的正确性是人们在长期的理论中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始根据，这样的真命题叫公理考点五证明1证明：从一

5、个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明2证明的一般步骤：1审题，找出命题的题设和结论；2由题意画出图形，具有一般性；3用数学语言写出、求证；4分析证明的思路；5写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密3反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的这种证明的方法叫做反证法1假设一个三角形三个内角度数的比为234，那么这个三角形是A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形2在ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，假设BC5，那么DE的长是

6、A2.5 B5 C10 D153如以下图，ABAC，要说明ADCAEB，需添加的条件不能是ABCBADAECADCAEBDDCBE4下面的命题中，真命题的是A有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等B有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等C有一条边对应相等的两个等腰三角形全等D有一条高对应相等的两个等边三角形全等5如图，在ABC中，D是BC边上的点不与B，C重合，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE.请你添加一个条件，使BDECDF不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，并给出证明1你添加的条件是：_；2证明：规律-方法探究一、三角形的边角关系【例1】 假设三角形三边长分别为3,4，x

7、1，那么x的取值范围是A0x8B2x8C0x6D2x6解析：三角形两边a，b的长，确定第三边c的取值范围，c应满足|ab|cab；要判断三条线段能否组成三角形，只要检验较短的两条线段之和是否大于第三条线段即可根据三角形的三边关系定理，得1x17，2x8.答案：B三角形边的关系的应用：1断定三条线段是否构成三角形；2已知两边的长，确定第三边的取值范围；3可证明线段之间的不等关系二、全等三角形的性质与断定【例2】 如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE. 1求证：ACDBCE；2假设D50°，求B的度数分析：此题综合考察三角形的全等及性质，利用“SAS断定AC

8、DBCE后，再利用性质可得到E50°，从而求出B解：1证明：C是线段AB的中点，ACBCCD平分ACE，CE平分BCD，12，23.13.又CDCE，ACDBCESAS212，23，123.360°.由ACDBCE，得DE.D50°，E50°.那么B180°E3180°50°60°70°.1断定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等2全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间

9、的等量关系如以下图，BACABD，ACBD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点试判断OE和AB的位置关系，并给出证明三、真假命题的判断【例3】 以下命题，正确的选项是A假设|a|b|，那么abB等腰梯形的对角线互相垂直C顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形D相等的圆周角所对的弧相等解析：A项不正确，例如：|2|2|，但22；B项不正确，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的断定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中答案：C对命题的正确性理解一定要准确，断定命题不成立时，有时可以举反

10、例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题四、证明的方法【例4】 如图，在梯形ABCD中，ADBC，BCDC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E. 求证：1BFCDFC；2ADDE.证明：1CF平分BCD，BCFDCF.在BFC和DFC中BFCDFC2如图，连接BDBFCDFC，BF=DF.FBD=FDBDFAB，ABD=FDBABD=FBDADBC，BDA=DBCBC=DC，DBC=BDCBDA=BDC又BD是公共边，BADBEDAD=DE.1证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法2证明的根本方法：

11、1综合法，从条件入手，探究解题途径的方法；2分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；3两头“凑的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法知能优化训练12021浙江台州如图，点D，E，F分别为ABC三边的中点，假设DEF的周长为10，那么ABC的周长为A5 B10C20 D4022020内蒙古呼和浩特以下判断正确的有顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形中心投影的投影线彼此平行在周长为定值p的扇形中，当半径为时扇形的面积最大相等的角是对顶角的逆命题是真命题A4个 B3个 C2个 D1个32020安徽芜湖如图，ABC中，ABC45°，F是高AD和BE的交点

12、，CD4，那么线段DF的长度为62020山东德州如图，ABAC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O. 1求证ADAE；2连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由1如图，为估计池塘岸边A，B的间隔 ，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA15米，OB10米，A，B间的间隔 不可能是ABDE，BCEF，ACDF；ABDE，BE，BCEF；BE，BCEF，CF；ABDE，ACDF，BE.其中，能使ABCDEF的条件共有A1组 B2组 C3组 D4组4如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于F，假设BFAC，那么ABC的大小是A40°B45

13、76;C50°D60°5如图，OADOBC，且O70°，C25°，那么AEB_.6如图，在ABC中，CD是ACB的平分线，A80°，ACB60°，那么BDC等于_7如以下图，三角形纸片ABC中，A65°，B75°，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，假设120°，那么2的度数为_8在边长为1的等边ABC中，中线AD与中线BE相交于点O，那么OA长度为_9如图，在ABC中，ACB90°，CDAB于点D，点E在AC上，CEBC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：ABFC参考答案根底自主导学自主测试1B2.A3.D4.D5解：1BDDC或点D是线段BC的中点，FDED，CFBE中任选一个即可2以BDDC为例进展证明：CFBE，FCDEBD.又BDDC，FDCEDB，BDECDF.规律方法探究变式训练解：OEAB.证明：在BAC和ABD中，BACABD.OBAOAB.OAOB.又AEBE，OEAB.知能优化训练中考回忆1C2.B3.B4.856解：1证明：在ACD与ABE中，AA，ADCAEB90°，ABAC，ACDABE.A