水力学第三章 第七节

1、3 3 水运动学水运动学 在运动的液体中取出一控制体在运动的液体中取出一控制体 平行六面微元体平行六面微元体xyzOAdydxdz设形心点坐标为设形心点坐标为 A=A(x,y,z) 边长为边长为 dx,dy,dz xyzOAdydxdzA点点 ： 密度密度 ，流速，流速 ux, uy, uz xyzOAdydxdz 2dyy 流速流速 侧面中心点侧面中心点 xyzOAdydxdz左侧面左侧面 zyyx,2d,2dyyuuyy zxddzxdd面面 积积右侧面右侧面 zyyx,2d,2dyy 2dyyuuyy 密度密度y方向：方向：流入和流出的液体质量之差为流入和流出的液体质量之差为 tzyxy

2、utzxyyuuyyzxyyuuyyyyyyyddddddd2d2ddd2d2d )()（xyzOAdydxdzx方向：方向：流入和流出的液体的质量之差为流入和流出的液体的质量之差为 tzyxxutzyxxuuxxzyxxuuxxxxxxxddddddd2d2ddd2d2d )()（xyzOAdydxdzxyzOAdydxdzz方向：方向：流入和流出的液体的质量之差为流入和流出的液体的质量之差为 tzyxzutyxzzuuzzyxzzuuzzzzzzzddddddd2d2ddd2d2d )()（三个方向：三个方向：dt时段内，时段内，流入与流出的液体质量变化：流入与流出的液体质量变化： tzy

3、xzuyuxuzyxdddd )()()(六面体内液体质量变化：六面体内液体质量变化：tzyxtmzyxzyxttmtzyxttdttzyxtttdddd ddddd)dd( :ddd)dd( :ddd : 根据质量守恒定律，则根据质量守恒定律，则tzyxzuyuxutzyxtzyxdddddddd )()()(水流连续方程水流连续方程0div:or0dd)dddd uzuyuxutzyxzuyuxuzyxtmzyxzyxt)()()(不可压缩流体不可压缩流体0div:or 0uzuyuxuzyx物理意义物理意义0zuyuxuzyxOyxSRPQxuyuOyxSRPQxdydxuyuOyxSR

4、PQxxuuxxdxxuuyydxdydxuyuOyxSRPQxuyuyyuuxxdxdydyyuuyydOyxSRPQxuyuyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddxdydOyxSRPQxuyuxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdyyuuyydyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddxdydOyxSRPQxuyuxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdyyuuyydyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddxdydx 位置平移位置平移OyxSRPQxuyuxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdyyuuyydyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddx

5、dydy 位置平移位置平移OyxSRPQxuyuxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdyyuuyydyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddxdydx 拉伸拉伸xxuxdOyxSRPQxuyuxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdyyuuyydyyuxxuuxxxddyyuxxuuyyyddxdydy 拉伸拉伸dyyuy OyxSRPQxxuuxxdxxuuyydyyuuxxdxdydyyuxxuuxxxddyyuuyydyyuxxuuyyyddyuxuxyz21 剪切变形速率剪切变形速率)(21yuxuxyz 旋转角速度旋转角速度物理意义物理意义0zuyuxuzyxl 线变率

6、：线变率： .,zuyuxuzzzyyyxxx 微分六面体沿坐标方向的线变形速率微分六面体沿坐标方向的线变形速率 微分六面体沿微分六面体沿x方向的线变形为方向的线变形为tzyxzuVtzyxyuVtzyxxuVtxxuzzyyxxxdddddddddddddd 微分六面体沿三个坐标方向的体积变化微分六面体沿三个坐标方向的体积变化0ddd)d(ddddddddddddtzyxzuyuxuVVVtzyxzuVtzyxyuVtzyxxuVzyxzyxzzyyxx 0ddd)d(ddddddddddddtzyxzuyuxuVVVtzyxzuVtzyxyuVtzyxxuVzyxzyxzzyyxx 平行六

7、面体体积变化为零平行六面体体积变化为零 液体平行六面体虽有平移和线变形，但其液体平行六面体虽有平移和线变形，但其体积变化为零，即一个方向拉伸，另一个方向体积变化为零，即一个方向拉伸，另一个方向压缩压缩 对不可压缩液体，由连续性方程，得对不可压缩液体，由连续性方程，得0zuyuxuzyx 对不可压缩液体，由连续性方程，得对不可压缩液体，由连续性方程，得根据高斯定理，曲面积分可表示根据高斯定理，曲面积分可表示式中，式中，S是体积是体积V的封闭表面；的封闭表面；un 封闭表面上各点处封闭表面上各点处流速在其外法线方向的投影。流速在其外法线方向的投影。0ddd)(Vzyxzyxzuyuxu0dSnsuVV: 控制体的体积控制体的体积恒定流时，流管的全部表面积恒定流时，流管的全部表面积 S 包括包括 两端断面：过水断面两端断面：过水断面 四周侧面：边壁四周侧面：边壁0dSnsuVS：A1，A2，SbA1A2Sb流管侧表面流管侧表面 ：un= 0上述曲面积分简化为上述曲面积分简化为0dSnsu0dd212211AAAuAu式中，式中，A1为流管的流入断面积，为流管的流入断面积，A2为流管流出断面为流管流出断面积；上式第一项取负号是因为流速方向与积；上式第一项取负号是因为流速方向与A1外法线外法线方向相反。方向相反。VS：A1，A2，SbA1A2Sb Q1 Q2