椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明

1、. . . .椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明（一） 椭圆中， PT 平分 PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆， 除去长轴的两个端点 .证明：延长 F2H 至 M ，交 PF1 于 MPT 平分 MPF2 ，又 F2HPT，|PM | | PF |2又| PF | | PF | 2a ，1 2| PM | | PF | 2a |F M | 2|OH | |OH | a .1 1H 轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点 .（二）椭圆中，椭圆焦点三角形中 , 以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切 .证明：如图，设以焦半径 MF

2、 2 为直径的圆的半径为 r1，圆心为 O1，由椭圆定义知|MF | | MF | | AB | | MF | | AB | |MF |1 2 1 21 1| OO | | MF | (| AB | | MF |) a r1 1 2 12 2O、O1 相内切（三）设 A 1、A2 为椭圆的左、右顶点，则 PF1F2 在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆， 必与 A 1A2 所在的直线切于 A 2（或 A 1）.证明：设旁切圆切 x 轴于 A' ，切PF 于 M ，F1P 于 N，2则| PN | | PM | ，|MF | |MA'| ，2| F N | |F A' |

3、 ，1 1| PF | |PM | | F F | |MF |1 1 2 2| PF | | PF | | F A '| | F F | | F A'|1 2 2 1 2 22a 2c 2| F A '| | F A'| a c | F A |2 2 2 2 A' 与 A2 重合 .（四）椭圆2 2x y2 2 1（abo）的两个顶点为 A1 ( a,0) , A2 ( a,0) ，a b与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时，A1P1 与 A 2P2 交点的轨迹方程是 2 2x y 2 2 1a b.证明：设交点S(x , y ) ， P1 (m

4、, n) ， P2 (m, n)0 0K KP A A S1 1 1K K ，P A P S2 2 2参考.资料. . . .ny02 2m a x a n n y y n y0 0 0 0n2 2 2 2y m a m a x a x a a m x a0 0 0 0m a x a0又 2 2 2 2 2 2m n n m n b 2 2 1 2 1 2 2 2 2 a b b a a m a2 2y b02 2 2x a a02 2x y0 02 2 1，即轨迹方程为a b2 2x y2 2 1a b（五） 若P0 (x0 , y0 ) 在椭圆2 2x y 2 2 1上， 则过a bP 的

5、椭圆的切线方0 x x y y程是 0 0 2 2 1.a b证明：对 x 求导可得：2x 2y y' 2 2a b0 y'2 2x b0y a0，切线方程为2x b0y y ( x x )0 2 0y a0即2 2 2 2 2 2y ya y a xx b x b ，0 0 0 0即2 2 2 2 2 2 2 2y ya xx b x b y a a b ，0 0 0 0xx yy 0 02 2 1a b（六）若P0 (x0 , y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1a b外 ，则过 P0 作椭圆的两条切线，切 点为 P1 、P2， 则切点 弦 P1P2 的直线方程 是x x

6、 y y0 02 2 1a b.证 明 ： 设 P1 (x1 , y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) ， 则 过 点 P1、P2 切 线 分 别 为x x y y x x y y1 1 2 2l1 : 2 2 1,l2 : 2 2 1a b a bP 在l1、l2 上 0x x y y1 0 1 02 2 1，a bx x y y2 0 2 02 2 1a b过 P1，P2 方程x x yy0 02 2 1a b参考.资料. . . .（七）AB 是椭圆2 2x y2 2 1的不平行于对称轴且不过原点的弦，a bM 为 AB 的中点，则k kOM AB2b2a.x x y y证明：设 A

7、( x , y ), B(x , y ) 则 M ( , )A B A BA A B B2 2K KOM AB2 2y y y y y yA B A B A B2 2x x x x x xA B A B A B又2 2 2 2 2 2 2 2x y x y x x y yA A B B A B A B2 2 1 2 2 2 2a b a b a bk kOM AB2 2ba（八） 若P0 (x0 , y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1内，则被 P0 所平分的中点弦a b的方程是2 2x x y y x y0 0 0 02 2 2 2a b a b.证法 1：由上题的结论得：2 2 2b b

8、 y b x0 0k k kAB OP AB2 2 20a a x a y0 0，弦 AB 方程为2 2 2b x yy xx y x0 0 0 0 0y y (x x )0 2 0 2 2 2 2y a b a b a0若P0 (x0 , y0 ) 在椭圆2 2x y2 2 1内，则过 P0 的弦中点的轨迹方a b程是2 2x yx x y y0 02 2 2 2a b a b.证法 2：设弦交椭圆于P1 (x1 , y1) ， P2 (x2 , y2 ) 中点 S(m, n) .2 2 2 2 2 2x y x y (x x )b mb1 1 2 2 1 21 k k2 2 2 2 2 2

9、P P P S1 2 0a b a b ( y y )a na1 2n y0m x02 2m n x m y n2 2 2 2 2 2 0 0m b mx b n a ny a0 0 2 2 2 2a b a b即2 2x y x x y y0 02 2 2 2a b a b.（九）过椭圆2 2x y2 2 1a b(a0, b0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且kBC2b x02a y0（常数） .证明：设两直线与椭圆交于点(x , y )(x , y ) .1 1 2 2参考.资料. . . .2 2 2 2 2

10、2 x y x y x y1 1 2 2 0 02 2 2 2 2 2 1a b a b a bkAB22y y x x b1 0 1 0x x y y a1 0 1 0kAC22y y x x b2 0 2 0x x y y a2 0 2 0由题意得22y y x x b1 0 2 0x x y y a1 0 2 0，22y y x x b2 0 1 0x x y y a2 0 1 0展开2 2 2 2( y y y y y y y )a (x x x x x x x )b1 2 0 2 0 1 0 1 2 2 0 1 0 02 2 2 2( y y y y y y y )a (x x x

11、x x x x )b1 2 0 1 0 2 0 1 2 1 0 2 0 02 22a y (y y ) 2b x ( x x )0 1 2 0 1 2得：2y yb x1 202x x a y1 2 0KBC（定值）（十） 椭圆2 2x y2 2 1a b(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上异于长轴端点的任意一点F PF ，则椭圆的焦1 2点三角形的面积为22b| PF | PF | ；1 21 cosS b 。2 tanF PF1 22证明：设| PF | m ，| PF2 | n ，则 m n 2a .1由余弦定理2 2 2 cos 4 2 4 2 4 2 ( )2

12、4 2m n mn c a b m n b ，2 2b22b (1 cos )mn |PF | PF | .1 21 cos21 1 2b2S m n sin sin b tan c | y |F PF P1 22 2 1 cos 2（十一） 若 P 为椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 ,PF F , PF2 F1 ，1 2则 tan tan2 2a ca c.证明： 设| PF | m ，| PF | n ，m n 2a ，1 2m n 2a a| F F | 2c c1 2参考.资料. . . .又2sin cos cosm n

13、sin sin 2 2 2| | sin( ) 2sin cos cosF F1 22 2 2cos cos sin sin 1 tan tan2 2 2 2 2 2cos cos sin sin 1 tan tan 2 2 2 2 2 2由、得： tan tan2 2a ca c（十二）椭圆2 2x y2 2 1a b（ab0）上存在两点关于直线 l ：y k( x x ) 对称的充要条件是02 2 2(a b )2x0 2 2 2a b k.分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线l ，斜1率为 1k，其中垂线 l 为y k(x x ) 则02 2 2(a b )x < 。20

14、 2 2 2a b k证明：设l 方程为11y x mk即 x mk ky ，中点为 (x, y )得(b2k 2 a2 ) y2 2mb2k 2 y b2 k2 m2 a2b2 02 22mb ky y1 2 2 2 2a b ky2 2mb k2 2 2a b k2ma kx mk my0 2 2 2b k ay y k(x x ) 代入(x ,0) ，02 2mk(a b )x0 2 2 2a b k 2 2 2 2 22m k (a b )x0 2 2 2 2(a b k )又 02m2 2 2a k b2k，2 2 2(a b )x0 2 2 2a b k注：还可以用点差法 .（十三

15、） 已知椭圆2 2x y2 2 1（ a>b>0）和a b2 2x y2 2a b（ 0 1 ），一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB =|CD .证明：设直线方程为 y kx m, 2 2x y 2 2a by kx m2 2 2 2x (kx m) 1 k 2km m2( )x x 02 2 2 2 2 2a b a b b b2 2 x y2 2 1视作 1的特殊情况 .a b参考.资料. . . .2km弦中点坐标xDx x 1 b21 2 22 2 1 k 2 2a b与 无关.而y kx m D( xD , yD ) 与 无关.D D线段 AD ,BC

16、中点重合 | AB | |CD |.（十四）已知椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b，A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点P(x ,0) , 则02 2 2 2a b a bx0a a.证明：设 A 为(x , y ) B 为 (x2 , y2 )1 12 2x x1 12 2a b1(x x )( x x ) ( y y )( y y )1 2 1 2 1 2 1 22 2x y2 22 2a b12 2a bx yD D2 2a bk2 2y 1 a bDPD x x y k xo D D D2x x k ao D2 2 2 2a b a ba x

17、a xD Da a（十五）已知椭圆方程为2 2x y2 2 1( 0),a ba b两焦点分别为F1, F2 , 设焦点 PF1F2 ， PF1F2 , PF2 F1 , 则椭圆的离心率sin( )e 。sin sin证明： 由正弦定理得：Fosin(1801F PF PF2 2) sin sin1由等比定理得：F F PF PF12 1 2sin( ) sin sin参考.资料. . . .而Fsin(1F c22) sin()，PF1 PF a22sin sin sin sinc sin( )e 。a sin sin（十六）已知椭圆方程为2 2x y2 2 1(a b 0),a b两焦点分

18、别为F1, F2 , 设焦点 PF1F2 中 F1PF2 ,则2cos 1 2e .证明 ：设 , ,PF1 r PF r 则在 F1 PF2 中，由余弦定理得：1 2 2cos2r122(r1r2)22r r1 22r r1 24c2222a2c2r r1 21 2 2 2 22a 2c 2a 2c 2 1 1 1 2e . r r 22a1 2 22( ) 2命题得证。1. 若 不给自 己设限 ，则人 生中就 没有限 制你发 挥的藩 篱。 2. 若不是 心宽似 海，哪 有人生 风平浪 静。在 纷杂的 尘世里 ，为自 己留下 一片纯 静的心 灵空间 ，不管 是潮起 潮落， 也不管 是阴晴 圆缺， 你都可 以免去 浮躁， 义无反 顾，勇 往直前 ，轻松 自如地 走好人 生路上 的每一 步 3.