完全平方公式

1、完全平方公式完全平方公式 （x 3)( x3）=x23x 3X 9=x26x多项式与多项式是如何相乘的？9 (a+b)(m+n) =am+an+bm+bn那么那么(a+b)(a+b)和和(a-b)(a-b)是否是否也能用一个公式来表示呢？也能用一个公式来表示呢？(2x2+y)(-2x2+y)探究探究：计算下列各式计算下列各式,你能发现什么规律你能发现什么规律?(1) (p+1)2 = (p+1) (p+1) = _(2) (m+2) 2 = _;(3) (n+3)2= _;(4) (p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = _;(5) (m-2)2 = _.(6) (n-3)2 = _.P

2、2+2p+1m2+4m+4P2-2p+1m2-4m+4猜想猜想 (a+b)2= (a -b)2=a2+2ab+b2a2 - 2ab+b2n2+6n+9n2-6n+9你能证明你的猜想吗？你能证明你的猜想吗？动手算一算动手算一算(a+b)2= (a -b)2=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2a2-ab-ab+b2=a2 -2ab+b2你的猜想正确吗？你的猜想正确吗？真棒！真棒！下面就让我们一起来给这个公式起个名字！下面就让我们一起来给这个公式起个名字！一般地一般地,我们有我们有即即两数和两数和(或差或差)的平方的平方,等于它们的平方和等于它们的平方和,加加(或减或减)它们的积的它们的积的

3、2倍倍.这两个公式叫做这两个公式叫做(乘法的乘法的)完全平方公式完全平方公式. (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b) 2 = a2-2ab +b2.公式特点：公式特点：4 4、公式中的字母、公式中的字母a a，b b可以表示数，单项式和可以表示数，单项式和 多项式多项式。1 1、积为二次三项式；、积为二次三项式；2 2、积中两项为两数的平方、积中两项为两数的平方和和；3 3、另一项是两数积的、另一项是两数积的2 2倍，且与乘式中倍，且与乘式中 间的符号相同。间的符号相同。首平方，尾平方，首平方，尾平方，积的积的2 2倍在中央倍在中央 做一做做一做:用两数和的完全平方公式计算用两数和的

4、完全平方公式计算(填空填空):(1)(a+1)2=( )2+2( )( )+( )2 =( )(2)(2a+3b)2=( )2+2( )( )+( )2 =( )做一做做一做:用两数用两数差差的完全平方公式计算的完全平方公式计算(填空填空):(1) (a-1)2=( )2+2( )( )+( )2 =( )(2) (2a-5b)2=( )2+2( )( )+( )2 =( ) (a+b)2=a2+2ab+b2, (a -b)2 =a2-2ab+b2例例1.运用完全平方公计算运用完全平方公计算(x+2y)2,(x-2y)2解解: (x+2y)2=( a+ b)2=a2+2 a b+ b2=x2+

5、4xy+4y2(x - 2y )2=(a - b )2 =a2 - 2 a b + b2x2 - 2 x 2y +( 2y )2 x2+ 2x2y + (2y)2=x2 - 4xy+4y2尝试应用尝试应用 1.运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1) (4m+n)2; (2) (y- )2.解解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2(4m)n+n2 = 16m2+8mn +n2; (2) (y - )2 = y2 - 2y + ( )2 = y2-y + 12121212142. 运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1) 1022 ; (2) 992 .解解: (1

6、) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +21002 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 .(2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -21001+12 = 10 000 - 200 + 1 = 9 801.下面各式的计算是否正确？如果不正确，下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2 +y2(2)(x - -y)2 =x2 - -y2(3) (x - -y)2 =x2+2xy +y2(4) (x+y)2 =x2 +xy +y2展示交流展示交流1.运用完全平方公式计算运用完全平方公式计算:(1)(

7、x+6)2; (2) (y-5)2;(3) (-2x+5)2; (4) ( x - y)2. （5）9822.下面各式的计算错在哪里下面各式的计算错在哪里?应当怎样改应当怎样改正正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2; (2) (a b) 2 =a2 b2.思考思考(a+b)2与与(-a-b)2相等吗相等吗?(a-b)2与与(b-a)2相等吗相等吗?(a-b)2与与a2-b2相等吗相等吗?为什么为什么?1.下列各式中与(x+1)相等的是( ) A.x+1 B.x+2x+1 C.x-2x+1 D.x-1 2.下列各式中是完全平方式的下列各式中是完全平方式的是是（ ） A.x+xy+yB.

8、y+2y+2 C.x+xy+y D.m-2m+13.下列计算中正确的是（下列计算中正确的是（ ） A. (x+2)=x+2x+4 B. (2x-y)=4x-2xy+y C. ( x-y)= x-xy+y D. (a+b)=a+bBDC4.计算：(1).(y-6) (2).(-1+y) (3).101 (4).(x+3)(x-3)(x-9)已知a+b=5,ab=4,求a2+b2的值，提示利用公式(a+b)2=a2+2ab+b2又a+b=5,ab=4,(a+b)2=25；2ab=8解 (a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2=(a+b)2-2aba2+b2=(a+b)2-2ab =25-8=17

9、你能算出（你能算出（a-b)2的值吗？的值吗？4题答案：题答案： (1) (y-6)=y-2y6+6=y-12y+36 (2) (-1+y) =(-1) +2(-1)(y)+ (y) =1-y+y (3) 101 =(100+1)=100+21001+1 =10000+200+1=10201 (4) (x+3)(x-3)(x-9) =(x-9) (x-9) = (x-9) =x4-2x9+9 =x4-18x+81 乘法公式：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式1.当a=-b时2.当a=b时(a+b) 2=a2+2ab+b2(a-b) 2=a2

10、 - 2ab+b2完全平方公式bbaa2)(ba(a+b)a2ab2bababab2+完全平方和公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解aabb(a-b)2)(ba2aab222aabbaababab2bbbb完全平方差公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解abaabb(a-b)2)(ba2aab222aabbaababab2bbbb完全平方差公式：完全平方公式完全平方公式 的图形理解的图形理解abab完全平方公式（二）完全平方公式（二） 有一位老人非有一位老人非常喜欢孩子，常喜欢孩子，每当有孩子到每当有孩子到他家做客时，他家做客时，老人都要拿出老人都要拿出糖果招待他

11、们，糖果招待他们，来一个孩子，来一个孩子，老人就给这个老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，子两块糖，来三个，就给每人三块糖，（1） 第一天有第一天有a个男孩去了老人家，老人一共个男孩去了老人家，老人一共 给了这些孩子多少块糖？给了这些孩子多少块糖？ （2） 第二天有第二天有b个女孩去了老人家，老人一个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？共给了这些孩子多少块糖？（3） 第三天这（第三天这（a+b）个孩子一起去看老人，个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？老人一共给了这些孩子多少块糖？（4） 这些孩子第三天得到的糖果数与前这些孩子第三天得到的糖果数与前 两两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？么？ 例例2. 利用完全平方公式计算：利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972 解：解： （1）1022=（ 100+2 ）2 = 1002+21002+22 （2）1972=（200-3）2 =2002-22003+32100+2100+2