精算模型分析学习教案

1、会计学1精算精算(jn sun)模型分析模型分析第一页，共92页。第1页/共92页第二页，共92页。第2页/共92页第三页，共92页。第3页/共92页第四页，共92页。0LXdYXdXdPundefinedXdYXdXd第4页/共92页第五页，共92页。x()P Xx012340.40.20.20.150.5假设免赔额为1，求每次理赔事件(shjin)的赔付额Y和每次损失事件(shjin)的赔付额的分布。 第5页/共92页第六页，共92页。()P Xxy()LP Yy012340.40.20.20.150.05001230.2/0.40.15/0.40.05/0.40.40.20.20.150

2、.05()PP Yyx第6页/共92页第七页，共92页。YL的分布容易(rngy)计算，(0)(0)()( )LLXYFP YP XdFd( )()(),y0LXYFyP XdyFdy()0()0LYXP Xdyffdyy第7页/共92页第八页，共92页。YP的分布是在Xd的条件(tiojin)下， Xd的条件(tiojin)分布。记YP的分布函数记为F YP(y)， 当y0时为， ( )()(|)PPYFyP YyP Xdy Xd(,)()P Xdy XdP Xd()( )1( )F ydF dF d当y0时， (0)0PYFYP的分布(fnb)密度函数可以写为 ()( )( ),01( )

3、PYYdf xdfxFxxdxF d第8页/共92页第九页，共92页。2、保单限额（Policylimit）含义：每次保险事故(shg)中按保险单所约定的最高赔偿金额。例如:最高保单限额为1500元数学形式：,PLXXuYYuXu( )()( ),PXYFyP XyFyyu( )()1,PPYFyyyuYP( )( )()PXYfyyufyP Xuyu第9页/共92页第十页，共92页。请问(qngwn)：当免赔额和保单限额同时存在时，情况会怎样？例2:设某医疗保险单上规定了免赔额为100,保单限额为5,000，有三个投保人看病花费分别为50,4000,和5500,问他们获得的赔付额各是多少?第

4、10页/共92页第十一页，共92页。注意：如果同时规定最高保单(bodn)限额为u，免赔额为d，则投保人所能得到的最高赔偿金额为u。0,LXdYXddXuduXud,PXdYXddXuduXud未定义第11页/共92页第十二页，共92页。解：设解：设Xi 表示表示(biosh)第第i个投保人的损失额个投保人的损失额, Yi 表示表示(biosh)他所获得的赔付他所获得的赔付, 则则所以，由所以，由X1=40, X2=4000, X3=5500, 得得Y1=0,Y2=4000-100=3900, Y3=5000Yi0,Xi100,5000,Xi100100 Xi5100Xi5100第12页/共9

5、2页第十三页，共92页。例例3：假设某险种的保单规定免赔额为：假设某险种的保单规定免赔额为100元，保单限额为元，保单限额为900元。假设损失服从元。假设损失服从(fcng)Weibull分布，分布，求理赔额求理赔额YP的分布。的分布。( )1,0,0,0 xF xex 第13页/共92页第十四页，共92页。解：设解：设X X表示实际表示实际(shj)(shj)损失额，损失额， YP YP表示理赔额，则表示理赔额，则 100100,1001000900,1000PXYXXXYP的分布函数(hnsh)和分布密度分别为0(100)(100)( ),09001(100)9001,XXYXyFyFFy

6、yFy0,未定义第14页/共92页第十五页，共92页。(100),09001(100)1(1000)( ),9001(100)0,900PXXXYXfyyFFfyyFy当y900时，1(1000)exp (1000) (900)1(100)exp (100) pXYXFfF当时(dngsh)， 0900y1(100)(100)exp(100) ( )1(100)exp (100) PXYXfyyxfyF 第15页/共92页第十六页，共92页。3、比例(bl)分担含义：在保险单中约定(yudng)一个比例常数，当损失事故中的实际损失额为X时，保险公司只赔付aX，例如，a0.8LPYYX1( )(

7、)PXYyfyf当免赔额、保单限额和比例(bl)分担三者同时存在时,(),(),PXdYXddXLLdXL未定义第16页/共92页第十七页，共92页。0,(),(),LXdYXddXLLdXL第17页/共92页第十八页，共92页。0()dXdIXXdXdXXdXddXd第18页/共92页第十九页，共92页。显然(xinrn)， ()dXdXIX设X表示损失额，YP表示每次赔偿理赔(lpi)额，YL每次损失的赔付额免赔额情形(qng xing)： (),|LLdYIXYYXdXd Xd保单限额()PLuYYXuXIX第19页/共92页第二十页，共92页。保单限额(xin )、免赔额同时存在 ()

8、()(),|LPLdu dYXudXdIXIXYYXd比例分担、保单(bodn)限额、免赔额同时存在： ()()()Ldu dYXudXdIXIX第20页/共92页第二十一页，共92页。ddFddxxxfdXE)(1 ()()(lim()()dE XdE X2.对于(duy)非负随机变量X, ddFddxxxfdXE0)(1 ()()(3、对非负随机变量X,0()(1( )dE XdF x dx第21页/共92页第二十二页，共92页。0000()( )(1( )(1( )|(1( )(1( )(1( )ddddE Xdxf x dx dF dxF xF y dy dF dF x dxE(X(u

9、d)E(Xd) (1F(x)dxdud第22页/共92页第二十三页，共92页。例例4 4：设某险种的损失：设某险种的损失(snsh)(snsh)额额X X具有密度函数具有密度函数 5)3(324)(xxfx0,假定最高理赔(lpi)额为u=4万元,求理赔(lpi)额的期望是多少?解：设理赔(lpi)额为Y，则XXuYYXuuXu4054032432481( )(3)|1(3)4(3)xxF xdyyyx 由第23页/共92页第二十四页，共92页。3027()(1( )1(3)dE XdF x dxd 知327( )(4)10.9212(34)E YE X 第24页/共92页第二十五页，共92页

10、。() ( )( )(|)1( )Xdxd f xedE Xd XddxF d()()( )1( )XXE XE XdedFdE(X)=E(Xd)+eX(d)(1-F(d)第25页/共92页第二十六页，共92页。例例5：设某险种的损失：设某险种的损失(snsh)额额X具有密度函数具有密度函数5324( ),0(3)f xxx假定免赔额等于0.2万元, 求每次损失事件实际赔付额和每次理赔(l pi)额事件理赔(l pi)额Y的期望。 第26页/共92页第二十七页，共92页。解解4054032432481( )(3)|1(3)4(3)xxF xdyyyx 经计算(j sun)得到 ，且 ()1E

11、X 41(0.2)81/(3.2)0.7724XF327(0.2)10.1760(30.2)E X 0.2()()(0.2)1 0.17600.8240E IXE XE X ()(0.2)1 0.1760( )1.0671(0.2)0.7725XE XE XE YF第27页/共92页第二十八页，共92页。上面的例子可以总结为下面的定理(dngl)：定理(dngl)设X表示实际损失额，免赔额为d，比例分担额a,保单覆盖的最大损失u，则每次损失赔付额YL和赔偿的理赔额Y的期望分别为() ()()LE YE XuE Xd() ()()()1( )1( )LPXXE YE XuE XdE YFdFd第

12、28页/共92页第二十九页，共92页。证明：保单(bodn)覆盖的最大损失u，则最高赔偿额为0,(),(),LXdYXddXuudXu可以(ky)表示为 ()()LYXuXd所以(suy)() ()()LE YE XuE Xd由于YP是Xd条件下，的值，因此LY() ()()()1( )1( )LPXXE YE XuE XdE YFdFd()ud第29页/共92页第三十页，共92页。对损失额的影响设X表示过去(guq)时期内损失额,Z表示现在或未来时期内的损失额,则两者的关系为Z=(1+r)X。容易计算得到2( )()(1)1( )()(1)(1)( )(1) (),var( )(1) var

13、()ZXZXzFzFrzfzfrrE Zr E XZrX第30页/共92页第三十一页，共92页。对理赔额的影响：定理：设X表示实际损失额,免赔额为d,保单覆盖的最大损失u和比例(bl)分担额a,通货膨胀率为r,则明年每次损失赔付额为0,/(1)(1),/(1)/(1)(),/(1)LXdrZr XddrXurudXur每次理赔(lpi)的理赔(lpi)额为/(1)(1),/(1)/(1)(),/(1)PXdrZr XddrXurudXur第31页/共92页第三十二页，共92页。*()(1) ( /(1)-(/(1)E ZarE XurE Xdr(1) ( / (1)-(/ (1)( )1()1

14、XarE XurE XdrE ZdFr第32页/共92页第三十三页，共92页。例例6 假设某险种在假设某险种在2003年的实际损失额服从离散分年的实际损失额服从离散分布布 。保单。保单(bodn)上规上规定每次损失的免赔额为定每次损失的免赔额为1500元。假设从元。假设从2003年到年到2004年的通货膨胀额为年的通货膨胀额为5，2004年的免赔额保持年的免赔额保持不变，求不变，求2004年的每次损失赔付额的期望是多少年的每次损失赔付额的期望是多少。比今年相比，增长率是多少？。比今年相比，增长率是多少？第33页/共92页第三十四页，共92页。121000()(123456) 100066E X

15、 解解15 15008500(1500)1000666E X150015 15008550()10001.0566 1.056 1.05E X今年每次损失(snsh)的索赔额为明年每次损失(snsh)的索赔额为*()()(1500)(210008500)/612500/6E YE XE X*11500()1.05 ()()13500/61.05E YE XE X增长率为8第34页/共92页第三十五页，共92页。2 通货膨胀率是随机通货膨胀率是随机(su j)的的 考虑模型Y=CX, 随机变量C和X是独立的, C1，C表示随机通货膨胀, 一般是主观预测得来(d li)，设其分布函数为FC(c),

16、 密度为fC(c)。若X的分布函数为 ( , )F x满足(mnz) ，则 ( , )( ,)cXXFxFx c00( )(|)( )( ,)( )YCXCFyP cXy Cc fc dcFy cfc dc0( )( ,)( )YXCfyfy cfc dc第35页/共92页第三十六页，共92页。容易(rngy)计算出，明年的损失额的期望和方差为( )()( ) ()E YE CXE C E X22( )() ()()( )Var YVar X E CE XVar C22222222222222( )()( )()() ()() ()() ()( )()()()()( )Var YE C XE

17、CE XE CE XE CE XE CE XE CE XE C Var XE XVar C这是因为第36页/共92页第三十七页，共92页。例例7 预测明年的通货膨胀率在预测明年的通货膨胀率在2%到到6%之间，之间， 而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失而且低通货膨胀率的可能性更大。设损失X服从服从均值均值(jn zh)为为10的指数分布，的指数分布， ，求，求明年损失额的期望。明年损失额的期望。 101( )10 xXfxe第37页/共92页第三十八页，共92页。解：不妨考虑解：不妨考虑(kol)这样一个密度函数这样一个密度函数 1( ),1.02c1.06Cfcac其中(qzhng) 1.0

18、61.0211.06ln()0.0384661.02adcc这个密度(md)函数满足低通货膨胀率的可能性更大这个条件。经计算得到C的期望和方差为1.061.021 11.06 1.02( )1.0399E Ccdca ca221.06221.021 11.061.02()1.08152E Ccdca ca第38页/共92页第三十九页，共92页。于是由公式计算(jsun)得到( )( ) ()1.0399(10)10.399E YE C E Xvar(Y) var(X)E(C2)(EX)2var(C) (1.0815)(102)(10)2(0.00013) 108.16第39页/共92页第四十页

19、，共92页。第40页/共92页第四十一页，共92页。第41页/共92页第四十二页，共92页。(),0,1,2,.kpP Nk k( )kNkk oPzp z其母函数(hnsh)为矩母函数为0( )zkNkkMze p母函数与矩母函数的关系( )()zNNMzP e第42页/共92页第四十三页，共92页。122222(1)()(1)(1)(1)()()()()()(1)(1)(1)kkkkPkpE NPk kpE N NE NE NVar NE NE NPPP第43页/共92页第四十四页，共92页。请问(qngwn)(0)?(0)?NNMM3、设NN1+Nn,Ni相互(xingh)独立，则11(

20、 )( )( )( )jjnNNjnNNjPzPzMzMz第44页/共92页第四十五页，共92页。()( ),0,1,2,!kttP N tkekk在单位时间(shjin)内理赔次数N的分布列为 (),0,1,2!kkpP Nkekk第45页/共92页第四十六页，共92页。泊松分布(fnb)的性质：（1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数（4）可加性()()E NVar N()( )exp( (1)!kkkNk ok ozPzz eezkk(1)( )()ttNeM tE ee第46页/共92页第四十七页，共92页。定理定理1：设：设 ,是相互独立的泊松随机变量是相互独立的泊松随机变量，参数

21、，参数(cnsh)分别为分别为 ，则，则 服 从 泊 松 分 布 ， 参 数服 从 泊 松 分 布 ， 参 数 ( c n s h ) 为为 。证明：证明：1N111( )( )exp(1)exp(1)innnNNiiiiiPzPzzz故N服从(fcng)泊松分布，参数为。第47页/共92页第四十八页，共92页。假设损失事故可以分为m个不同类型(lixng)C1,CmEi表示第i类事故发生。pi表示第i类事故发生的概率，Ni表示第i类事故发生的次数，N表示所有事故发生的次数。定理定理2 2：若：若N N服从参数为服从参数为l l的泊松分布的泊松分布(fnb)(fnb)，则，则N1,N2,NnN

22、1,N2,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布都是相互独立的，且服从泊松分布(fnb)(fnb)，参数分别是，参数分别是lpilpi，。，。 第48页/共92页第四十九页，共92页。证明证明(zhngmng)(zhngmng)：给定：给定N=nN=n，Ni|nNi|n服从二项分布服从二项分布B(1,pi)B(1,pi)，N1,NnN1,Nn服从多项分布服从多项分布 因此因此其中(qzhng)nn1+n2+nn第49页/共92页第五十页，共92页。(1)()(|) ()(1)!()!()!jjjjjjjjjjjjjn nnnnn nnjjn nnpjjnpjjP NnP NnNn P NneCpp

23、npeenpen因此，的联合分布(fnb)等于Ni分布(fnb)的乘积，Ni是相互独立的随机变量。第50页/共92页第五十一页，共92页。例例1：设：设N表示损失事故发生的次数，表示损失事故发生的次数，X表示表示损失额，服从泊松分布，损失额，服从泊松分布，l=10，XU0, 20。问损失额超过。问损失额超过5的事故发生次数的概率分布的事故发生次数的概率分布。 解：令解：令E表示事件表示事件“损失额超过损失额超过5”所以所以(suy)损失额超过损失额超过5的次数服从参数为的次数服从参数为100.75=7.5的泊松分布。的泊松分布。 2051( )0.7520P Edx第51页/共92页第五十二页

24、，共92页。例例2：假设某险种：假设某险种(xin zhn)的个体保单损失的个体保单损失X的分布的分布为为 又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数N服从服从泊松分布，泊松分布，l200。Ni表示损失额为表示损失额为i的损失事件的次的损失事件的次数。数。 （1） 求求 的分布。的分布。 （2）假设免赔额为）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发生的理，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。赔事件次数的分布。(1)0.40,(2)0.35,(3)0.25XXXfff123,N NN第52页/共92页第五十三页，共92页。123NNNN()200 (

25、)iP XiP Xi12380;70;50（2）留作课堂练习第53页/共92页第五十四页，共92页。其中(qzhng)：11()() () ,1,0,1,2,.11krkkrpP Nkrkk (1)(1),01,1!xx xxkppqkk 第54页/共92页第五十五页，共92页。负二项分布(fnb)的性质（1）当r1，负二项分布(fnb)退化为几何分布(fnb)（2）母函数1() ()11kkkppq001( )(1)11() (1)111krkNkrkrkrkrPzqqzkkrqqzqzkqzqqz 注意：我们这里(zhl)的负二项是广义的负二项分布，r可以为非整数。第55页/共92页第五十

26、六页，共92页。将化简得到(ddo)( )(1(1) ,rNqPzzp11rqqz（3）均值(jnzh)和方差()rqE Nrp2()(1)rqVar Nrp()()E NVar N第56页/共92页第五十七页，共92页。（2）二项分布性质(xngzh)00( )() (1)(1)(1(1)kkm kNkkkmmmPzz pqzqkqzqq z（1）母函数(hnsh)与矩母函数(hnsh)()(1(1)zmNMzq e第57页/共92页第五十八页，共92页。（2）均值(jnzh)与方差111()( )|(1(1)|mNzzE NPzmqq zmq()(1)Var Nmqq()()E NVar

27、N请问：如何(rh)从观察数据简单区别负二项分布、二项分布和泊松分布第58页/共92页第五十九页，共92页。例例3：设有：设有100个个40岁的投保人投保生命险，岁的投保人投保生命险，q表示表示一个投保人明年一个投保人明年(mngnin)死亡的概率，问明年死亡的概率，问明年(mngnin)死亡人数的分布是什么？死亡人数的分布是什么？第59页/共92页第六十页，共92页。000,01kkkppp且，注：泊松分布(fnb)，二项分布(fnb)，负二项分布(fnb)是（a,b,0)分布(fnb)族 第60页/共92页第六十一页，共92页。泊松分布(fnb)： 11( )!( )(1)!kkkkepk

28、pkek负二项分布00,abpe，1111() ()1121()()111krkkrkkrkpkrpk第61页/共92页第六十二页，共92页。121(1)(2)(1)!(2)1k rkk rkkrkrrkkkrrkrk 111(1) 111kkpkrpkrk 第62页/共92页第六十三页，共92页。因此(ync)，0(1)10,()111rrabp当r1时，负二项分布是几何(jh)分布，二项分布 1111( ) ( )1(1)1( )( )mkm kkkmkm kkkpqpmkppmppkqqqkpq 0(1),mpnpabpqqq 11kkpp1a0b 01(1)1pq第63页/共92页第六

29、十四页，共92页。例例4：设：设N是一随机变量是一随机变量(su j bin lin)，令，令 ，如果，如果问问N的分布是什么？的分布是什么？ ()kpP Nk1143kkppk 解：由知，N服从(fcng)二项式分布1031 (1),43pnpqq1311,44npq解出第64页/共92页第六十五页，共92页。练习练习(linx)(linx)：设：设X X的分布属于的分布属于(a,b,0) (a,b,0) 分布族，已知分布族，已知 (0)(1)0.25(2)0.1875P XP XP X求(3)P X 第65页/共92页第六十六页，共92页。第66页/共92页第六十七页，共92页。nN的分布

30、称为混合分布。( )(|)kpP Nk ( )()vP ()( ) ( )kkpP Nkpud()( ) ( )ikkiipP Nkpu第67页/共92页第六十八页，共92页。例例5：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布(fnb)。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（。第一种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.2，1.8）的均匀分布）的均匀分布(fnb)。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.0）的均匀分布）的均匀分布(fnb)

31、。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。第68页/共92页第六十九页，共92页。1.80.21.80.2110|10.40841.61.6P Nedee类别解解2.00.520.5110|20.31411.51.5P Nedee类别00110220.50.40840.31410.3613P NP NPP NP类别类别类别类别第69页/共92页第七十页，共92页。( )( | ) ( )NNPzPzud( )( |) ( )NNiiPzPzu()( (|)E NE E N()(|) (|)Var NE Var NVar E N第7

32、0页/共92页第七十一页，共92页。()kkaP 第71页/共92页第七十二页，共92页。例例6：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，：假设投保车险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布他们出事的次数服从泊松分布(fnb)，其中，其中好的一类的泊松参数为好的一类的泊松参数为0.11，坏的一类的泊松，坏的一类的泊松参数为参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为为0.94和和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数，则任意一个驾驶员出事的次数分布分布(fnb)时多少？时多少？12120.700.11()(1)!0.700.110.060.94!kkkkeeP

33、 Nkppkkeekk解第72页/共92页第七十三页，共92页。2、连续型的混合对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数(cnsh)服从连续分布。以u(l)表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为性质：(1)母函数的表达式0()( )!keP Nkudk(1)(1)(1)( )( )()( )()zzzP zeudeudP e第73页/共92页第七十四页，共92页。（2）结构函数的唯一性，设P1和P2是两个(lin)混合泊松分布的母函数，分别表示为若P1(z)=P2(z)，则u(q)=v(q)。(1)1(1)2( )( )( )( )zzP zeu

34、dP zevd第74页/共92页第七十五页，共92页。例例7：设：设Q的母函数的母函数(hnsh)为为求求N的分布。的分布。解：利用母函数解：利用母函数(hnsh)公式公式()logPz( )logexp( (1)(1)1(1)NPzzzz第75页/共92页第七十六页，共92页。定理定理3：设保单组合中每张保单的理赔次数：设保单组合中每张保单的理赔次数N服从泊松分布，但参数服从泊松分布，但参数l是一个随机变量是一个随机变量(su j bin lin)，随每张保单变化而变化。若，随每张保单变化而变化。若l服从伽玛分布，服从伽玛分布， ，则则N服从负二项分布。服从负二项分布。 1fe第76页/共9

35、2页第七十七页，共92页。第77页/共92页第七十八页，共92页。11( , ),70,0.98NB n p np22(, ),200,0.9MB np np6PMD00.999990.00001DP12NSDDDD表示发生事故(shg)的死亡人数，则。12NSDDD第78页/共92页第七十九页，共92页。12,NM MM12NSMMM第79页/共92页第八十页，共92页。( )( )SNMP zPPz0012000( )() (|)()(|)()( )( )kSknkNnknMNMnP zP Nn P Sk Nn zP Nnz P MMMk NnP Nn PzPPz第80页/共92页第八十一页，共92页。2(1)1( )( )exp(1)zSNMP zPPze1(1)( )zNPze2(1)( )zMPze，第81页/共92页第八十二页，共92页。70( )(1(1)(1 0.98(1)nNPzp zz(0)0.99999Df(6)0.00001 ()DfjP Mj62000( )( )0.999990.00001 (1 0.9(1