中考总复习第二十二讲 命题与证明

1、中考总复习1 (2013湖南湘潭)下列命题正确的是()A三角形的中位线平行且等于第三边B对角线相等的四边形是等腰梯形C四条边都相等的四边形是菱形D相等的角是对顶角【解析】A三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半，故本选项错误；B正方形、矩形的对角线均相等，故本选项错误；C四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确；D相等的角不一定是对顶角，故本选项错误故选 C.【答案】C2(2012浙江温州)下列选项中，可以用来证明命题“若a21，则 a1”是假命题的反例是()Aa2Ba1Ca1Da2【解析】反例要求符合命题的条件，但不符合命题的结论(2)21，但是 a21，选 A.【答案】A3

2、 (2013湖南永州)下列说法正确的是()A一组数据 2，5，3，1，4，3 的中位数是 3B五边形的外角和是 540C“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是真命题D三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点【解析】A把这组数据 2，5，3，1，4，3 从小到大排列为： 1， 2， 3， 3， 4， 5， 最中间两个数的平均数是(33)23，则中位数是 3，故本选项正确；B任何凸多边形的外角和都是 360，故本选项错误；C “菱形的对角线互相垂直”的逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”，它是假命题，故本选项错误；D三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，故本选项错误故选 A.【答案】A4(20

3、13四川攀枝花)下列命题中，假命题是()A菱形的面积等于两条对角线乘积的一半B矩形的对角线相等C有两个角相等的梯形是等腰梯形D对角线相等的菱形是正方形【解析】A，B，D 均为真命题，故排除；C同一底边上的两个底角相等的梯形才是等腰梯形，有两个角相等的梯形也可能是直角梯形，故选 C.【答案】C5(2013江苏泰州)命题“相等的角是对顶角”是命题(填“真”或“假”)【解析】对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题【答案】假考点一命题考点一命题1命题是对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子其中正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题2命题由题设(或条件)和结论

4、两部分组成，一般地，命题都可以写成“如果那么”的形式，其中以“如果”开始的部分是条件， “那么”后面的部分是结论3公理、定理、推论等都是真命题，其中定理是经过推理得到的考点点拨1改写命题时，要明确命题的条件和结论，有时语言要重新组合，可添上命题中被省略的词句2用举反例的方法说明一个命题是假命题，就是举出一个符合命题题设而不符合命题结论的例子，举反例也可以通过画图的形式说明【精选考题 1】(2013山东日照)四个命题：三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；点 P(1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，2)；两圆的半径分别是 3 和 4，

5、圆心距为 d， 若两圆有公共点，则 1d7.其中正确的是()ABCD点评：(1)本题主要考查命题的真假判断，难度较小(2)判断命题真假的关键是要熟悉课本中的性质定理解析：正确；SSA 不能判定两个三角形全等，故命题错误；正确；两圆的半径分别是 3 和 4，圆心距为 d，若两圆有公共点，则 1d7，故命题错误综上所述，正确的是.答案：B【预测演练 11】下列说法：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等；数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2；等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形；在RtABC 中，C90，两直角边 a，b 分别是方程 x27x70 的两个根，

6、则 AB 边上的中线长为1235.其中正确的命题有()A0 个B1 个C2 个D3 个解析： 一个角的两边分别垂直于另一个角的两边， 则这两个角相等或互补，所以错误；将数据 5，2，7，1，2，4 按由小到大的顺序排列为：1，2，2，4，5，7，中位数是2423，众数是 2，故正确；等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；由题意，得 ab7，ab7，AB 边上的中线长为12AB12a2b212（ab）22ab1272721235，故正确，所以选 C.答案：C【预测演练 12】已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相

7、等其中假命题有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：根据定理可知正确对角线互相垂直的四边形可以是如解图 1所示的四边形当两直线不平行时，内错角就不相等，如解图 1所示的1 与2 是内错角，但12.(解图 1)答案：B考点二证明考点二证明1要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明2证明文字类型的几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：(1)按题意画出图形；(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程考点点拨1 初中证明主要有综合法(从条件往结

8、论一步一步证)和分析法(从结论逆向分析)、反证法三种2证明文字类型的命题一定要先写已知、求证并画图再证明，但如果给出的几何命题已包括了相应的图形、已知及求证，则可在表述时直接写出证明的推理过程【精选考题 2】(2012山东青岛)如图 221，四边形ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，BEAC 于点E，DFAC 于点 F，点 O 既是 AC 的中点，又是EF 的中点(1)求证：BOEDOF；(2)若 OA12BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请说明理由点评：(1)本题主要考查平行四边形的性质与判定，难度较小(2)解决本题的关键是注意到当 OA12BD 且 DOBO 时，说明对角

9、线相等解析：(1)DFAC，DFO90.同理：BEO90，DFOBEO.又FOEO，DOFBOE，BOEDOF.(2)四边形 ABCD 是矩形理由如下：由(1)知 DOBO.又AOCO，四边形 ABCD 是平行四边形又OA12BD，ACBD，ABCD 是矩形【预测演练 2】学习了图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件(1)“对于两个直角三角形， 满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等” ，类似地，你可得到： “满足_，或_，两个直角三角形相似”；(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似

10、地， 你可以得到“满足_的两个直角三角形相似” 请结合所给图形，写出已知，并完成说理过程已知：如图 222，_试说明 RtABCRtABC.解析：(1)一个锐角对应相等，两直角边对应成比例(2)斜边和一条直角边对应成比例已知：在 RtABC 和 RtABC中，CC90，ABABACAC.证明：设ABABACACk，则 ABkAB，ACkAC.在 RtABC 和 RtABC中，BCBCAB2AC2AB2AC2k2AB2k2AC2AB2AC2k，ABABACACBCBC，RtABCRtABC.考点三反证法考点三反证法在证明一个命题时，人们有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条

11、件矛盾，或者与定义、公理、定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确这种证明方法叫做反证法考点点拨1在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定常见的互为否定形式有 “是与不是” “大于与不大于” “都是与不都是” “至少有一个与一个都没有” “至少有 n 个与至多有 n1个”“唯一与至少有两个”等2并非所有的命题都能用反证法证明，有时用反证法会更麻烦，因此证明先考虑用正面方法证，如果不行，再考虑用反证法【精选考题 3】(2012辽宁鞍山)用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角点评：(1)本题主要考查

12、反证法的应用，难度较小(2)解决本题的关键是熟练掌握三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质解析：假设等腰三角形的底角不是锐角，则底角大于或等于 90.根据等腰三角形的两个底角相等，得两个底角的和大于或等于 180.则该三角形的三个内角的和一定大于 180， 这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立所以等腰三角形的底角是锐角【预测演练 3】如图 223，在凸四边形 ABCD 中，AD 不平行于 BC，E，F 分别是 AD，BC 的中点，且 EF12(ABCD)求证：ABCD.解析：用反证法假设 AB，CD 不平行，则 EF 至少与 AB，CD 中的一条线段不平行(否则ABEFCD)不妨设

13、 EF，AB 不平行，连结 BD 交 EF 于点 G，则 EG，AB 不平行 过点 E 作 EHAB 交 EF 于异于点 G 的点 H，如解图 2.E 是 AD 的中点，EH 是ABD 的中位线，H 是 BD 的中点且 EH12AB.F 是 BC 的中点，FH 是CBD 的中位线，FH12CD.在EFH 中，EHFH12(ABCD)EF，与 EF12(ABCD)矛盾假设不成立，ABCD.1证明的每一步都要有依据举反例时所举反例一定要符合命题的条件，但不符合命题的结论2证明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，但证明一个命题是真命题，一定要用推理的方法3用反证法时，要注意不能只举出结论的一个反例

14、，而要所有的反面情况都考虑清楚1(2013广西柳州)有下列 4 个命题：方程 x2( 2 3)x 60 的根是 2和 3；在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D.若 AD4，BD94，则 CD3；点 P(x，y)的坐标 x，y 满足 x2y22x2y20，若点P 也在 ykx的图象上，则 k1；若实数 b，c 满足 1bc0，1bc0，则关于 x 的方程 x2bxc0 一定有两个不相等的实数根，且较大的实数根 x0满足1x01.上述 4 个命题中，真命题的序号是点评：(1)本题主要考查命题真假判断、二次函数的图象、一元二次方程的解法和反比例函数的性质，难度较大(2)利用数形结合是解决本题

15、的关键解析：解方程 x2( 2 3)x 60，得 x1 2，x2 3，故此命题正确；由题意，得 CD2ADBD，若 AD4，BD94，则 CD3.故此命题正确；点 P(x，y)的坐标 x，y 满足 x2y22x2y20，(x1)2(y1)20，解得 x1，y1，xy1.若点 P 也在 ykx的图象上，则 k1，故此命题正确；实数 b，c 满足 1bc0，1bc0，yx2bxc 的大致图象如解图 3 所示，关于x 的方程 x2bxc0一定有两个不相等的实数根， 且较大的实数根 x0满足1x01， 故此命题正确答案：2 (2012湖南岳阳)如图 224， AB 为半圆 O 的直径， AD，BC 分

16、别切O 于 A，B 两点，CD 切O于点 E，AD 与 CD 交于点 D，BC 与 CD交于点 C，连结 OD，OC，对于下列结论：OD2DECD；ADBCCD；ODOC；S梯形ABCD12CDOA；DOC90，其中正确的是()ABCD点评：(1)本题考查切线的性质、切线长定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形面积的求法，难度较大(2)求解本题要求熟练掌握有关定理和性质， 并善于运用转化的思想答案：A解析：连结 OE.AD，DC，BC 均与O 相切，DAODEOOBC90，DADE，CECB，ADBC，CDDEECADBC，正确；在 RtADO 和 RtEDO 中，ODO

17、D，DADE，RtADORtEDO(HL)，AODEOD.同理：RtCEORtCBO，EOCBOC.又AODDOEEOCCOB180，2(DOEEOC)180，即DOC90，正确；DOCDEO90，又EDOODC，EDOODC，ODDCDEOD，即 OD2DCDE，正确；S梯形ABCD12AB(ADBC)12ABCD，错误；OD 不一定等于 OC，错误则正确的有.3(2013浙江湖州)一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图 225，已知在 RtABC 中，ABBC，ABC90，BOAC 于点 O，点P，D 分别在 AO 和 BC 上，BPPD，DEAC 于点 E， 求证： BPOPDE.

18、(1)理清思路，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；(2)特殊位置，证明结论若 PB 平分ABO，其余条件不变求证：APCD；(3)知识迁移，探索新知若点 P 是一个动点，点 P 运动到 OC 的中点 P时，满足题中条件的点 D 也随之在直线 BC 上运动到点 D，请直接写出 CD与 AP的数量关系(不必写解答过程)解析：(1)PBPD，2PBD.ABBC，ABC90，AC45.BOAC，145，1C.3PBD1，42C，34.BOAC，DEAC，BOPPED90.在BPO 和PDE 中，34，BOPPED，BPPD，BPOPDE(AAS)点评：

19、(1)本题主要考查全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识的综合应用，难度中等(2)解决本题的关键是熟练运用各种三角形的判定与性质(2)由(1)可得：34.BP 平分ABO，ABP3，ABP4.在ABP 和CPD 中，AC，ABP4，BPPD，ABPCPD(AAS)，APCD.(3)CD与 AP的数量关系是 CD23AP.理由如下：如解图 4，设 OPPCx，则 AOOC2xBO，AP2xx3x.由(1)知 BOPE，PE2x，CE2xxx.E90，ECDACB45，可得 DEx，CD 2x，即 AP3x，CD 2x，CD与 AP的数量关系是 CD23AP.4(2013浙江宁波)若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形(1)如图 226，在梯形 ABCD 中，ADBC，BAD120，C75，BD 平分ABC.求证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线；(2)如图 226，在 1216 的网格图上(每个小正方形的边长为 1)有一个扇形 BAC，点 A，B，C 均在格点上，请在网格图上找一个点