222反证法(改)

1、2.2 直接证明与直接证明与间接证明间接证明2.2.2 复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果由因导果执果索因执果索因3.3.在实际解题时，两种方法如何运用？在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求思路寻求思路，再由综合法，再由综合法书写过程书写过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 （1 1）如果有）如果有5 5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3 3只只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？

2、鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎都撒谎, ,则则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, ,则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考？思考？ 把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法

3、称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法， 同一法同一法也是一种间接证法也是一种间接证法. . 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），下，结论不成立）， 经过正确的推理，经过正确的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的这样的证明方法叫做证明方法叫做反证法反证法。理论理论反证法的证明过程：反证法的证明过程：否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反

4、设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出得出矛盾矛盾；用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立试一试试一试: 证明：假设待证的结论不成立，即证明：假设待证的结论不成立，即 A_ 60 , B_60 , C _60 则则A+ B+ C180 这与这与

5、 _ 相矛盾相矛盾 所以所以_不成立，故所求证的结论成立不成立，故所求证的结论成立 “三角形的三个内角之和等于三角形的三个内角之和等于180 ”假设假设ABC用反证法证明用反证法证明(填空填空):在三角形的内角中在三角形的内角中,至少有一个角大于或等于至少有一个角大于或等于60 已知已知:A ,B ,C是是ABC的内角（如图）的内角（如图）求证求证:A , B , C中至少有一个角中至少有一个角大于或等于大于或等于60 例例1 1：已知：一个整数的平方能被已知：一个整数的平方能被2 2整除，整除， 求证：这个数是偶数。求证：这个数是偶数。证明：假设证明：假设a a不是偶数，不是偶数， 则则a

6、a是奇数，不妨设是奇数，不妨设a=2n+1(na=2n+1(n是整数是整数) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇数，与已知矛盾。是奇数，与已知矛盾。 假设不成立，所以假设不成立，所以a a是偶数。是偶数。注：注：直接证明难以下手的命题直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，改变其思维方向，从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。从进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。例题例题所以假设错误，故原命题所以假设错误，故原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则ab或或ab

7、=因为因为0,0ab所以所以abab(1)若0,y0 x0,y0，x+y2x+y2，求证：求证： 中至少有一个小于中至少有一个小于2 2。xyyx1,1分析：分析：所谓至少有一个所谓至少有一个,就是不可能没有就是不可能没有,要证要证“至少有一个至少有一个”只要证明它的反面只要证明它的反面“所有都所有都”不不成立即可成立即可.注注:“至少至少”、“至多至多” 型命题型命题常用反证法常用反证法 唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答 旅游者：我来这里是要被绞死。 这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说 国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。趣味趣味数学数学练习练习1.1.求证求证: :若一个整数的平方是偶数若一个整数的平方是偶数, ,则这个则这个数也是偶