同济大学-高等数学微积分教案设计

1、第一章：函数与极限1.1初等函数图象及性质1.1.1幕函数函数 （m是常数） 叫做幕函数。幕函数的定头域，要看m是什么数而定。例如，当m二3吋，y二x的定狡 域是（-8 ,+oo）；当m = 1/2时.y二x '的定狡域是0,）；当m二T/2时，y=x "的定狡域是（0, +oo ）。但不论m取什么值，彖函数在（0,+8）总有定义。最常见的無函数图象如下图所示：如图1.1.2指数函数与对数函数1. 指数函数函数y二a，（a是常数且a>0,a*1）叫做指数函数，它的定艾域是区间（-8 ,+8）。因为对于任何实数值x,总有>0,又a°=1,所以指数函数的图形

2、，总在x轴的上方.且通过点（0,1）o若a>1,指数函数是单调增加的。若0<a<1,指数函数是单调减少的。由于y=（1/a）"x=a x,所以尸才的图形与y=（1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。如图2. 对数函数指数函数y=ax的反函数，记作y= Iogax （a是常数且a>0. a$1）,叫做对数函数。它的定艾域是区间（0,+8）。对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y二x对称（图1-22） oy= Iogax的图形总在y轴上方，且通过点（1,0） o若a>1,对数函数lo&x是单调增加的，在开区间（0,1）函数值为负，而在区间

3、（1,+8）函数值为正。若0<a<1,对数函数log°x是单调减少的，在开区间（0,1）函数值为正，而在区间（1, +oo）函数值为负。如图1.1.3三角函数与反三角函数1. 三角函数正弦函数和余弦函数都是以2TT为周期的周期函数，它们的定艾域都是区间（-8 ,+8）,值域都是必区间-1, Uo 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。正切函数和余切函数都是以TT为周期的周期函数，它们都是奇函数。2. 反三角函数及三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规則作出。 这四个反三角函数都是多值函数。但是，我们可以选取这些函数的单值支。例如，

4、把Arcsinx的值限制在闭区间-,上，称为反正弦函数的主值，并记作arcsinxo这样，函数y = arcsinx就是定狡在闭区间-1, 1±的单值函数，且有。1.2数列极限的概念设是一个数列，a是实数，如果对于任意给定的，总存在一个正整数N,当n>N时都有，我们就称a是数列 的极限，或者称数列收敛，且收夕攵于a,记为，a即为的极限。数列极限的几何解释：以a为极限就是对任意给定的开区间，第N项以后的一切数全部落在这个区间。1.3函数极限的概念设函数f（x）在点附近（但可能除掉点本身）有定艾，设A为一个定数，如果对任意各定，一定存在，使得当时， 总有，我们就称A是函数f（x）在

5、点的极限，记作，这时称f（x）在点极限存在，这里我们不要求f（x）在点有定艾， 所以才有。 例如：，当xh时.函数是没有定狡的.但在xh点函数的极限存在，为2。1.4单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限，是判断极限存在的重要准则之一，具体叙述如下：如果数列满足条件，就称数列是单调增加的;反之則称为是单调滅少的。在前面的幸节中曾证明：收敛的数列必有界。但也曾指出：有界的数列不一定收敛。现在这个准则表明：如果数 列不仅有界，而且是单调的，則其极限必定存在。对这一准则的直观说明是，对应与单调数列的点只可能向一个方向移动，所以只有两种可能情形：或者无限趙近 某一定点；或者沿数轴移向无穷远（因为不趋

6、向于任何定点且递增，已符合趁向无穷的定狡）。但现在数列又是 有界的，这就意味着移向无穷远已经不可能，所以必有极限。从这一准则出发，我们得到一个重要的应用。考虑数列，易证它是单调增加且有界（小于3）,故可知这个数列 极限存在，通常用字母e来表示它，即o可以证明，当x取实数而趋于或吋，函数的极限存在且都等于e,这 个e是无理数，它的值是 e = 2. 9045-1.5柯西(Cauchy)极限存在准则我们发现，有时候收敛数列不一定是单调的，因此，单调有界数列必有极限准则只是数列收敛的充分条件，而不 是必要的。当然，其中有界这一条件是必要的。下面叙述的柯西极限存在准则，它给出了数列收夕攵的充分必要条

7、件。柯西(Cauchy)极限存在准则 数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，存在着这样的正整数N,使得当m>N, n>N时，就有。必要性的证明 设，若任意给定正数，则也是正数，于是由数列极限的定狡，存在着正整数N,当n>N时，有； 同样，当m>N吋，也有。因此，当m>N, n>N时,有氐L g -叭- g T 十-十氐-小产才 所以条件是必要的。充分性的证明从略。这准则的几何意义麦示，数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数，在数轴上一切具有足够大的点，任 意两点间的距离小于。柯西极限存在准則有时也叫做柯西审敛原理。1.6 连续函数1.6.1定义

8、：若函数f(x)在xo点的附近包括xo点本身有定义，并且，则称f(X)在Xo点连续，Xo为f(x)的连续点。如图1.6.2充要条件：f(x)在X。点既是左连续又是右连续。初等函数如三角、反三角函数，指数、对数函数等都是在自定艾区间的连续函数。1.6.3三类不连续点：(1) 第一类不连续点：f (xo+0), f (xo-0)存在但不相等。如图(2) 第二类不连续点:f(xo+O),f(xo-0)中至少有一个不存在。如图(3) 第三类不连续点：f(xo+0),f(xo-0)存在且相等,但它不等于f(x°)或f(x)在X。点无定艾。如图1.7 一致连续性的概念及它与连续的不同1.7.1定

9、义：对，可找到只与有关而与x无关的，使得对区间任意两点xbx2,当时总有，就称f(x)在区间一致 连续。1.7.2与连续的比较：(1) 连续可对一点来讲，而一致连续必须以区间为对象。(2) 连续函数对于某一点xo,取决于xo和，而一致连续函数的只取决于，与x值无关。(3) 致连续的函数必定连续。例：函数y二1/x,当xG(0, 1 )吋非一致连续，当xe (C,1)时一致连续(4) 康托定理：闭区间a , b上的连续函数f(x)-定在a , b上一致连续。第二章：导数与微分微分学是微积分的重要组成部分，他的基本概念是导数与微分，其中导数反映出自变量的变化快慢程度，而微 分则指明当自变量有微小变

10、化时，函数大体上变化多少。2.1 导数的概念2.1.1导数的定义：设函数y=f (x)在点xo的某个邻域有定艾，当自变在X。处取得增量x (点xox仍在该领 域)时，相应地函数取得增量；如果与之比当吋的极限存在，则称函数在处可字，并称这个极限为函数在点处的 导数，记为，即，也可记作。导数的定义式也可取不同的形式，常见的有和导数的概念就是函数变化率这一槪念的精确描述。2.1.2 求导举例例求函数(n为正整数)在处的导数解把以上结果中的换成得，即更一般地,对于彖函数(为常数)，有这就是策函数的导数公式.例求函数的导数解5h5h即这就是说，正弦函数的导数是余弦函数.用类似的方法，可求得就是说，余弦函

11、数的导数是负的正弦函数。例求函数的导数.解=即这就是指数函数的导数公式，特殊地，当时，因，故有例求函数的导数.八巧-如二越二畑 -1 1。盼(厂-旬T昭“解0h5盹=作代换 即得这就是对数函数的导数公式，特殊地，当时，由上式得自然对数的数的导数公式：2.1.3 导数的几何意义由导数的定艾可知：函数在点处的字数在几何上表示曲线在点处的切线斜率，即，其中是切线的倾角如下图：例 求等边双曲线y=1/x,在点(1/2,2)处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。解根据导数的几何意狡知道，所求切线的斜率为由于，于是从而所求切线方程为即4x+y-4=0所求法线的斜率为k2-1/ki=1/4,于

12、是所求法线方程为2x-8y+15=0.2.2 微分的概念2. 2.1微分的定义 设函数在某区间有定艾，及在这区间，如果函数的增量可表示为其中A是不依赖于的常数，而是比离阶的无穷小，那末称函数在点是可微的，而叫做函数在点相应于自变量增董的微分，记作，即例求函数y=x?在x=1和x=3处的微分.解函数在处的徹分为在处的微分为函数在任意点的微分.称为函数的微分，记作或，即例如，函数的微分为 函数的微分为通常把自变量的增量称为自变量的微分，记作dx,即于是函数y=f (x)的微分又可记作dy=f, (x)dx,从而有x=3 就是说，函数的微分dy与自变董的微分dx之商等于该函数的导数因此，导数也叫做&

13、quot;微商”.2. 2.2微分的几何意义设是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增#,dy是曲线的切线上的纵坐标的相应的增量，当I Ax |很小时，| Ay-dy |比| Ax |小得多，因此在M点的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段.第三章：中值定理与导数的应用上一章里，从分析实际问题中因变量相对于自变童的变化快慢出发，引出了导数的概念，并讨论了导数的计算 方法。本章中，我们将应用导数来研究函数以及曲线的某些性态，并利用这些知识解决一些实际问题。我们将 介绍微分学的几个中值定理，他们是导数应用的理论基础3.1三个中值定理3.1.1罗尔定理罗尔定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，

14、在开区间(a,b)可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a) =f(b),那么在(a,b)至少有一点，使得函数f(x)在该点的导数等于零：。3.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，那么在(a,b)至少有一点，使等式(1)成立。3.1.3柯西中值定理柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)可导，且F' (x)在(a, b)的每一点 处均不为零，那么在(a, b)至少有一点，使等式(2)成立.3.2 洛必达法則3. 2.1洛必达法则的概念.定狡：求待定型的方法(与此同时)；定理：若f(x

15、)与g(x)在(a,a+)上有定艾，且f(x)二g(x)=O;并且f(x)与g' (x)在(a,a+)上存在.0且二A则二二A, (A可以是).证明思路：补充定狡x=a处f (x) =g (x) =0,则a, a+)上=即x时,x,于是=3. 2.2定理推广：由证明过程显然定理条件x可推广到x, x,xo所以对于待定型，可利用定理将分子、分母同吋求导后再求极限。注意事项：1.对于同一算式的计算中，定理可以重复多次使用。2.当算式中出现Sin或Cos形式时，应慎重考虑 是否符合洛必达法则条件中f'(X)与(X)的存在性。向其他待定型的推广。(下转化过程中描述引用的仅为记 号)1.

16、 可化为=,爭实上可直接套用定理。2. 0=03.通分以后二 o4八取对数 OLnO、LnR OLnO、0、0。3. 3泰勒公式及其误差图示来源：实践，常用导数进行近似运算.由于时所以，因此围：在直接求f(x)困难，而在X附近X。处f(X。)与f'(X。)较易时应用.条件是X与X。充分接近，可达到一定的精度. 利用当为不同函数吋.有常用近似公式如下：(|x|很小时)Sinxxgxx, Ln (1+x) x泰勒公式来源：上述公式在|x|很小时，于是即，ph(0)+f，(0)x与f(x)在x=0处函数值相等，且一阶导数相等. 为进一步提鬲精度欲使与在二阶导数处也相等于是，得依此类推:/匕”

17、心仗)-/(0)十 f (OR八（叽22!对于误差，有定理：在x=0处有*1阶连续导数，則上式误差(在x与0之间) 由定理：此式为 在x=0处的关于x的泰勒展开公式即：7W = /(0) + 广(Ok + f "+ + 吟 F +心(力 2!公式推广：一般地在x=X。附近关于X。点的泰勒公式/(力叮+/(心)("列)+2(拓2+£(“20)。&|>)2!m 注意：虽然泰勒公式是在X 丁附近”展开，但是事实上X可以取f(x)定爻域任意值，只不过若|x-|过大(即X离过远) 时，相应变大.即使用代替f(x)的误差变大.可是，无论如何泰勒公式总是成立的，当

18、固定后，不同的X将使发生变 化，并使变化，从而影响对f(x)的近似精度.3.4函数图形描绘示例定理：若f(x)在a,b上连续，(a, b)可导.则f(x)在a,b单调上升(或单调下降)的充分必要条件为(a, b)(或)，推论：若f(x)在a,b连续，(a,b)可导，且不变号，則(或0)严格单调上升(下降).定理(极值的必要条件)：若X。为f(x)的极值点，那么X。只可能是(x)的零点或f(x)的不可导点.定埋(极值判别法)：则，f()为极大值，f0为极小值若不存在，但f(x)在与上可导 则若，则为极小点,反之为极大点定狡：若曲线在一点的一边为上凸，另一边为下凸，则称此点为拐点，显然拐点处定狡：

19、若则称ax+b为f(x)的一条渐进线.定狡：若则称x二c为f(x)的一条垂直渐进线.定理：若f (x)的一条渐进线为ax+b则，证明：由定狡知即所以即带回定艾得函数图象描述的基本步骤：1. 确定y=f (x)的定狡域并讨论函数的基本性质，如奇偶性，对称性周期性等.2. 求出与及与不存在的各点.3由2的结果函数的上升，下降区间，及图形的上凸，下凸区间以及各极值点.4. 定出函数的渐近线.5.描点作用.3.5曲率的概念及计算公式3. 5.1概念：来源：为了平衡曲线的弯曲程度。平均曲率，这个定艾描述FAB曲线上的平均弯曲程度。其中表示曲线段AB上切线变化的角度，为AB弧长。 例：对于圆，。所以：圆周

20、的曲率为1/R,是常数。而直线上，所以，即直线“不弯曲”。对于一个点，如A点，为精确刻画此点处曲线的弯曲程度，可令，即定狡，为了方便使用，一般令曲率为正数. 即：。3. 5.2计算公式的推导:由于，所以要推导与ds的表示法.ds称为曲线弧长的微分(T5-28, P218)因为，所以。令，同时用代替得所以或具体表示：1、时，2、时，3、时，(令)再推导，因为，所以，两边对x求导，得，推出。下面将与ds代入公式中：，即为曲率的计算公式。3.5.3曲率半径：一般称为曲线在某一点的曲率半径。几何意义(T5-29)如图为在该点做曲线的法线(在凹的一侧)，在法线上取圆心，以p为半径做圆，则此圆称为 该点处

21、的曲率圆。曲率圆与该点有相同的曲率，切线及一阶、两阶稻树。应用举例：求上任一点的曲率及曲率半径(T5-30)解：由于： 所以：，3.6方程的近似解法3. 6.1应用前提：方程f (x)=0,则f(x)应满足：(1) f(x)在a, b连续，f(a)与f(b)不同号。(2)在(a, b)连续且不变号。(3)在(a, b)连续且不变号。3. 6.2应用步骤：首先：判断方程是否满足应用前提，先对端点a, b求f(a)、f(b),取与f"(x)同号的一点为是点。过是点做f(x)的切线，交x轴与。然后：过(，)做的切线，交x轴与。以次类推，直到满足箱度要求。3. 6.3应用举例：求：在1, 2

22、的根，误差解：令，有：=9 >0,八希=3工+3 >0,八尢)=6x> °所以可应用上述方法，求得：=14x2 = 1.181,x3 =1.1545,x4 =1.15417, =1.15417由于.所以误差国的近似解为3.6.4两点说明:1. 祈提条件的作用：第一个条件显然是为了保证区间上解的存在性。第二、第三个条件是为了保证各步迭代后，得到的交点仍落在区间上的2. 迭代公式：设第n步后的交点为，所以下一步过(，)做f(x)的切线，写出其方程就是：，它与X轴交 点为，这就是迭代公式。第四章：不定积分在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论他的反问

23、题，即要求一个导函数的原函数， 也就是求一个可导函数，使他的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一4.1不定积分的概念与性质4.1.1原函数与不定积分的概念定义1如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一 xWI,都有F' (x) = f(x).dF(x) = f(x)dx, 那末函数F(x)就祢为f(x)(或f (x)dx)在区间I上的原函数。例如，因(sin x) ' =cos x,故sin x是cos x的原函数。那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？简单的说就是，连续的函数一定有原函数。 下面还要说明两点。第一，如果有，那么，对任

24、意常数C,显然也有，即如果是的原函数，那F(x)+C也是于(x)的原函数。第二，当C为任意常数时，表达式F(x)-H),就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说，f(x)的全体原函数所 纽成的集合，就是函数族。由以上两点说明.我们引入如下定义。定义2在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为(或)在区间上的不定积分，记作.其中记号称为积分 号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。由此定义及前面的说明可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F (x) +C就是f(x)的不定积分， 即。 因而不定积分可以表示的任意一个原函数。例1求.解由于&所以是的一个原函数。

25、因此.例2求.解 当时，由于弓所以是在的一个原函数。因此，在，当时，由于=,由上同理，在，将结果合并起来，可写作4.1.2不定积分的性质根据不定积分的定艾，可以推得它的如下两个性质：性质1函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.性质2求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外面来，即(k是常数,kH0).例3求. 解=注意 检脸积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被枳函数，相等时结果是正确的，否是错误 的。4.2两类换元法及举例利用基本积分表与积分的性质，所能计算的不定积分是非常有限的.因此，有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定

26、积分，利用中间变董的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简换元 法.换元法通常分成两类.4. 2.1第一类换元法定理1设f(u)具有原函数，u=e(x)可导，则有换元公式例 *1 求 f 2cos2xdx.解 作变换 便有 /2cos2xdx =f cos2x 2dx = f cos2x (2x) ' dx =f cos u du = sin u+C、再以 u=2x 代、即得 f2cos2xdx =sin 2x+C例 2 求 / tan x dx.一 In 十 U = 一 In |cos 彳十 C解 f tan x dx =f sin x /cos x dx.因为-sin x

27、dx = d cos x,所以如果设 u 二cos x,那么 du=-sin xdx,即-du二sin xdx.ftan xdx = - | =因此JJ COS XJ 11类似地可得f cot x dx =/n/sin x+C.在对变董代换比较熟练以后，就不一定写出中间变量”例 3 求 f ch(x/a) dx.at例 4 求(a>0).解J PF 行不百打质尹sire SLTL 十 U下面求积分的例子，它们的被积函数中含有三角函数，在计算这种积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式. 例 5 求 / sin3 x dx. 解 / si/x dx =f sin x sinx dx=- f

28、(1-cosx)d(cosx)- f d(cosx)+ / cos xd (cosx)二一cosx+ (1/3) cosxC.例 6 求 f cos2 x dx.Jeos2 xdx =F上："s 必寺(jdx + Jeos 2xx,类似地可得 f sin x dx=x/2-(s/n2x)/4C.利用定理1来求不定积分，一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难，因为其中需要一定的技 巧，而且如何适当的选择变量代换u=<p Q没有一般途径可循，因此要掌握换元法，除熟悉一些典型的例子，需多 练习.4. 2.2 第二类换元法定理2设x=ip(x)是单调的、可导的函数,并且呎

29、(x)工0.又设fip(t)ip'(t)具有原函数.则有换元公式 ,其中69是x=lp O的反函数.例7求(a>0)解 求这个积分的困难在于有根式，但我们可以利用三角公式siSt+coVth来化去根式.设esK,-n/2<Kn/2,那么晶= 产药兀=acosx =,于是根式化为了三角式,所求积分化为+ 。(°工1利用例6的结果得卜sin 2i )2a2sin L cqs£2axt = arc sin ,cos：f 由于 xs/nt,-n/2<t<n /2,所以°于是所求积分为具体解题时要分析具体情况，选简捷的代换.第五章：定积分本章

30、将讨论积分学的另一个基本问题一定积分问题。我们先从几何与力学问题出发引进定积分的概念，再讨 论他的性质和计算方法，关于定积分的应用，将在下一章讨论。5.1定积分概念定义 设函数f(x)在a,b上有界，在a, b中任意插入若千个分点，把区间a, b分成n个小区间，设有常数I,如呆对于任意给定的正数e ,总存在一个正数d，使得对于区间a, b 的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有成立，则称I是f(x)在区间a,b上的定积分，记作。接下来的问题是：函数f(x)在a, b上满足怎样的条件，f(x)在a,b上一定可积？以下给出两个充分条件。 定理1设f(x)在区间a,b上连续,则f(x)在a,b上可

31、积。定理2设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。对面积賦以正负号，在X轴上方的图形面积賦以正号，在X轴下方的图形面积赋以负号，則在一般情形下，定积 分的几何意狡为：它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a. x = b之间的各部分面积的代数和。5.2牛顿一莱步尼兹公式及实例定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原旳数，则o (1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为菜个常数(第四幸第一节)，即。(2) 在上式中令x二a,得。

32、又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F(a)=O,因此，C = F(a)o 以F(a)代入(2)式中的C,以代入(2)式中的F (x),可得，在上式中令x = b,就得到所要证明的公式(1)n由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便是见，以后把F(b) - F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，给定积分提供了一种简便的计算方法，也称为微积分基本 公式。例1计算定积分。解。例2计算。解。例3计算。解。例4计算正弦曲线y二sinx在0,p上与x轴所围成的平面图形的面积。解。例5求解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来

33、计算。因此。5.3定积分的近似计算在应用问题中常遇到要求定积分的数值，但f(x)的原函数根本不能普通的初等函数表示出来。例如等，所以提 出了积分的近似计算问题。定积分近似计算公式的原理：求定积分就是求面积，近似计算公式是对面积的近似求法。此处介绍抛扬线法廉理：实质上是用抛物线逼近曲线段.如图由此可推出b _ a一o此公式称为辛卜生公式。儿亠尹2艮乜山+亠如2)+401十+畑 近似计算方法很多，但实质上多是曲线逼近(见数值分析)。5.4广义积分的概念5.4.1无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在区间a, +¥ )上连续，取b>a,若极限存在，則称此极限为函数f(x)在无穷区间a

34、, +¥ ) 上的广义积分，记作，即。(1)这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分和都收敛，則称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷 区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无 穷限的广艾积分。例1 证明广义积分(a>0)当p>1时收敛，当p£ 1时发散。证当P = 1时，当pl 1时，因此，当p>1时，这广狡积分收敛，其值为：当卩

35、3; 1时，这广义积分发散。5.4.2无界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义2 设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域无界，取，如果极限 存在，則称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在a, b±除点c(Xcb)外连续，而在点c的领域无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义叮小"(如二辄)小辄否則，就称广义积分发散。例2 证明广狡积分当q1时收敛，当吋发散。因此，当q C 1时，这广狡积分收敛，其值为(b-a)f/(1-q);当时，这广狡积分发散。第七章：空间解析几何与向量

36、微分 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而 可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。7.1几种常见曲线：附录U儿种當用的曲线：i> 二*會戏<紆*比嘟Ml卷炖<o9 - -XI4-S<n)(IS)三叶孜現皱UO三时玫理践7.2 曲面方程如果曲面S与三元方程F(x, y, z)=0 (1),有下述关系：72.1曲面方程的概念及一般方程1. 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1), 那末，方程就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的图形。

37、7. 2.2平面方程的几种形式一般形式：Ax+By+Cy+D=O,其中A. B, C是平面法向,A2+B2+C2*Oo点法式方程：。截距式方程：O三点式方程：已知平面过空间三点,则平面方程为1.几科特殊的曲面方程1. 获转曲面方程设平面曲线I :绕z轴旋转，則旋转曲线方程为2. 柱面方程母线平行与坐标轴的柱面方程为不完全的三元方程，如F(y, z)=0就表示母线平行与x轴，准线为 的柱面.二次曲面方程(见第七章知识点3)7.3 空间曲线7. 3.1 空间曲线一般方程空间曲线可以看作两个曲面的交线。设F(x, y, z)二0和G(x, y, z)二0是两个曲面的方程，它们的交线为C如 图。因为曲

38、线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(1)反过来，如果点M不在曲线C上，那末它不可能同吋在两个曲面上，所以它的坐标不满足方程组(1) o因此， 曲线C可以用方程组(1)来表示。方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程。1.为空间曲线的一般方程，空间曲线的参数方程为t为参数.1.方程组表示怎样的曲线？方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面，其准线是xOy面上的圆，圆心在原点0,半径为1。方程组中 第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表 示上述平面与圆柱面的交线，如图。2. 方程组表示怎样的曲线？方程组中第

39、一个方程表示球心在坐标原点0 .半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面， 它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点(a/2, 0),半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。7. 3.2 空间曲线在坐标上的投彩设空间曲线C的一般方程为由上述方程纽消去变量z, x, y后所得的方程分别为：H( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0,表示曲线C在xOy面上的投影，表示曲线C在yOz面上的投影，表示曲线C在xOz面上的投影。例已知两球面的方程为(a)和(b)求它们的交线C在xOy面上的投影方程。解 先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程

40、。因此要由方程(a) , (b)消去z,为此可先从(a)式减去(b) 式并化简，得到y + z = 1,再以z = 1 -y代入方程(a)或(b)即得所求的柱面方程为x2+2y-2y=0 易看出，这是交线C关于xOy面的投影柱面方程，于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是注：在重积分和曲线积分的计算中，往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影，这时要利用投影柱面和投影曲线。7.4 二次曲面 我们把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面。为了 了解三元方程F (x , y ,z )二0所表示得的曲面的形状.我们通常釆用截痕法。即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲线相截，考察其交线(即截痕)的形状

41、，然后加以 综合，从而了解曲面的全貌。同学们可试用截痕法考察下面的二次曲面。7.4.1椭球面方程7.4.2抛物面方程7.4.3双曲抛物面方程7.4.4双曲面方程所表示的曲面叫做椭球面，截痕法渍示。(P和q同号)所表示的曲面叫做抛物面.截痕法演示。(P和q同号)所表示的曲面叫做双曲抛物面，截痕法演示。 所表示的曲面叫做单叶双曲面，裁痕法演示。方程 所麦示的曲面叫做双叶双曲面，截痕法演示。第八章：多元函数微分 在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变置依赖于几个变量的情形，这就提出了多元函数微分和积分的问题，本章将在一元微分的基础上，讨论二元及二元以上的多元函数的微分。8

42、.1多元函数的极限与连续性8.1.1定义 设函数f (x,y)在开区域(或闭区域)D有定艾，Po (xo, yo)是D的点或边界点。如果对于任意给定 的正数E,总存在正数6,使得对于适合不等式的一切点P(x,y)GD,都有|f (x, y)-A|< E成立.则称常数A为函数f (x, y)当xTxo,yTyo吋的极限，记作或 f(x,y) TA (pTO)，这里 p = |PPoh例设(x2+y2*0),求证。因为宀宀宀一° W可见，对任何E >0,取,則当时，总有成立，所以。我们必须注意，所谓二重极限存在，是指P (x,y)以任何方式趙于P。(xo, yo)吋，函数都无

43、限接近于A。 定义 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D有定义，Po(xo, yo)是D的点或边界点且P°WD。如果则称函数f(x,y)在点Po (xo, yo)连续。&1.2 性质性质1 (最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最小值和最大值。性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得 介于这两个值之间的任何值至少一次。一切多元初等函数在其定艾区域是连续的。所谓定狡区域，是指包含在定艾域的区域或闭区域。由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此函数的定狡区域，則极限值就

44、是函数在 该点的函数值，即。8.2偏导数的定义及计算法8.2.1定义 设函数z=f (x, y)在点(xo, yo)的某一邻域有定狡，当y固定在yo而x在x°处有增# Ax时，相应的 函数有增量f (xo+ Ax, yo)-f (xo, yo),如果存在，则称此极限为函数z=f (x, y)在点(xo, yo)处对x的偏导数，记作或 化(xo, yo)o对于函数z=f (x, y)，求时，只要把y暂时看作常量而对y求导。例 求z=x2sin2y的偏导数。解。&2.2高阶偏导数定理 如呆函数z二f (x,y)的两个二阶混合偏导数在区域D连续.那末在该区域这两个二阶混合偏导数必相

45、等。8.3多元复合函数求导法则及实例定理如果函数u=0 (t)及屮(t)都在点t可字，函数Z=f (u, V)在对应点(u, V)具有连续偏导数,則复合函数Z=f 0 (t), m(t)在点t可导，且其导数可用下列公式计算：。例设 z二eusinv,而 u 二 xy, v = x+y。求。=e" sin 卩，+ q” cos v 1 =x y") + cos(x +dz alrxQz&r"孑、z- 卜e sin v a e cos v 1 sm( x 卜 y)斗 cosC木斗解 ay ou ay dv ay8.4隐函数的求导公式8.4.1 一个方程的情形隐

46、函数存在定理1 设函数F(x, y)在点P(xo, yo)的某一邻域具有连续的僞导数，且F(x0, yo)=0, Fy(x0, yo) * 0, 则方程F(x,y) = 0在点(xo, yo)的菜一邻域恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y = f(x),它满足 条件y。= f (xo),并有。上面公式就是隐函数的求导公式。隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)在点P(xo, yo, z0)的某一邻域具有连续的偏导数，且F(x0, yo, z0) = 0, F.(xo, yo, zo) *0,则方程F(x,y,z) = 0在点(x。, y。, z。)的某一邻域恒能唯一确定一个单值连续

47、且具有连续导数 的函数z = f (x, y),它满足条件zo = f (xo, yo),并有。例设 x2+y2+z2-4z = 0,求，解 设 F (x,y,z) = x2+y2+z2-4z ,则 Fx = 2x, & = 2z-4° 应同上面公式，得。宀_ CFf譬_ C(是)_2么屮+戶再一次对X求偏导数，得臼/C2 -27)2(2-乙)2(2-士尸。二.方程组的情形隐函数存在定理3设F (x, y, u, v)> G (x, y, u, v)在点P (x0, yo, u0, v0)的某一邻域具有对各个变量的连续偏导 数，又F (xo, yo, uo, vo) =

48、 0, G (xo, yo, u0, v0) = 0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi )式)： 在点 P (xo, yo, uo, vo)不等于零，则方程组 F (x, y, u, v) = 0, G (x, y, u, v) = 0 在点(x°, y0, u0, v0)的某一邻域 恒能唯一确定一组单值连续且具有连续导数的函数u = u (x, y), v = v (x, y),它们满足条件uo = u (xo, yo), vo = v (xo, yo),并有_ 1 3（凤G）du-1 一Ovdv 1 WG） 巧J a（A,v）巧aJ耳J巧J盹，刃q6&

49、 5微分法在几何上的应用&5.1空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方称为x= 0 (t), y=w仕)，Z=w (t),这里假定上式的三个函数都可导。插图1在曲线上取对应于t=to的一点M (xo, yo, z0)o根摇解析几何，可得曲线在点M处的切线方程为O切线的方向向董称为曲线的切向董。向# T= 0(to), ip * (to), U)' (to) 就是曲线在点M处的一个切向量。 通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点M处的法平面，它是通过点M (xo, yo, Z0)而以T为法向量的平面， 因此这法平面的方程为 (to) (x-xo) +屮(to) (y-yo) +3

50、 (to) (z-z°) = 0。8.5.2曲面的切平面与法线插图2设曲面由方程F (x, y,z) =0给出，M (xo, yo, zo)是曲面上的一点，并设函数F (x,y,z)的偏导数在该点 连续且不同时为零。则根損解析几何，可得曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上。这个平 面称为曲面工在点M的切平面。这切平面的方程是Fx (xo, yo, Zo) (x-xo) +Fy (xo, yo, z0) (y-yo) +FZ (x0, yo, zo) (z-z。)= 0通过点M (xo, y0, zo)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是x=3垂直于曲面

51、上切平面的向量称为曲面的法向量。向量n = F, (xo, yo, zo), Fy (x0, yo, z0), F2 (x0, yo, z0) 就是曲面在点M处的一个法向量。&6多元函数极值的求法& 6.1多元函数的极值二元函数的极值问题.一般可以利用僞导数来解决。定理1 (必要条件)设函数z = f(x, y)在点(Xo, yo)具有偏导数，且在点(Xo,yo)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：f«(xo, yo) = 0, fy(xo, yo) = 0o定理2 (充分条件)设函数z = f(x,y)在点(xo, yo)的某领域连续且有一阶及二阶连续偏导数，又f

52、x(x0,y0) = 0, f y(Xo, yo) =0,令 fxx(xo.yo) = A, f (x0, yo) = B, f yy (x0, yo) = C,則 f(x.y)在(x0, yo)处是否取得极值的条 件如下：(1) AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0吋有极小值：(2) AC-B2<0时没有极值： (3) AC-B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。利用定理1、2,我们把具有二阶连续徧导数的函数z = f(x,y)的极值的求法叙述如下：第一步解方程组fx(x,y) = 0, fy(x,y) = 0,求得一切实数解，即可求

53、得一切驻点。第二步 对于每一个驻点(Xo, y0),求出二阶偏导数的值A、B和C。第三步 定出AC-B2的符号，按定理2的结论判定f (xo, yo)是否是极值、是极大值还是极小值。8. 6.2条件极值 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数z = f(x, y)在附加条件4)(x, y) = 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F (x,y) =f(x,y) + X 0 (x,y),其中入为某一常数。求其对x与y的一阶僞导数，并使之为零，然后与方程0 (x, y) = 0 联立起来：有这方程组解出X, y及入，则其中X, y就是函数f (x,y)在附加条件4> (x, y)二0下的可能

54、极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。至于如何确定所求得的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。第九章：重积分本章和下一章是多元函数积分的容。在一元函数积分学中，定积分是某种确定形式的和的极限。这种和的极限 的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念。9.1二重积分的概念与性质9.1>1二重积分的概念为引出二重积分的概念，我们先来讨论两个实际问题。设有一平面薄片占有”如面上的闭区域2它在点(x. y)处的面密度为p (x, y),这里p (x, 丫)>0且在 上连续。现在要计算该薄片

55、的质量饥由于面密度p (x, y)是变量，薄片的质量不能直接用密度公式(二pS)来计算。但p(X, y)是连续的，利 用积分的思想，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域Dsi的直径很小，这些小块就可以近似地看 作均匀薄片。在D s i (这小闭区域的面积也记作D s i)上任取一点(x山h i),则p (x i, h D D s i (i = 1, 2,，n)可看作第i个小块的质量的近似值插图1o通过求和，再令n个小区域的直径中的最大值(记作入) 趋于零，取和的极限，便自热地得出薄片的质量饥 即。再设有一立体，它的底是”如面上的闭区域2它的侧面是以的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面

56、，它 的顶是曲面z = f (x, y),这里f (x, y) M 0且在D上连续。这种立体叫做曲顶柱体。现在要计算上述曲顶柱体的体积V.由于曲顶柱体的离f (x, y)是变量，它的体积不能直接用体积公式来计算。但仍可釆用上面的思想方法，用一 纽曲线网把。分成n个小闭区域D s 1 , D s 2,，D s n,在每个D s i上任取一点(x h »),则f (x “ h .)D s i (i = 1, 2, n)可看作以f (x山h i)为离而底为D s i的平顶柱体的体积插图2。通过求和，取极限，便得出。上面两个问题所要求的，都归结为同一形式的和的极限。在其他学科中，由许多物理董

57、和几何董也可归结为这一 形式的和的极限。因此我们要一般地研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定艾。定义 设f (x, y)是有界闭区域Q上的有界函数。将闭区域。任意分成个小闭区域D s 1 , D s 2,，D s 其中D s .表示第/个小闭区域，也表示它的面积。在每个D s i上任取一点(x ” h i),作乘积f (x ” h J D s i (/ = 1, 2,，卩)，并作和。如果当各小闭区域的直径中的董大值I趋于零时，这和的极限总存在，则 称此极限为函数f (x, y)在闭区域。上的二重积分，记作，即。其中f (x, y)叫做被积函数，f (x, y) ds叫做被积表达式，ds叫