线性方程组的有关概念

1、湖北科技职业学院线性方程组的有关概念线性方程组的一般形式为还可用矩阵表示为 Axb 第四节 线性方程组的解第三章 初等变换与线性方程组A b系数矩阵增广矩阵()11 11221121 1222221 122 nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 111212122212nnm nmmmnaaaaaaAaaa1nxxx1mbbb湖北科技职业学院当b0时,称方程组Axb为非齐次线性方程组.当b 0时,称方程组Ax0为齐次线性方程组.121225327xxxx系数矩阵是57b 1 23 2A，12312313230246040 xxxxxxxx000b 123

2、246,104A系数矩阵是 注意:如果是齐次线性方程组,b 0,只需对其系数矩阵进行初等行变换.换化为定理5,则Axb与Bxd是同解的方程组.可由初等行变A bB d设线性方程组()的增广矩阵湖北科技职业学院齐次线性方程组的解证明 必要性已知方程组Ax0有非零解,用反证法证明.取值,所以,可知方程组有非零解.设R(A)=n,则在A 中必有一个n阶非零子式Dn ,从而Dn所对应的n个方程只有零解,这与已知矛盾.因此R(A)n, 即R(A)n.充分性已知R(A)=rn,则A的行最简形矩阵只含r个非零行,其余nr行都为零,这nr个行所对应的变量是自由变量,可以任意定理60m nnAx条件是R(A)n

3、.有非零解的充分必要齐次线性方程组湖北科技职业学院例7 求解齐次线性方程组 12312312302403220 xxxxxxxxx解系数矩阵 1 112 413 22A将A施以初等行变换 111241322121323r rr r 1110210151111012015212r湖北科技职业学院100010001E2123rrrr 3102101211002可知R(E)=3,方程组Ex=0只有零解.又知方程组Ax0与Ex0是同解的,所以Ax0只有零解.1111012015湖北科技职业学院例8 求解齐次线性方程组 12341234123420363051050 xxxxxxxxxxxx解 系数矩阵

4、 121136135 1015A将A施以初等行变换121136135 1015121335rrrr 12110040004032rr 121100400000214r 12110010000012rr 1 2 010 0 100 0 00B湖北科技职业学院B为行最简形矩阵,R(B)=23,1243200 xxxx由定理6知, Bx=0有非零解, B所对应的方程组为121136135 1015A1 2 010 0 100 0 00B这个方程组中有4个未知量,两个方程,故有42=2个自由未知量.214212,( ,xc xc c c设为任意常数),则有1122134220 xccxcxxc 121

5、23421100001xxccxx 用向量表示为 此解是方程组Bx=0的通解， 它也是方程组Ax=0的通解. 湖北科技职业学院非齐次线性方程组的解对于非齐次线性方程组m nnAxb如果系数矩阵A是可逆矩阵(或满秩矩阵),其解为1xA b 如果系数矩阵A是非满秩矩阵,其解的情况较复杂,可能无解,可能有唯一解,也可能有无穷多解.当R(A)Rn时,方程组有唯一解;A b当R(A)Rn时,方程组有无限多解;A b时,方程组无解.当R(A)RA b定理7m nnAxb有解的充分必要条件是R(A)R.A b非齐次线性方程组湖北科技职业学院证明 必要性: 已知方程组Axb 有解,用反证法证明. 充分性：A

6、b则将 化为行最简形矩阵,可得其最后一个非零行所对应的方程为0=1, 这与方程组有解相矛盾， 设R(A)R A b，A b因此R(A)R.A b设R(A)R. 方程组没有自由未知量,只有唯一解. 当R(A)Rn时,A b当R(A)R时,可得方程组无解.证毕.A b当R(A)R n时,将 化为行最简形矩阵可知,方程组有nr个自由未知量,可令它们分别取因而,有无穷多个解.A bA b,这里,为任意常数,则方程组解中含有nr个任意常数,12,n rc cc12,n rc cc湖北科技职业学院例9 求解非齐次线性方程组 221032215434xyzxyzxyz其增广矩阵为 解对其进行初等行变换求解非

7、齐次线性方程组,只要将增广矩阵梯形矩阵,即可判断其是否有解;若有解,再进一步将其化为行最简形矩阵,写出其通解.A b化成行阶2121032215434A b21312325rrrr 21210322154342 12100 1 102803 1642湖北科技职业学院233rr2 12100 1 102803 164221210011028001442BB是行阶梯形矩阵,R(B)=3,即R 3.A b 由于 R(A) =R =3=n, 可得方程组有唯一解. A b再将B化为行最简形矩阵 3111412rr 132310rrrr C为行最简形矩阵,对应的方程组的解为:x=1, y=2, z= 3.

8、 方程组Axb 与之同解, 有唯一解x=1, y=2, z= 3.2112rr21210011028001442B1 1/20201020013100101020013C1 1/2150110280013湖北科技职业学院例10 求解非齐次线性方程组 23624243214xyzxyzxyz解 其增广矩阵为 对其进行初等行变换121324rrrr 可见R(A)=R(B)=23,由定理7可得方程组有无穷多解.1236214243214123601220122B1236214243214Ab再将B化为行最简形矩阵.湖北科技职业学院32rr 212rr C为行最简形矩阵,其对应的方程组为 222xzy

9、z123601220122123601220000101201220000C设z=c (c为任意常数),则222xcyczc 所以原方程组有无穷多个解,其通解为x =2c, y =2+2c, z = c.212201xycz 用向量表示为 湖北科技职业学院例11 求解方程组 123451234512345234523223536222383457xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解 其增广矩阵为 123rr132rr观察B的第2,3行,即可看出： R(A)=3而所以原方程组无解.12312205407 005407 4034517B12312231531 621223 8034517Ab4R Ab R(B)=R(A)R Ab湖北科技职业学院例12 确定的值,使下列线性方程组 123123123123332xxxxxxxxx(1)有唯一解; (2)有无穷多解; (3)无解.方程组增广矩阵为 解对其进行初等行变换12132rrrr 111101210141111 1233132111 1233132Ab湖北科技职业学院2123(1)rrrr 由此可