线性方程组的解结构

1、湖北科技职业学院湖北科技职业学院线性方程组的解结构线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构湖北科技职业学院湖北科技职业学院齐次线性方程组的解结构齐次线性方程组的解结构例例1.判别方程组判别方程组有无非零解有无非零解,若有若有,写出其通解写出其通解.202520470330 xyzxyzxyzxyz解解 在在MATLAB中输入该方程组的系数矩阵中输入该方程组的系数矩阵A并将它并将它化为最简行阶梯形矩阵化为最简行阶梯形矩阵,所用命令如下所用命令如下: A=1 2 -1;2 5 2;1 4 7;1 3 3; rref(A)运行结果

2、为运行结果为湖北科技职业学院湖北科技职业学院ans = 1 0 -9 0 1 4 0 0 0 0 0 0由阶梯形矩阵可知由阶梯形矩阵可知R(A)=2 A=1 1 1 1 1;3 2 1 1 -3;0 1 2 2 6;5 4 3 3 -1; format rat B=null(A , r) %求基础解系求基础解系湖北科技职业学院湖北科技职业学院B = 1 1 5 -2 -2 -6 1 0 0 0 1 0 0 0 1 syms k1 k2 k3 %定义符号参数定义符号参数 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+k3*B(:,3)X= k1+k2+5*k3 -2*k1-2k2-6k3 k1 k

3、2 k3湖北科技职业学院湖北科技职业学院即即为方程组的通解为方程组的通解,其中其中k1,k2,k3为任意实数为任意实数.123115226100010001Xkkk湖北科技职业学院湖北科技职业学院非齐次线性方程组的解结构非齐次线性方程组的解结构例例3.求解方程组求解方程组12312312233231xxxxxxxx 解解 在在MATLAB中输入系数矩阵及常数列向量中输入系数矩阵及常数列向量,并检验并检验系数矩阵是否逆系数矩阵是否逆,所用命令及结果如下所用命令及结果如下 A=2 1 1;3 1 2;1 -1 0; b=3 3 -1 ; det(A) %检验检验A是否可逆是否可逆ans = 2系数

4、矩阵行列式值等于系数矩阵行列式值等于2,是可逆是可逆的的,则可以用矩阵相除来求解则可以用矩阵相除来求解. X=AbX= 1 2 -1即是原方程组的解即是原方程组的解.湖北科技职业学院湖北科技职业学院例例4.求解方程组求解方程组1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx解解 先用先用MATLAB函数函数null求出对应的齐次线性方程求出对应的齐次线性方程组的基础解系组的基础解系,再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出再利用其系数矩阵的上、下三角阵求出方程组的一个特解方程组的一个特解,这样即可得到该方程组的通解这样即可得到该方程组的通解,程程序如下序如下: A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; b=1 4 0 ; format rat C=null(A , r); %求基础解系求基础解系 L,U=lu(A); %A=LU,L为为上三角阵上三角阵,U为下三角阵为下三角阵 X0= U(Lb) %用用LU求出一个齐次方程的特解求出一个齐次方程的特解湖北科技职业学院湖北科技职业学院 syms k1 k2 X=k1*C(:,1)+k2*C(:,2)+X0运行结果为运行结果为X0 = 0 0 -8/15 3/5 X = 3/2*k1-3/4*k2 3/2*k1+7/4*k2 k1-8/15 k2+3/