第四章 中值定理与导数的应用

1、第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节 中值定理中值定理第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 第三节第三节 函数单调性的判别法函数单调性的判别法第四节第四节 函数的极值函数的极值第五节第五节 函数的最值函数的最值第六节第六节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点第七节第七节 函数图形的描绘函数图形的描绘第一节第一节 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理定理定理1 1 如果函数 f(x)满足： （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，则在(a,b)内至少有一点 ，使 f ()=0.罗尔定理的几何解释罗尔

2、定理的几何解释: 如图4-1所示.连续曲线y=f(x)在区间(a,b)内每点都有不垂直于轴的切线，且两端点的纵坐标相等，则至少在一点处的切线是水平的. .例例1 1 验证函数f(x)=(x-1)(x -3) 在闭区间1,3上满足罗尔定理的条件，并求 解解 （1）f(x)在闭区间1,3上连续；（2）在开区间（1,3）内可导，且f(x)=2x-4，（3）两端点函数值相等，即f(1)=f(3)=0，即f(x)在1,3上满足罗尔定理的三个条件.因此, 在(1,3)内至少有一点 ，使f ()=2-4=0，可知 =2.注意注意: : 罗尔定理的条件有三个，若缺少一个条件，则结论不一定成立. 如下图所示.

3、二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理定理定理2 2 如果函数 f(x)满足： （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间（a,b）内可导； 则在(a,b)内至少有一点 ，使 f(b)-f(a)=f ()(b-a).拉格朗日定理的几何解释：拉格朗日定理的几何解释： 把 f(b)-f(a) = f ()(b-a)写成 f(b)-f(a)/ (b-a) =f (),如下图所示,数值f(b)-f(a)/ (b-a)表示弦AB的斜率，而f ()表示曲线在C点的切线斜率. 拉格朗日定理表明在定理的条件下，该曲线上至少有一点C，在该点的切线平行于弦AB.推论推论1 如果函数f(x)在区间(a,b)内的

4、导数恒为零，则f(x)在区间(a,b)内是一个常数. 证证 在(a,b)内任取两点x1, x2 ，在区间x1, x2上应用拉格朗日定理，在与之间有使得 f (x2)- f (x1 )= f ()(x2 - x1 )，由已知 f () =0,得 f (x1 )= f (x2), 所以 f(x) =C （ C 为常数）.推论推论2 2 如果在区间(a,b)内, f(x)= g(x),则f(x)=g(x)+C（C为常数）. 证证 令F(x)=f(x)-g(x), 则F(x)0, 由推论1知，F(x)在(a,b)内为一常数C，即 f(x)-g(x)=C，x(a,b).例例2 2 证明：|sinx-si

5、ny|x-y|.证证 设f(t)=sint,在区间x,y上应用拉格朗日定理，有 (x,y)使得 sinx-siny =(cos )(x-y), 因此， |sinx - siny|=|cos |x-y |x-y|.例例3 3 证明：当x0时, ln(1+x)x.证证 设函数f(t)=lnt，在区间1,1+x上应用拉格朗日定理，有 ln(1+x)-ln1=x/，其中 1 1+x，所以 ln(1+x)x.例例4 4 证明 arcsinx+arccosx=/2 (-1x1).证证 设f(x)=arcsinx+arccosx, 当-1x X 时 ” ， 条 件 ( 1 ) 改 为“limf(x)=lim

6、g(x)=”, 洛必达法则仍然成立.因此，洛必达法则既适用于 型未定式，又适用于 型未定式. 00 例例1 1 计算 解解 这是 型. 例例2 2 计算 解解 这是 型.sinlim30 xxxx00)()sin(limsinlim3030 xxxxxxxx.616sinlim3cos1lim020 xxxxxx.lnsinlnlim00 xxxxxxxxxx/1sin/coslimlnsinlnlim0000. 1cossinlim00 xxxx 二、其他型未定式二、其他型未定式 除0/0、/型未定式外，还有0、-、1、0、五种类型未定式，通常是将其变形为型未定式或型未定式,再考虑应用洛必达

7、法则. 例例3 3 计算 解解 这是0型.lim22xxex2222limlimxxxxexex. 01lim22lim22xxxxexex例例4 4 计算解解 这是-型.).111(lim0 xxex) 1(1lim)111(lim00 xxxxxexxeexxxxxxeee11lim0.2121lim2lim00 xxeeexxxxx例例5 5 计算解解 这是 型.因为 , 且 是 型未定式，所以.limsin00 xxx00 xxxxxeexcsclnlnsinsinxxxcsclnlim00 xxxxxxsin00sin00limlimxxxxxxxeecotcsc/1limcscln

8、lim0000. 10tansinlim00eexxxx例例6 6 计算解解 因为 不存在，不满足洛必达法则的条件，所以不能应用洛必达法则. 但是.sinsinlimxxxxxxxxxxxxxcos1cos1lim)sin()sin(lim. 1sin1sin1limsinsinlimxxxxxxxxxx定理（函数单调性的判别法）定理（函数单调性的判别法） 设函数f (x)在a ,b上连续，在(a ,b）内可导,(1) 如果函数f (x)在（a ,b）内0，则f (x)在a ,b上单调增加；(2) 如果函数f (x)在（a ,b）内1时， f (x) f (1) =0，所以，当 x1时，.1e

9、xexx 时，当,)(exexfx, 0)(eexfxexex第四节第四节 函数的函数的极值极值一、极值的定义一、极值的定义 设函数 f (x)在 (a ,b）内有定义, 是 (a ,b）内的点如果如果对 的某邻域内任何点 恒有 则称 是 f (x) 的极大值，点 是极大值点；如果对 的邻域内任何点 恒有 则称 是 f (x) 的极小值，点 是极小值点. 注意注意 （1）函数的极值是局部性概念，函数在一个区间上可能有多个极大值（或极小值），有的极大值可能比极小值还小；（2）函数的极大值（或极小值）不一定是整个定义域上的最大值（或最小值）. 0 x0 x,0 xx ),()(0 xfxf)(0

10、xf0 x0 x,0 xx ),()(0 xfxf)(0 xf0 x如图4-6所示，是极小值是极大值，)(),(),(642xfxfxf)(),(),(),(7531xfxfxfxf小比极小值极大值)()(74xfxf二、极值的求法二、极值的求法定理定理1(1(必要条件）必要条件）设函数 f(x)在点可导且取得极值 f(x),则 f(x)=0.定义定义2 2 注意注意 可导函数的极值点一定是驻点.反之，驻点不一定是极值点. 一般来说，对于一个连续函数，它的极值点可能是驻点，还可能是导数不存在的点. 函数的驻点和不可导点统称为可能极值点.的驻点为则称若)(, 0)(00 xfxxf定理定理2(2

11、(第一充分条件第一充分条件) ) 设连续函数 f (x)在点 的某空心邻域内可导，求函数极值的一般步骤：求函数极值的一般步骤：（1）求导数 （2）求出 （3）考察（2）中的每个点是不是极值点(可用（2）中的点将定义域划分为若干区间，考察各区间内函数的单调性，并求出极值点)；（4）求出各极值点处的函数值，即得函数的全部极值. 0 x, 0)(,; 0)(,) 1 (00 xfxxxfxx时当时当;0是极大值点则称点 x, 0)(,; 0)(,)2(00 xfxxxfxx时当时当;0是极小值点则称点 x.)()3(00不是极值时，则点的左右恒为正或恒为负在当xxxf );(xf ;)(0)(不存在

12、的点的点及xfxf例例1 1 求函数 的极值. 解解 定义域为(-,+)，3129)(23xxxxf),2)(1(612186)() 1 (2xxxxxf. 2, 1, 0)(21xxxf得令, 0)(21-xf）内，和，因为在（, 0)(21 xf内，在）内单调增加，和，函数在（所以，2 1内单调减少，在21 , 1) 1 (1fx处取得极大值所以，函数在点. 7)2(2fx处取得极小值函数在点 例例2 2 求函数 解解 定义域为(-,+)，的极值3/2) 1(3)(xxf.132)() 1 (3xxf.1)2(是导数不存在的点x, 0)(10)(1)-)3(xfxf）内，；在（内，在（是极

13、大值点因此，1x. 3) 1 (1fx处取得极大值所以，函数在点 注意注意 求函数的极值点，应先求函数的可能极值点（驻点和不可 导点），再用极值的充分条件来判定. 极值存在的第一充分条件 既适用于在可能极值点处可导，也适用于在可能极值点处不可导 的函数. 极值存在的第二充分条件只适用于在驻点处二阶导数存 在且不为零的函数.第五节第五节 函数的函数的最大值和最小值最大值和最小值一、函数一、函数 f (x) 在闭区间在闭区间a , b 上连续，且至多存在有限个可能上连续，且至多存在有限个可能极值点极值点 在 a , b 上连续的函数 f (x)，一定存在最大值和最小值. 这时 f (x) 在 a

14、, b 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点. 求法如下： (1) 求函数f (x) 在 (a ,b）内的所有驻点和导数不存在的点； (2) 计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是极大值，最小者就是极小值 例例1 1解解.4 , 2593)(23上的最大值和最小值在求函数xxxxf),3)(1(3963)(2xxxxxf. 3, 1, 0)(21xxxf得令,10) 1(4 , 2f上的最大值是所以，函数在,105) 1(9) 1(3) 1() 1(23f,225)3(9)3(3)3()3(23f.155)4(9)4(3)4()4(23f, 35)2(9)2

15、(3)2()2(23f.22)3(f最大值是二、函数二、函数 f (x) 在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟一的可能极值点一的可能极值点 如果惟一的可能极值点是函数的极大（小）值点，则它也是函数的最大（小）值点. 在最大（小）值的实际应用问题中，所讨论的函数往往是只有一个驻点的情形而根据问题的实际意义，可以断定函数在定义区间内一定取得最大（小）值，所以，可以直接断定该惟一驻点就是函数的最大（小）值 例例2 2 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起， 做成一个开口水槽，其截面为矩形，高为 x. 问 x 取何值时 水槽的流量最大？ 解解

16、 设两边各折起 x, 则横截面的面积为 .0),(2)(axxaxxS, 04)2(2, 0)( aSaxxS又，得令)(2)(0,xSaxa内惟一的极大值点在因此，是函数的最大值，, 4)(,42)( xSxaxS.2时，水槽的流量最大当两边各折起即，a 例例3 3 由电动势E、内电阻r与外电阻R构成的闭合电路（如图），E与r的值已知.问当R多大时，能使输出功率最大？ 解解 由电学知道，通过R的功率为 P = I R ， 其中回路电流 I 为 ., 0rRdRdP得令功率一定存在，由于该电路的最大输出.时，输出功率最大当即，rR ,rREI.0,)(222RrRRERIP于是,)()(32r

17、RRrEdRdP唯一驻点就是因此，极大值点，第五节第五节 函数的函数的最大值和最小值最大值和最小值一、函数一、函数 f (x) 在闭区间在闭区间a , b 上连续，且至多存在有限个可能上连续，且至多存在有限个可能极值点极值点 在 a , b 上连续的函数 f (x)，一定存在最大值和最小值. 这时 f (x) 在 a , b 上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点. 求法如下： (1) 求函数f (x) 在 (a ,b）内的所有驻点和导数不存在的点； (2) 计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是极大值，最小者就是极小值 例例1 1解解.4 , 2593)(2

18、3上的最大值和最小值在求函数xxxxf),3)(1(3963)(2xxxxxf. 3, 1, 0)(21xxxf得令,10) 1(4 , 2f上的最大值是所以，函数在,105) 1(9) 1(3) 1() 1(23f,225)3(9)3(3)3()3(23f.155)4(9)4(3)4()4(23f, 35)2(9)2(3)2()2(23f.22)3(f最大值是二、函数二、函数 f (x) 在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟在一般区间（包括无穷区间）上连续，且有惟一的可能极值点一的可能极值点 如果惟一的可能极值点是函数的极大（小）值点，则它也是函数的最大（小）值点. 在最大（小）值的实际

19、应用问题中，所讨论的函数往往是只有一个驻点的情形而根据问题的实际意义，可以断定函数在定义区间内一定取得最大（小）值，所以，可以直接断定该惟一驻点就是函数的最大（小）值 例例2 2 有一块宽 2a 的长方形铁片，将宽的两个边缘向上折起， 做成一个开口水槽，其截面为矩形，高为 x. 问 x 取何值时 水槽的流量最大？ 解解 设两边各折起 x, 则横截面的面积为 .0),(2)(axxaxxS, 04)2(2, 0)( aSaxxS又，得令)(2)(0,xSaxa内惟一的极大值点在因此，是函数的最大值，, 4)(,42)( xSxaxS.2时，水槽的流量最大当两边各折起即，a 例例3 3 由电动势E

20、、内电阻r与外电阻R构成的闭合电路（如图），E与r的值已知.问当R多大时，能使输出功率最大？ 解解 由电学知道，通过R的功率为 P = I R ， 其中回路电流 I 为 ., 0rRdRdP得令功率一定存在，由于该电路的最大输出.时，输出功率最大当即，rR ,rREI.0,)(222RrRRERIP于是,)()(32rRRrEdRdP唯一驻点就是因此，极大值点，第六节第六节 曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性的定义一、曲线的凹凸性的定义 设曲线 f (x) 在(a, b)内各点都有切线，在切点附近如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 f (x) 在（ a, b）上是凹的如果曲

21、线弧总位于切线的下方，则称曲线f (x) 在（ a, b）上是凸的. 曲线凹凸的判别法：曲线凹凸的判别法：设函数 f (x) 在(a, b)内具有二阶导数，(1) 如果在(a, b)内内是凹的，在则曲线),()(, 0)(baxfxf 是曲线的凹区间；也称)(a,b是曲线的凸区间也称)(a,b内是凸的，在则曲线内如果在),()(, 0)()()2(baxfxfa,b 二、曲线的拐点二、曲线的拐点连续曲线 y= f (x) 上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点 例例1 1 求曲线的凹凸区间和拐点. 解解 定义域为(-,+)， 14334xxy,121223xxy.32, 0, 021 xxy得令, 032()0- ( y）内，和，因为在, 0)32, 0( y内，在,320），）和（，曲线的凹区间是（所以，),32(3624132 xxxxy），区间是（320）都是曲线的拐点，）和（，点（27113210曲线的凸例例 求曲线的凹凸区间和拐点. 解解 定义域为(-,+)， 31)4(2xy,)4(92,)4(313532 xyxy.4是二阶导数不存在的点x, 0)4-