本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵求解线性方程组

1、 本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵求解线性方程组。它属于线性代数的一部分，是进行网络设计、电路分析的强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理与分析的数学基础，它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件MATLAB就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包。 内容简介内容简介 6.1 矩阵的概念与运算 6.1.1 矩阵的概念 6.1.2 矩阵的运算6.1.1 矩阵的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 在物资调运中，某物资（如煤）有两个产地（分别用1，2表示），三个销售地， （分别用

2、1，2，3表示） ，调运方案见下表：12312销售地销售地数量数量产地产地172520263223案例 1 物资调运方案其中第i(i=1,2)行第j(j=1,2,3)列的数表示从第i解这个调运方案可以简写成一个2行3列的数表233226202517个产地运往第j个销售地的运量。三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa将其未知量的系数与常数项按照顺序组成一个矩形表333323122322211131211baaabaaabaaa 在实际问题的研究中，常用这种表达式表达各种某种状态或数量关系在实际问题的研究中，常用这种表达

3、式表达各种某种状态或数量关系案例 2 线性方程由mn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成m行n列的数表称为m行n列矩阵，简称为mn矩阵。其中aij表示矩阵第i行第j列的元素，i称为aij的行标，j称为aij的列标。 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵矩阵 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211或mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 通常用大写黑体字母A,B,C,，或(aij)，(bij)，表示矩阵，有时为了标明矩阵的行数m与列数n，常记作Amn或(aij) mn 下面介绍几种特殊的矩阵 :(1) 方阵：当矩阵A的行数与列数相等，即m=

4、n时，矩阵A称为n阶方阵，记作A或AnA的左上角到右下角称为主对角线，其元素a11,a22,ann称为主对角线元素（简称主对角元） 如矩阵3124就是一个2阶方阵，其中元素3,-4是主对角元素 (2) 零矩阵：元素都是零的矩阵，记作0 (3)行矩阵：只有一行的矩阵 11121naaa列矩阵：只有一列的矩阵 11211maaa(4)对角矩阵：除主对角元外，其他元素均为零的方阵为了方便，采用如下记号：nnaaaA2211(未注明的元素均为零) 如 3004是一个对角矩阵 (5) 单位矩阵：主对角线上的元素都是1，其它元素都是零的方阵，记作I或In，即 100010001I如1001是一个2阶单位矩

5、阵 (6) 上（下）三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵，即 形如为上三角矩阵； nnnnaaaaaa00022211211形如为下三角矩阵； nnnnaaaaaa21222111000 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 药品库存某仓库中维生素C和维生素E的库存量见下表131518维生素E161922维生素C300片/瓶200片/瓶100片/瓶 数量品种它可用矩阵表示为 131518161922A 练习练习2 2 产值表 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）见下表 产品产品季度季度一一78 5 87 57 86 4二二9 07 08 58 47 6三三9 57

6、59 09 08 0四四8 9708 28 07 6这个季度产值可排成一个4行5列的产值矩阵 7680827089809090759576848570906478755878它具体描述了这家企业各种产品在各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长及年产量等情况 练习3 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵n元线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111n元线性方程组的系数可以组成一个m行n列矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211（6.1.1）称A为线性方程组（6.1.1）的系数矩阵由线性方程组（6

7、.1.1）的系数与常数项也可以组成一个行列矩阵 mmnmmnnbaaabaaabaaaA21222221111211组的系数矩阵和增广矩阵将用于研究线性方程组的解因此矩阵不仅广泛地应用于处理各种实际问题，而且成为求解线性方程组的重要工具 称A为线性方程组（6.1.1）的增广矩阵线性方程6.1.2 矩阵的运算 6.1.2.1 矩阵的相等 6.1.2.2 矩阵的加法 6.1.2.3 矩阵的数乘 6.1.2.4 矩阵与矩阵的相乘 6.1.2.5 矩阵的转置6.1.2.1 矩阵的相等 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 受力分析受力分析 作用在一静止物体上的力如图所示，

8、我们将物体所受的力沿水平方向和铅直方向进行分解，可以得到如下关系：水平方向：垂直方向：120.980.888.0FF120.220.473.5FF以上的等式能否用矩阵表示呢？由矩阵的定义不难看出，我们可以用矩阵表示为 12120.980.888.00.220.473.5FFFF如果A=(aij) mn与B=(bij) mn都是m行n列 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵相等矩阵相等 的矩阵，并且它们对应的元素相等，即 aij = bij（i=1,2,m, j=1,2,n）则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 矢量的合成与分解如图所示，已知两个

9、速度v1,v2的方向，其合速度为v=71.8，显然，这两个速度在水平方向和铅直方向的分解速度之和应该等于合速度在水平方向和铅直方向的分解速度，即 0001200012cos35cos5171.8cos75sin35sin5171.8sin75vvvv它可以用矩阵表示为 0001200012cos35cos5171.8cos75sin35sin5171.8sin75vvvv通过求解此矩阵，可以得到v1 , v2的大小 练习2 线性方程组的矩阵表示n元线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111可用矩阵相等表示为 11 11221

10、121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb6.1.2.2 矩阵的加法 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 药品库存总量药品库存总量 如某药业公司有A、B两个仓库，三种包装规格的维生素C和维生素E的库存量分别如下：A仓库两种药品的库存量为100片/瓶 200片/瓶 300片/瓶 维生素C维生素E413128362932用矩阵表示为 322936283141A同样，B仓库两种药品的库存量用矩阵表示为 该公司维生素C和维生素E的总库存量可以用矩阵表示为 上式右边的新矩阵是由矩阵A与矩阵B对应元素相加得到的

11、. 112429183526B412631 3528 183629292432 11435365466667两个mn矩阵A=(aij ) , B=( bij)的对应 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵的加法矩阵的加法 元素相加得到的新的mn矩阵矩阵C称为矩阵A与B的和，记作C=A+B mnmnmmmmnnnnbababababababababaC221122222221211112121111矩阵的加法满足下列运算规律 （其中A ，B ，C都是mn矩阵）ABBA（1）AA0（2）)()(CBACBA（3）0)(AA（4） 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 调运方案设某种物资

12、由3个产地运往4个销地，两次调运方案分别见表1和表2第1次调运方案（单位：t）表1 销 地销 地产地产地S1S2S3S4甲甲3752乙乙0214丙丙1306第2次调运方案（单位：t）表2 产地产地 销地销地S1S2S3S4甲甲1012乙乙3243丙丙0152若分别用A，B两个矩阵表示各次调运量 375202143061AB011233240512则两次从各产地调运该物资到各销地的运量之和为 3 1705 122034322141 03 10562A+B764435745814练习2 库存清单 矩阵S给出了某家具商店二月份各种沙发、椅子和餐桌的订货量，从生产车间运到商店的家具有三种款式：古式、普

13、通、现代，矩阵T给出了一月末仓库中家具数量的清单： (1)矩阵S中10代表什么意思？ 古式 普通现代2011024246S沙发椅子餐桌121015401517174218T沙发椅子餐桌古式 普通现代(2)计算T-S，并解释其实际意义？ 解 (1) S中的10表示二月份古式椅子的订货量为10张； TS101014301313153812一月末库存量二月销售量(2)它表示二月末仓库中各种家具的库存量 6.1.2.3 矩阵的数乘 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 运输费用运输费用 现将甲、乙两地的产品运销到三个不同的地区，已知甲、乙两地到三个销地的距离为 11335

14、142957088A若每吨货物的运费为2.4元/km，那么甲、乙两地到三个销地之间每吨货物的运费为 4 . 21134 . 2354 . 21424 . 2954 . 2704 . 2882 .271848 .3402281682 .211上式右边的新矩阵是由一个数乘以矩阵的所有元素得到的. 运费运费= =路程路程每公里的运费每公里的运费数k乘以矩阵A=(aij )的每一个元素得到的 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵的数乘矩阵的数乘 新矩阵 矩阵C称为矩阵A与数k的乘积，记作C=kA nmijcCmnmmnnkakakakakakakakaka212222111211数与矩阵的

15、乘法满足下列运算规律 （其中A ，B 都是mn矩阵，k，l是实数）kBkABAk)(（1）lAkAAlk )(（2）)()(lAkAkl（3） 三、三、进一步的练习进一步的练习练习 1 房屋开发计划一房屋开发商在开发一小区时设计了A、B、C、D共4种不同类型的房屋每种类型的车库又有三种设计：没有车库，一个车库，两个车库各种户型的数量如下： A B C D无车库一间车库两间车库860054300356如果开发商另有两个与之同样的开发计划，请用矩阵的运算给出开发商将开发的各种户型的总量 解 房屋开发商正要开发的一个小区的户型可用矩阵表示为 860054300356A因为该开发商还有两个与之一样的开

16、发计划，所以该开发商将开发的各种房屋的总量可用矩阵表示为 860033 54300356BA241800151290091518练习2 库存量若甲仓库的三类商品4种型号的库存件数用矩阵A表示为 325278435121A乙仓库的三类商品4种型号的库存件数用矩阵B表示为 453433121253B已知甲仓库每件商品的保管费为3（元/件），乙仓库每件商品的保管费为2（元/件），求甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和 解 甲、乙两仓库同类且同一种型号商品的保管费之和由矩阵F表示为 BAF23 32527843512134534331212532961562124129153638106866

17、2424106916717131430271421 16176.1.2.4 矩阵的相等与矩阵的相等 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例一、案例 奶粉销售奶粉销售 设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销量（单位：包）见表1，每种奶粉的单价和利润见表2 货类超市奶粉奶粉奶粉甲 5810 乙756表1奶粉奶粉数量数量单价单价+ +奶粉奶粉IIII数量数量单价单价+ +奶粉奶粉IIIIII数量数量单价单价单位：元单位：元单价单价利润利润奶粉奶粉153奶粉奶粉12奶粉奶粉2042表2求各超市出售奶粉的总收入和总利润 解 先列表分析： 单位：元单位：元总收入（元）总收入（元）总利润总

18、利润( (元元) )超市甲超市甲5 515+815+812+1012+1020205 53+83+82+102+104 4超市乙超市乙7 715+515+512+612+620207 73+53+52 26 64 4解 设 5810756A153122204BC为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则 5 15 8 12 10 20 5 3 8 2 10 4371 717 15 5 12 6 207 3 5 2 6 4285 55C 矩阵C中第1行第1列的元素等于矩阵A的第1行元素与矩阵B的第1列对应元素相乘之和，一般地，矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积

19、之和 设矩阵A=(aij )ml的列数与矩阵 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 矩阵与矩阵的相乘矩阵与矩阵的相乘 B=(bij )ln的行数相同，则由元素 构成的mn矩阵 ljiljijiijbababac2211），（njmi2121nmijcC)(称为矩阵A与B的乘积，记作C=AB 由矩阵与矩阵相乘的定义可知： (1) 矩阵A的列数必须等于矩阵B的行数，矩阵A与矩阵B才能相乘；(2) 矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数；(3) 矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列元素对应乘积之和，即 ljiljijiijbababac2211矩

20、阵乘法满足以下运算规律： (1) 结合律 (2) 数乘结合律 (3) 分配律 )()(BCACAB)()()(kBABkAABkBCACCBA)(CABAACB)( 三、三、进一步的练习进一步的练习练习1 商场税收若用矩阵表示某商场的两个分场两类商品的营业额；用矩阵表示两种商品的国税率、地税率，即设 22211211aaaaA二一22211211bbbbB家电服装求各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额？ 家电 服装国税率 地税率分析：一分场向国家财政上交的国税额= 一分场家电应上交的国税额+一分场服装应上交的国税额= 一分场家电的营业额家电的国税率+一分场服装的营业额服装的国税率，解同理，得各分场应该向国家财政和地方财政上交的税额为 11 1112 2111 1212 2221 1122 2121 1222 22a ba ba ba bCABa ba ba ba b二一国税地税 练习2 电子运动在研究电子的运动时，常用到矩阵 00yiSi这里 1i 试验证： 2ySI解 200yiSi00ii1001I0 0()0 ()() 000()0 0iiiiiiii 6.1.2.5 矩阵的转置 一、案例 二、概念和公式的