本章主要讨论线性方程组的解的基本理论

1、本章主要讨论线性方程组的解的基本理论,包括非齐次线性方程组 有解的条件,齐次线性方程组 有非零解的条件,以及有无穷多解时,怎样表示等问题.bAx 0Ax为此,需要引进向量的概念,定义向量的线性运算,研究向量的线性相关性,讨论矩阵及向量组的秩等概念.第3章 线性方程组3.1 n 维向量及其线性相关性如果 n 个分量全为零，叫做零向量，用 0 表示;全体 n 元实向量组成的集合记作 Rn .常用 , , 等表示 n 维向量.1n维向量的概念 定义3.1 由 n 个数 a1,a2,an 组成的有序数组称为 n 维向量, 记作 (a1,a2,an)，其中 ai 称为第 i 个分量.如果 ai (i=1

2、,2,n )是实(复)数叫做实(复)向量行向量是 1n 矩阵,记作 (a1,a2,an)；列向量是 n1 矩阵,记作 (a1,a2,an)T(1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,n(2) 与 之和 : + = (a1+b1, a2+b2, an+bn) (3) 数 与 之乘积: = (a1,a2,an) ，简称数乘.这里,F为数域2向量的线性运算 定义3.2 设 = (a1, a2, an) Fn, = (b1, b2, bn) Fn, Fk= 1时， = ( a1, a2, an) = +( ) 加法满足4条运算律：(1) + = + ；(2) ( + )+ = +( + )；

3、(3) 有 +0n = ；(4) 有( ) ,使 + ( ) =0n。 向量的加法与数量乘法统称为向量的线性运算，其运算规律与矩阵的相同,例如: , Fn, , F有： 1 = ；数乘满足4条运算律： ( )=() ； ( + )= + ； (+) = + 。(1) 有 0 =0 ; k0 = 0(2) 若 k =0，则 = 0 或 k=0(3) 向量方程 +x= 有唯一解: x= 定义3.3 数域 F上的全体 n 元向量，在其中定义了上述的加法和数乘运算 , 称为数域 F上的n维向量空间，记作 Fn (Rn为实空间)例 设410,231，又0)(32，求解：3161322313241032)

4、23(31定义3.4 设 i Fn , iF (i = 1, 2, , m), 则称向量 = 1 1 + 2 2 + + m m (1) 为向量 1, 2 , , m的线性组合，或者说 可用 1, 2 , , m线性表示。(1)式也可表示为：A x = ，此时 1, 2 , , m , 为列向量，矩阵A= 1, 2 , , m，x= 1, 2 , , nT可用 1, 2 , , m线性表示的充分必要条件是线性方程组Ax有解。我们有如下结论：事实上，设nnmmmmnnbbbaaaaaaaaa.,.,.,.,.2121222122121111（1）式为nnmmmmnnbbbaaaaaaaaa.21

5、21222122121111相当于线性方程组mmmmnmnnmmmmxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.212122112222212111212111有解例如，在 R3中，任一向量 = (a1, a2, a3) 可由基本向量e1=(1, 0, 0), e2=(0, 1, 0), e3=(0, 0, 1) 线性表示为 = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3在R3中，如果三个向量 1, 2, 3共面，则至少有一个向量可以由另两个向量线性表示，如图，即存在不全为 0 的的 k1 ， k2 ，k3 使k1 1 + k2 2 + k3 3 =0 如果三个向量 1, 2, 3不共面

6、，则任意一个向量都不能由其余两个向量线性表示，如 1= a1 e1 ， 2= a2 e2 ， 3 = a3 e3 3 = k1 1+ k2 2 2 3 1 k2 2k1 1“否则”是指：不线性相关就是线性无关， “仅当1, 2,m全为零时，才使(*)式成立”。亦即“如果(*)式成立，则1, 2,m必须全为零”。如向量组222,11121线性相关； 而向量组100,010,001321eee则线性无关。3向量的线性相关性 定义3.5 设 1, 2, , m Rn , 如果存在不全为零的1, 2,m R ,使成立，则称 1, 2, , m线性相关，否则，线性无关 1 1 + 2 2 + + m m

7、 = 0 （*）定理3.1 向量组 1, 2, , m(m 2) 线性相关的充要条件是 1, 2, , m中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证证 :(必要性)设 1, 2, , m线性相关，则存在不全为零的数1, 2,m, 使得1 1 + 2 2 + + m m = 0不妨设 1 0 , 于是 1= 112 2 11m m(充分性)若 1, 2, , m中的一个向量可由其余向量线性表示，如 j = 1 1 + j1 j1 + j+1 j+1 + m m则1 1 + j1 1 j + j+1 j+1 + m m = 0其中1, j1,1, j+1, , m不全为零，充分性得证。例1 Rn中的

8、 e1, , e2, , , en 是线性无关的。其中 = (0, 0, 1, 0,0) 是第 i 个分量为 1 (i=1,2, , , n）其余分量全为零的向量。 解：因为，由1e1 + 2e2 + + mem = 0即 (1, 2, , n) = (0, 0, , 0)必有 1 = 2 = = n = 0.Tie定理3.1 的等价命题： 1, 2, , m(m 2)线性无关的充要条件是其中任一个向量都不能由其余向量线性表示注意: (1) 单个向量 线性相关的充分必要条件是： 为零向量因为 0 使 = 0 成立的充要条件是 = = 0 0； (2) 两个非零向量 ， 线性相关的充分必要条件是

9、： ， 成比例即存在 k 或 l 。(3) R3中三个向量 ， ， 线性相 关的充分必要条件是 ， ， 共面 例2 含零向量的任何向量组0, 1, 2 , , m都线性相关。因为1 0 + 0 1 + 0 2 + + 0 n = 0例3 如果向量组 1, 2, , m中有一部分向量线性相关，则 整个向量组也线性相关证：不妨设 1, 2, , k线性相关, 于是有不全为零的 1 , 2 , ,k , 使 1 1 + 2 2 + + k k = 0 成立，从而有不全为零的 1 , 2 , k , 0, ,0 使 1 1 + 2 2 + + k k + 0 k+1 + 0 k+2 + + 0 m =

10、 0 成立， 所以 1, 2, , m线性相关 例如， 1 = (1, 2, 1)T, 2 =(2, 4, 2)T , 3 =(1,1,3)T。因为 1, 2 线性相关（成比例），所以， 1, 2, 3 线性相关。例3 的等价命题是：线性无关向量组的任一子集 （任一部分向量）都线性无关。总之：向量组部分线性相关，则整体线性相关；整体线性无关，则任一部分都线性无关。 定理3.2 设 1, 2, , s Fn, 其中 1 = (a11 , a21 , , an1)T, 2 = (a12 , a22 , , an2)T, , s = (a1s , a2s , ans)T,则 1, 2, , s线性相

11、关的充要条件是 s 元线性齐次方程组Ax=0有非零解,其中,T2121ssxxxA，x有非零解。即0002211322221211212111snsnnsssxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211ssxxx证：设00,2121xA或，ssxxx线性相关，有非零解s,21,即定理 3.2 的等价命题： 1, 2, , s线性无关的充要条件是Ax=0只有零解。推论. 任意 s 个 n 维向量，当 sn 时都线性相关。证明:因为 s 个未知量, n个方程的齐次线性方程组必有非零解，即 sn 时 Ansx=0 0 有非零解,从而 s个n维向量必线性相关。 定理3.3 若向量组 1, 2, ,

12、r 线性无关 , 而向量组 , 1, 2, , r 线性相关 , 则 可由 1, 2, , r 线性表示，且表示法唯一。 证：证： 由于向量组 , 1, 2, , r 线性相关，所以存在不全 为零的数 , 1 , 2 , ,r 使得 + 1 1 + 2 2 + + r r = 0其中 必不等于零(如果 = 0, 则由 1, 2, ， r 线性无关,可得 1 , 2 , , r 全为零，与题设矛盾), 于是 = 1 1 1 1 2 2 1 r r即 可由 1, 2, , r 线性表示。则 Rn 中任一个向量 可由 1, 2 , , n 线性表示，且表示法 唯一。 这是因为 Rn 中任何 n+1个

13、向量都线性相关。故 1, 2, , n线性相关，由 定理3.3，向量 可由 1, 2, , n 线性表示，且表示法 唯一。推论 如果 1, 2, , n是 Rn 中线性无关的 n 个向量,下面用反证法证明表示法唯一。不妨设： = b1 1 + b2 2 + +br r = c1 1 + c2 2 + +cr r于是，( b1 c1 ) 1 + ( b2 c2) 2 +( br cr) r = 0而 1, 2, , r线性无关，所以 bi = ci ( i = 1, 2, r ), 故 由 1, 2, , r 表示是唯一的 例4 (1) a 取何值时， 1 = (1, 3, 6, 2)T , 2

14、 =(2, 1, 2, 1)T , 3 =(1, 1, a, 2)T 线性无关？(2) a = 2时， 3可否由 1, 2 线性表示？若可以，求表示式。得 x2=4/5 x1=3/5所以，解 (1)设x1 1x2 2x3 30(*);000200450121450610045012121226113121321aaa行变换行变换,，只有零解时，方程组当0:(*)2321xxxa321,线性无关.解 (2)设 3 x1 1x2 2(*);000000450121212226113121321行变换,2135453例5 若问：解是否线性无关？思考：由定理3.2， 若向量组 1, 2, , r线性无

15、关 , 对每一个 i 各增加 m个分量得到的向量组 1, 2, , r 也线性无关。其逆否命题是什么？ 线性相关解，则注：若方程组存在非零321,线性无关，所以，解方程组得321321，0 xxx040220223232121xxxxxxx，即系数必须全部为线性无关，所以，它的由于0，3210,)4()22()22(3322321121xxxxxxx即0,)4()22()22(3233212211xxx则，设0332211xxx323321221142222,线性无关，321定义3.6 向量组 1, 2 , s中存在 r 个线性无关的向量 i1, i2 , ir且向量组 1, 2 , s中任意

16、一个向量均可由它们线性表示,则称向量组 1, 2 , s的秩为 r，记 作秩 1, 2 , sr 或 r 1, 2 , sr并称 i1, i2 , ir是一个极大线性无关组。 注意：一个向量组的秩是唯一确定的，但它的极大线性无关组不是唯一的。例如 1(1, 0); 2(0, 1); 3(1, 2); 4(2, 1)秩 1, 2 , 3, 42其中任意两个 i, j (i, j =1,2,3,4且 ij ) 都线性无关，都是 1, 2 , 3, 4的一个极大线性无关组。3.2 向量组的秩及其极大线性无关组 定义3.7 若向量组 1, 2 , k 中每个向量均可由向量组 1, 2 , s线性表示，

17、则称 1, 2 , k可由向量组 1, 2 , s线性表示。如果它们可以互相线性表示，则称它们等价，记作 1, 2 , s 1, 2 , k 定理3.4 设向量 1, 2 , s可由另一向量组 1, 2 , r 线性表示。如果 sr, 则 1, 2 , s 线性相关。 在R3中的几何背景是：如果 1, 2线性无关, 1, 2, 3可由 1, 2 线性表示，则 1, 2, 3都位于 1, 2所确定的平面上, 故 1, 2, 3线性相关。证 : 设j = 1, s再设 x1 1 + x2 2 + xs s = 0(交换和号顺序)，iriijj10)()(11111 irijsjijriiijsjj

18、jsjjxxx即推论(1)(定理2.5的等价命题): 若 1, 2 , s 线性无关, 则 s r。故 1, 2, s线性相关。令中 i (i = 1, 2, n)的系数全为零, 即（i = 1, r）（*）此式是关于 x1 , x2 ,xs 的齐次线性方程组，由于 r s（方程个数 未知数个数 ), 必有非零解，从而有不全为零的 x1 , x2 ,xs 使 (*) 式成立，即有不全为零的 x1 , x2 , xs 使x1 1 + x2 2 + xs s = 0推论(2) 若秩 1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意 r +1 个向量都是线性相关的。因为任意 r +1个向量都可经线性

19、无关的 r 个向量线性表示。01jsjijx0)(11 irijsjijx 若秩 1, 2 , sr, 则 1, 2 , s中任意 r 个线性无关的向量都是 1, 2 , s的一个极大线性无关组。 推论(3) 若向量组 1, 2 , k 可由向量组 1, 2 , s线性表示，则 秩 1, 2 , k 秩 1, 2 , s 证证 设 1, 2 , r和 1, 2 , p 分别是 1, 2 , k 和 1, 2 , s 的一个极大线性无关组，则 1, 2 , p 线性表示，由推论(1)得r p。 1, 2 , r可经 1, 2 , k线性表示。 已知 1, 2 , k 可由 1, 2 , s 线性

20、表示， 又 1, 2 , s可经其极大线性无关组 1, 2 , p 线性表示。因此， 1, 2 , r可经 推论(4)的逆命题不成立。例如， 1(1, 0，0); 2(0, 1, 0); 3(0, 0, 1) 秩 1, 2 =秩 1, 32但 1, 2 和 1, 3不是等价向量组。 除掌握秩和极大线性无关组的定义外，还要掌握秩和极大线性无关组的求法，以及向量组中的一个向量如何用极大线性无关组线性表示。 这在下一节中讲。推论(4) 若向量组 1, 2 , k 1, 2 , s，则 秩 1, 2 , k秩 1, 2 , s3.3 矩阵的秩 相抵标准形 A的n个列(m个行)向量组成的向量组的秩称为A

21、的列秩(行秩)。在阶梯形矩阵中，非零行的行数=A的行秩= A的列秩。 方程 x1 1 + x2 2 + x3 3 = 0 , 易得只有零解 ，三个行向量 1, 2 , 3 线性无关，A的行秩=3。方程y1 1 + y3 3 + y4 4= 0 也只有零解 ，三个列向量 1, 3 , 4线性无关，且任意4个列向量线性相关。所以 A的列秩=3。 定义3.8 矩阵A=(aij)mn的每一列(行)称为A的一个列(行)向量。A的列秩 n；A的行秩 m矩阵的行秩=列秩=矩阵的秩543214321,00000210004211021011A例如(3) 将A的第i行乘常数c加到第j行得到B，则B的行向量组 1

22、, , j , m为 j=c i+ j ; k= k (kj)。相应地 也有 j= j c i ; k= k (kj).因此A与B的行向量组可以 互相线性表示（等价）.所以A与B的行秩相等。定理3.5 初等行（列）变换不改变矩阵的行（列）秩. 证证：只需证明作一次倍乘，倍加和对换行变换， A的行秩不变.设mn矩阵A的m个行向量为 1, 2 , m.(1)将A的第 i, j 行对换得到B, 则B与A的行向量组相同（只 是排列顺序不同），故A, B的行秩相等.(2)将A的第 i 行乘非零常数 c 得到B, 则B的行向量组为 1, i-1, c i , i+1, m，它与A的行向量组等价. 因此 A

23、与B的行秩相等. 所以，初等行变换不改变矩阵的行秩.同理，初等列变换不改变矩阵的列秩.这个定理给出了求向量组的秩及其极大线性无关组的一个简单而有效的方法。 证：证：对A做行变换化为B，即 B =PkP2P1A, 其中 PkP2P1为若干初等矩阵的乘积，记 P= PkP2P1(P可逆)， 则PA= B 或 P j = j , j=1,2,s所以，A1 与 B1的列向量组有相同的线性相关性。推论：对矩阵A做初等行变换，不改变A的列秩齐次线性方程组A1x=0 与 B1x =0 (即PA1x=0）为同解方程组记A1= i1, i2 , ir , B1= i1, i2 , ir , 则有相同的线性相关性

24、则向量组 i1, i2 , ri 与 i1, i2 , ir （1i1 i2 ir s) B,A2121ss初等行变换设定理3.6 对矩阵A作初等行变换化为B, 则A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性。即 解解：对A= 1T, 2T , 3T, 4T, 5T (将 i 竖排)作初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，即 记阶梯形矩阵U= 1, 2, 3, 4, 5 。U中每个非零行第一个非零元所在的第1, 2, 4列 线性无关， 所以， 1, 2, 4 是U的一个极大线性无关组， 从而， 1T, 2T, 4T 是A的列向量组的一个极大线性无关组。即 1, 2, 4 是 1， 2， 3， 4

25、， 5 的一个极大线性无关组。11110421104211021011U0000011000421102101111110421106312121011A例1 求向量组 1, 2, , 5的秩及其一个极大线性无关组,并将其余向量用极大线性无关组线性表示。其中 1=(1,1,0,0), 2=(1,2,1,1) , 3=(0,1,1,1)， 4=(1, 3, 2, 1), 5=(2, 6, 4,1) ( i为行向量) (1) 设 x1 1+x2 2= 3， 此非齐次方程组的增广矩阵为 1， 2， 3，用高斯消元法（初等行变换）化为U中的前三列，其同解方程组为x1x20, x21，解得：x1 x2

26、=1。所以， 3 1+ 2 。 (2) 设 x1 1+x2 2+x4 4= 5，同理，方程组的增广矩阵经初等行变换化为U中的第1，2，4，5列,得同解方程组 3, 5 可以用 1, 2, 4 线性表示，做法如下： 3, 5 用 1, 2, 4线性表示的另一个做法如下：121421xxx1422442421xxxxxx解得42152从而设 x1 1T+x2 2T+x3 3T +x4 4T+x5 5T= 0此齐次方程组的系数矩阵A用初等行变换化为U，对U再做行变换得U 1 .其同解方程组为12110)2(42153xxxxx得令42155421202即所以，2133210即所以，0101) 1 (

27、42153xxxxx得令002054532531xxxxxxxx100000110002011010101UUA00000110004211021011实际上，由定理3.6，我们可以知道矩阵A的列向量组与矩阵1U的列向量组有相同的线性相关性。设00000110002011010101,543211U显然，有42152132因此，同样有4215213297963422644121121112 A设矩阵 .用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵A练习00000310003011040101 初等行变换A4215213334 , aaaaaaa即得解:设54

28、321,A由定理3.5 和定理3.6的推论 得定理3.7 初等变换不改变矩阵的行秩和列秩定理3.8 矩阵A的行秩= A的列秩 证：对A做初等行变换，将其化为阶梯形矩阵U，则 A的行秩= U的行秩= U的列秩= A的列秩定义3.8 A的行秩= A的列秩, 统称为A的秩，记作秩(A)， 或r(A). 对n 阶矩阵A ， r(A)= n时称为满秩矩阵定理3.9 n 阶矩阵A ， r(A)= n 的充要条件是 A为非奇异矩阵（即 A 0）。 证：若 r(A)=n，则对A做初等行变换， 将其化为阶梯形矩阵U ，则 U 有n个非零行， 可以继续将 U化为单位矩阵 I , 即存在可逆矩阵 P 使得 PA=I

29、 。所以， PA = P A =1, 故 A 0。若 A 0 ，则 A x=0 只有零解 x= A10 =0, A的n个列向量线性无关，故 r(A)= n。矩阵A若存在 r 阶非零子式且所有 r +1 阶子式都等于零，则矩阵A的非零子式的最高阶数为 r（因为由行列式的展开可知更高阶的子式也都等于零），并称r为A的行列式的秩。 定义3.9 矩阵A=(aij)mn 的任意k行 (i1i2ik行)和任意 k列 (j1j2jk列) 的交点上的 k2 个元素排成的行列式 称为矩阵 A 的一个 k 阶子式 (k 阶子式)。等于零的 k 阶子式, 称为 k 阶零 子式, 否则叫做非零子式。当 jt= it

30、( t =1,2, , k ) 时，称为 A 的 k 阶主子式。2. 矩阵的行列式的秩=矩阵的秩kkkkkkjijijijijijijijijiaaaaaaaaa212221212111 证证必要性。设秩(A)= r,不妨设A的前 r行线性无关。记 充分性。不妨设A的左上角 r 阶子式| Ar|0，则 Ar可逆, Ar 的 r个行向量线性无关, 添分量成为 A1 的行向量组也线性无关。而A中任何 r +1 行线性相关（否则，由必要性的证明可知A中存在r +1阶非零子式）。 A的任意 r +1个行向量线性相关， 所以 A的任意 r +1阶子式都等于零(*)。由(*)和(*)得A的行列式的秩为 r

31、.其中Ar是 r 阶方阵, r(A1)= r。 不妨再设A1的前 r 列向量线性无关, 即 r(Ar)=r, 故 | Ar|0.即 存在一个 r 阶子式不等零（*），故矩阵A的行秩=秩(A)= r。,DCBAArA1 =Ar B定理3.10 秩(A)=r的充要条件是A的非零子式的最高阶数为r 3. 矩阵的秩的性质 (1) 对任意的Amn，都有: 秩(A) minm,n 和 秩(AT)=秩(A);(2) 秩(A+B) 秩(A)+秩(B); 证证： 设 Amn = 1, 2, n, Bmn = 1, 2, , n ,秩(A) =p, 秩(B)=q， 1, , n和 1, , n的极大线性无关组分别

32、为 1, , p和 1, , q ，则 A+B= 1+ 1, 2+ 2, , n + n A+B的列向量组可以由向量组 1, 2, n, 1, , n线性表示。所以，r(A+B) r( 1, 2, n, 1, , n) p+q。(3) 秩(AB) min秩(A),秩(B);证：设 A， B 分别是 mn 和 ns 矩阵，A依列分块有nsnnssnbbbbbbbbbAB21222211121121,niiinniiiniiibbb11211,AB的列向量组可以由A的列向量组 1, , n线性表示,所以， r(AB) = AB的列秩 A的列秩= r(A) 类似地，对B依行分块，可以证明r(AB)

33、r(B).或利用 r(AB) = r(AB)T ) = r(BT A T) r(BT) = r(B) 证: 秩(PA)秩(A), 由 P1 (PA)= A ，得: 秩(A)秩(PA) 所以 秩(PA)=秩(A) ; 同理可证明其他情形。证：证：由于秩(ATA)秩(A) minm,n=mn，而AT A是 n 阶矩阵，故 AT A 是不可逆矩阵，于是 | AT A |=0。(4) 设A为 mn 矩阵， P 和 Q 分别是 m 和 n 阶可逆矩阵, 则秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)=秩(PAQ) 例2 设A为 mn 矩阵，且 mn), 秩(A) = n. 证明：存在nm矩阵B, 使BA=In. 证

34、：A是mn矩阵，秩(A) = n, 则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q, 使得则其中01是(mn)n零矩阵; 02是n (mn)零矩阵故存在nm矩阵B=CP, 使BA=In ，10nIPAQ111100QQIPAnnIQQCPAQC121200,0则令 解: 若a=1, 则A的各行成比例，r(A)=1。所以，排除a=1例4. 设n 阶矩阵(n3) 若矩阵A的秩为n 或 n 1，则a必为_(1) 若 k = 1+(n 1)a 0 即第一列乘再将各行减去第一行，得到可知 a1且时， r(A)=n利用初等变换不改变矩阵的秩，将A的各列加到第一列，1111aaaaaaaaaaaaA，na11，ank

35、)1(11111111111111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1000010000101na11(2) 若所以，r(A)= n 1即 k = 1+(n1)a =0, 将A的各列加到第1列,第一列接着将第2， n行各行都减去第1行; 再将第2， ,n行各行都乘加到第1行，将第1行化为全零行都为0;1aa1000010000100000aaaaaa10000100001001111aaaaaaaaaaaaA1010100aaaaaaaaa，na11例5. 设,已知r(A)=2, 求t解：利用初等变换不改变矩阵的秩，将A化为B。B中第2，3行成比例, 30151222121

36、tA由2)()(BrAr1,6422tt得,000620420121BAt3.4 齐次线性方程组有非零解的条件及解的结构1.齐次线性方程组有非零解的充要条件x1 1 + x2 2+ xn n=0以Amn为系数矩阵的齐次线性方程组 Ax=0 ,当A按列分块为A=( 1, 2 , n), 列向量 x=x1, x2, xn T 时，方程组表示为向量方程：定理3.12 齐次线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是r(A)=r( 1, 2 , n) n ，或 1, 2 , n线性相关.当r(A)=r时，对A做初等行变换，可化为行阶梯形矩阵:）), 2 , 1(0(riciij其中000000000000

37、00221112rnrjnjnccccccUr 与 为同解方程组, 有非零解的充要条件:rn 0AxoUx 证： 设 B =(b1, b2, bn)， AB=0, 即A (b1, b2, bn)= (A b1, A b2, A bn)=(0,0, , 0)。例1 设A是n阶矩阵，证明：存在ns矩阵B0,使得AB=0 的充要条件是: : A = =0。A bi=0（ i=1,2, , n) 意味着B的每一列都是A x=0 的解。由 B0，即A x=0 有非零解。所以，A =0。 反之，若A =0， A x=0有非零解。取非零解为 B 的 s 个 列向量。则 B 0, 且AB=0。推论2： A为n

38、阶矩阵时, A x=0 有非零解的充要条件: :A =0推论1： A为mn矩阵, A x=0 只有零解的充要条件: :r=n2. 2. 齐次线性方程组解的结构定理3.13 齐次线性方程组A x=0 的任意两个解x1，x2 的线性组合k1 x1+k2 x2(k1 ,k2 为任意常数) 也是它的解证：因为A(k1 x1+k2 x2)= k1 A x1+k2 Ax2= k1 0+k2 0=0定义3.13 设 x1, x2, xp 是Ax=0 的解向量，且Ax=0 的任意一个解向量都可由 x1, x2, xp 线性表示，则称x1, x2, xp为Ax=0的一个基础解系.由定理3.13知道,基础解系的任

39、意线性组合也都是Ax=0的解，称x= k1x1+ k2x2+ kpxp(其中k1, k2,kp 为任意常数）为Ax=0的一般解（通解）.Ax=0 的基础解系不是唯一的，但基础解系所含向量的个数一定是n r.任意一个基础解系的线性组合都是Ax=0 的通解.证：对A作初等行变换，化为行简化阶梯形矩阵，不妨设为U，即则Ax=0 与U x=0为同解方程组.3. 求Ax=0 的基础解系的常用方法定理3.14 设A是mn矩阵，r(A)=rn, 则齐次线性方程组 Ax=0 存在基础解系，且基础解系包含 nr 个解向量.UccccccArnrrnnrr00000000001000100011,211,11,2

40、初等行变换，即选xr+1, xr+2, , xn为自由未知量，对它们取下列n r 组值 (1,0, ,0) , (0,1, ,0) , ， (0,0, ,1)再分别代入(*)，即可得到Ax=0 的n r个解：x1=( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)Tx2=( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)Tx n-r = ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T 这 n r个解显然是线性无关的（增加分量不改无关性），(*)且 x*= k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r 也是Ax=0的解

41、。U x=000011,211, 22111, 11nrnrrrrnnrrnnrrxcxcxxcxcxxcxcx下面证明:Ax=0 的任意一个解向量都可由 x1, x2, xn-r 线性表示.设Ax=0 的任意一个解向量为x ，可取自由未知量xr+1, xr+2, , xn和任意常数 k1, k2, kn-r, 代入(*)得 x=（ d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )Tx- x*也是Ax=0的解显然, 所以 x1, x2, xn-r 是齐次线性方程组Ax=0 的基础解系.x =x*= k1 x1+ k2 x2+kn-r xn-r可由 x1, x2, xn-r 线性表示.x x

42、*=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T (k1 x 1+ k2 x 2+kn-r xn-r )=（d1, d2, dr, k1, k2, kn-r )T k1 ( c1,r+1, c2,r+1, , cr,r+1, 1, 0, , 0)T k2 ( c1,r+2, c2,r+2, , cr,r+2, 0, 1, , 0)T kn-r ( c1,n , c2,n, ， cr,n, 0, 0, , 1)T= (d1*, d2 *, dr *,0, 0, 0)T是自由未知量 xr+1, xr+2, , xn 全部取0时的解，此时由(*)得 x1 = = xr =0， 即 d1*

43、= d2 *= dr *=0，所以， x x*=0，即 例2求方程组 Ax=O O 的基础解系和一般解。其中 Ax=0的一般解为： x = k1 x1+k2 x2，即x = k1(3,1,0,0,0)T + k2(7,0, 2,0,1)T 解 对A做初等行变换，将A化为行简化阶梯形矩阵U:选x1, x3, x4为主元，x2, x5为自由未知量，取x2=0, x5 =1，得x2=(7,0,2,0,1)T,取x2=1, x5 =0 得 x1=(3,1,0,0,0)T。 r(A)=3, n-r=2,00000010002010070031UA613001313314596212331Ax1，x2 为

44、Ax=0 一个基础解系（k1，k2为任意常数）r(B)秩 1, 2 , s nr(A), 即 r(A)+r(B)n 证：记 B=( 1, 2 , s) （ i 为B的第 i 列向量）。由AB=0 ，得 A i=0 (i=1, s),即 1, 2 , s都是Ax=0的解， 又Ax=0 的基础解系含nr(A) 即个解， Ax=0 的任意一组解中至多包含 nr(A) 个线性无关的解，所以，例3 若AmnBns=0, 则 r(A)+r(B)n*例4 设A是mn实矩阵，证明：r(AT A)=r(A). 证： 由秩的性质知 r(ATA) r(A)，只需证明 r(ATA) r(A)只要证明： ATAx=0的

45、解集合包含于 Ax=0 的解集合设(ATA) x=0 (xRn)，则 xT(ATA) x= 0 ，即 (Ax)TAx= 0 .令Ax= (b1, b2 , bm) Rm（实向量），则 (Ax)TAx= b12+ b22 +bm2= 0 ，故必有b1=b2 = bm =0 ，即Ax=0 .因此， ATAx=0的解必满足方程Ax=0，所以， n r(ATA) n r(A), 即 r(ATA ) r(A).例5 5. 设r(Bm3)=2, ( m3)问：（1）a, b 满足什么条件时，将确保r(AB) =2;（2）A, B 满足什么条件时， r(AB) =1? 由 r(Bm3)=2，不妨设B=（x1

46、, x2, x3）。若AB =（Ax1, Ax2, Ax3）=（0, 0, ）, 其中 0 ，则 r(AB) =1。即 x1, x2 是Ax=0 的解，而 x3 不 是Ax=0 的解。 由r(A)=2 知：x1, x2成比例(基础解系仅含一个解向量）。但 x3, x2不成比例（否则x3 也是A x=0 的解，矛盾）。此时， r(B)= rx1, x2, x3=2 所以，当A, B 满足： ab=1 ， B 的列向量中有两列是A x=0 的解且 另一列不是Ax=0 的解时， r(AB) =1。解：(1) 当|A|=ab10 时，A满秩（可逆）, r(AB)= r(B)=2(2)当|A|=ab1=

47、0 时， A不可逆, r(A)=2 (因A中有两列不成比例)ba3110021A3.5 非齐次线性方程组有解的条件及解的结构 设 A=( 1, 2, n), 则Ax=b 等价于向量方程 x11 + x2 2,+xn n=b Ax= b有解，即 b可经A的列向量线性表示。所以， 秩 ( 1, 2, n，b)= 秩 ( 1, 2, n) 定理定理3.15 3.15 对于非齐次线性方程组Ax= =b ，下列命题等价:(1)Ax= = b有解(或相容);(2)b b可由A的列向量组线性表示;(3) r(A,b b)= r(A), 即增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。 即 r(A, b) = r(A)Ax=

48、b 与 Cx=d 为同解方程组， Ax=b 有解 dr+1=0又 r(C, d) = r(A, b) ； r(C) = r(A)，所以，Ax=b 有解 r(A, b) = r(A)r(C, d) = r(C)因b b由A的列向量组线性表示，且表示法唯一的的充要条件是A的列向量组 1, 2, n线性无关，即秩 1, 2, n=n。推论：Ax=b 有唯一解 r(A, b) = r(A)= n (A的列数)(0000000000000000)(11,221, 222111, 111dC,bA,rrrnrrrrnrnrddcccdcccdccc行变换 证： A(x1x2) = A x1 A x2 =

49、b b = 0可以表示为 x* x0 = k1x1 + k2x2 + kpxp 因此, x* = x0 +(x* x0 )可以表示为x = x0 +x 的形式，即是A x = b 的一般解。 定理3.16 若A x = b 有解，则其一般解为x = x0 +x,其中x0 是A x = b 的一个特解（某一个解）； x = k1x1 + k2x2 + kpxp是A x = 0 （称为A x = b 的导出组）的一般解。证：由A(x0 +x,)= A x0+ A x= b, 所以，x0+x 是A x = b 的解，设 x* 是A x = b 的任意一个解，则 x* x0 是A x= 0 的解。定理

50、3.16 若 x1, x2 是A x=b b 的解，则 x1x2 是对应的齐次线性方程组A x=0 0 的解 取 x2= x4= x5=0 代入Ux = d，求得 Ax = b 的一个特解x0=(1/3, 0, 1/3, 0, 0)T取自由未知量 x2, x4, x5 的三组数 (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)并依次代入Ux = 0，得 Ax = 0 的基础解系： x1=(1, 1, 0, 0, 0)T, x2=(1/3, 0, 2/3, 1, 0)T, 也可取为 x2* =(1, 0, 2, 3, 0)T, x3=(2/3, 0, 1/3, 0, 1)T,也

51、可取为 x3*=(2, 0, 1, 0, 3)T, 例例1 设非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵为试求Ax = b 的一般解。解 x = x0 + k1 x1+ k2x2*+ k3x3* = (1/3, 0, 1/3, 0, 0)T + k1(1, 1, 0, 0, 0)T +k2(1, 0, 2, 3, 0)T+ k3(2, 0, 1, 0, 3)T (k1, k2, k3为任意常数) 为Ax = b 的一般解。101211121033110122011111)(bA,)，0000000000003/13/13/21003/13/23/1011)(dUbA,（初等行变换例2 设线性方程

52、组就参数 a, b ，讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。我们下面分别从矩阵和行列式的角度讨论。注意这两种方法的优劣。4234321321321xbxxxbxxxxax解法解法1 用初等行变换将增广矩阵化为阶梯阵。(2) 当a=1, 且14b+2ab=12b=0，即 b=1/2 时，有无穷多解 (1) 当（a1) b 0时，有唯一解,) 1(121babx,12bx baabbx) 1(2413abbbaaabb241) 1(0024110311)3()2()()3()2(aabba24110100311)2()3( 41141213114121311411abbbba行对换aaabbba3

53、4110100311)()1()3()1()1()2( (3) 当a=1, b1/2 时， 14b+2ab 0, 方程组无解。(4) 当b=0 时，14b+2ab = 1 0 时,方程组无解。 （原方程组中后两个方程是矛盾方程）于是方程组的一般解为x = (2, 2, 0)T + k(1, 0 ,1)T (k为任意常数）a=1, b=1/2时，上述增广矩阵化为0000201021010000201031211abbbaaab241) 1(0024110311解法2系数行列式)1 (1211111abbbaD(1) 当（1 a) b 0时，D0，方程组有唯一解。(2) 当a=1, b=1/2 时

54、， D =0 ，r(A)= r(A,b)=2,有无穷多解。(3) 当a=1, b 1/2 时， D =0 ， r(A)=2, r(A,b)=3,无解。(4)当 a1, b=0时， D =0, r(A)=2, r(A, b)=3, 无解。这种方法只能判断，不能直接求出方程组的解。例 证明：若x0 是Ax = b 的一个特解，x1, xp 是Ax = 0的基础解系，则 x0, x0+x1, x0 +x2, x0+xp 线性无关且 Ax = b 的任一个解 x 可表示为x= k0 x0 + k1(x0+x1) + k2(x0 +x2) + + kp(x0+xp )其中k0+ k1 + k2+ +kp

55、=1 证： 设 c0 x0 + c1(x0+x1) + c2(x0 +x2) + + cp(x0+xp )=0,即 (c0 + c1 + c2 + + cp) x0 + c1x1 + c2x2 + + cpxp =0,则必有 c0 + c1 + c2 + + cp=a=0,（否则，记 di= ci /a， 得 x0= d1x1+ d2x2+ +dpxp 是Ax = 0的解，矛盾），再由 c1x1 + c2x2 + + cpxp =0 和 x1, x2, xp 线性无关，得 c1 = c2 = =cp =0, 从而 c0=0 ，故 x0, x0+x1, x0+xp 线性无关。 根据定理3.17，

56、Ax = b的任一个解 , 可表示为x= x0 + k1x1 + k2x2 + + kpxp = (1k1 kp) x0 + k1(x0+x1) + + kp(x0+xp )令1k1 kp= k0，则k0+ k1 + k2 + +kp=1，命题得证。 例4. 设A是34矩阵，r(A)=2, Ax=b 有三个解： x1=(1, 1, 1, 1)T, x2=(1, 1, 1, 1)T; x3=( 1, 1, 1, 1)T求 Ax=b 的一般解。解：x1x2=(0, 2, 2, 0)T，x1 x3=(2, 0, 0, 2)T 是Ax=0 的两个线性无关解(不成比例)， 又4r=2, 所以，x1 x2

57、, x1 x3 是A x=0 的基础解系。因此, Ax=b的一般解： x=x1+k1(x1x2)+ k2(x1x3)=(1, 1, 1, 1)Tk1(0, 2, 2, 0)Tk2(2, 0, 0, 2)T例5设四元线性方程组（I）为又已知四元线性齐次方程组（II）的基础解系为x3=0, 1, 1,0 T ， x4=1, 2, 2,1 T(1) 求线性方程组（I）的一般解；(2) 问：线性方程组（I），（II）是否有非零的公共解？若有，则求所有非零的公共解。若没有，说明理由。004221xxxx (2) 方法1 将（II）的一般解： x=(x1, x2, x3, x4) =k3 x3 + k4

58、x4=k30, 1, 1,0 T + k41, 2, 2,1 T 代入（I），得： 解：(1) 在中取自由未知量为x3, x4，（x3, x4）=（1, 0）和（0, 1），得（I）的基础解系为（I）的一般解为： x =k1 x1 + k2 x2 （ k1, k2 为任意常数）。 x1= 0, 0, 1, 0 T，x2=1, 1, 0, 1 T所以，当k3= k4时（ k4 为任意常数） ， x= k30, 1, 1,0 T + k41, 2, 2,1 T =k41, 1, 1,1 T 既是方程组（II）的解，也是方程组（I）的解，当 k40 时,是(I),(II)的非零的公共解。004221

59、xxxx0)2(0)2(443434kkkkkk即043kk方法2：方程组（I）的一般解为 x =k1 x1 + k2 x2 ， 方程组（II）的一般解为 x=k3 x3 + k4 x4 ，若x0为方程组(I)、（II）的公共解，则x0 = k1 x1 + k2 x2= k3 x3 + k4 x4即 k10, 0, 1,0T+ k2 1, 1, 0,1T= k3 0, 1, 1,0T +k4 1, 2, 2,1 T 得 k1，k2，k3，k4 T = k4 1, 1 , 1, 1T （ k4为任意常数），得方程组(I)、（II）的全部非零的公共解为k10, 0, 1,0T+k21, 1, 0, 1T+k30, 1, 1,0T+k4 1, 2, 2,1T =0 解上述齐次线性方程组000011001010100100001100101021011010210121101010k4 0, 0, 1,0 T + k41, 1, 0, 1 T = k4 0, 1, 1,0 T + k41, 2, 2, 1 =k41, 1, 1, 1 T （ k4为非零任意常数）第三章测试题A一、填空题(每小题4分，共24分)1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为则当时，方程组有唯一解；当 时，方程 组有无