一次函数与二元一次方程组

1、2021/3/231一次函数与二元一次方程组一次函数与二元一次方程组2021/3/232探索发现（1）从形式上看）从形式上看,二元一次方程二元一次方程2xy3=0 与一次函数有什么关系与一次函数有什么关系? 二元一次方程二元一次方程2xy3=0可以写成一次可以写成一次函数函数 的形式的形式; 反过来反过来,一次函数一次函数y=2x3可以写成二元可以写成二元一次方程一次方程 的形式。的形式。y=2x32xy3=02021/3/233 移移项项 由上可知由上可知, ,1 1、二元一次方程与一次函数有什么关系、二元一次方程与一次函数有什么关系? ?一一对应一一对应2、二元一次方程与一次函数可通过、二

2、元一次方程与一次函数可通过 互相转化互相转化2021/3/234把下列二元一次方程写成把下列二元一次方程写成y=kxb的形式的形式:（1）3xy=7 (2) 3x4y=132021/3/235（2）从图形的角度）从图形的角度,二元一次方程二元一次方程2xy3=0 与一次函数有什么关系与一次函数有什么关系?654321642yxoP（4，5）y=2x3小明小丽2021/3/236你赞同小丽的说法吗?小明的说法呢?你认为应如何表述?(1)点P在一次函数y=2x3图象上，那么它的坐标（4，5），即 x=4 是方程2xy3=0的解吗？ y=5 （2）x=2 是二元一次方程2xy3=0的 y=1 解,那

3、么以此解为坐标的点，即点（2，1）在函数图象上吗？2021/3/237探究学习一探究学习一把二元一次方程把二元一次方程y-x=1写成一次函数写成一次函数y=_的形式的形式1、你能找出方程的几组解吗、你能找出方程的几组解吗?3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来,你你发现了什么发现了什么?x+12、画出一次函数、画出一次函数y=x+1的图像的图像4、在一次函数、在一次函数y=x+1的图像上点的坐标的图像上点的坐标都是二元一次方程都是二元一次方程y-x=1的解吗的解吗?2021/3/238xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+12

4、021/3/239一般地,一次函数y=kxb图象上任意一点的坐标 都是二元一次方程kxyb=0 的一个解;以二元一次kxyb=0的解为坐标 的点都在一次函数y=kxb的图象上。 归纳归纳2021/3/2310 二元一次方程的解与对应的一次函数二元一次方程的解与对应的一次函数图像上的点何关系图像上的点何关系?二元一次方程二元一次方程的解的解相应的一次函数相应的一次函数的图像上的点的图像上的点（数）（数）（形）（形）2021/3/2311议一议议一议: 问题1: （1）你会解二元一次方程组吗?它的解是什 么?（2）在同一直角坐标系中,两个一次函数图象的位置有什么关系？有无交点？若有,交点坐标 是什

5、么？问题2: 二元一次方程组的解与图象交点的坐标有关系吗?2021/3/2312探究学习二探究学习二解二元一次方程组解二元一次方程组解得解得x= 0y= 11、-x+y=1 对应的一次函数为对应的一次函数为 y=x+12、x+y=1对应的一次函数是对应的一次函数是y=-x+1-x+y=1x+y=12021/3/2313xy012345-1-2-3-4-512345-167y=x+1y=-x+1(0,1)x+y=1-x+y=1y=x+1y=-x+1(0,1) 自变量为何值时自变量为何值时,这两个一次函数的这两个一次函数的值相等值相等 ?函数值是函数值是什么什么?3、在同一坐标系中画出、在同一坐标

6、系中画出y=-x+1和和y=x+1的图像。的图像。2021/3/2314两个一次函数关系式可以写成两个二元一次方程的形式.一次函数y=2x3和y=1/2x3/2的图象,与相应的二元一次方程组如果有关系,请说明有怎样的关系?如果没有关系。请说明理由?一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的一个解。参与讨论2xy3=01/2xy3/2=0即2xy3=0 x2y3=0的解有关系吗?2021/3/2315u一次函数与二元一次方程可以相互一次函数与二元一次方程可以相互转化转化,从形式到内容它们都是统一的。从形式到内容它们都是统一的。u二元一次方程组的二元一次方程

7、组的解解与以这两个方与以这两个方程所对应的一次函数图象的程所对应的一次函数图象的交点坐标交点坐标相对应。相对应。2021/3/2316归纳总结二归纳总结二从数的角度看从数的角度看:从形的角度看从形的角度看:求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解自变量为何值时，两个函数的自变量为何值时，两个函数的值相等并求函数值值相等并求函数值求二元一次方程组的解求二元一次方程组的解是确定两条直线交点的坐标是确定两条直线交点的坐标由此可得由此可得: : 二元一次方程组的图象解法二元一次方程组的图象解法: :(1)写函数写函数(2)作图象作图象(3)找交点找交点(4)下结论下结论2021/3/23172x+y=

8、42x-3y=12能力提升能力提升: 用图象法解方程组用图象法解方程组解解:由得由得:42 xy由得由得:432xy作出图象作出图象:观察图象得观察图象得:交点为交点为(3,-2)方程组的解为方程组的解为x=3y=-28642-2-4-6-8-10-5510 xoyy=-2x+4y=2/3x - 42021/3/2318u你能说一说用图像解二元一次你能说一说用图像解二元一次方程组的一般步骤吗方程组的一般步骤吗?写函数写函数,作图象作图象,找交点找交点,下结论下结论2021/3/2319x-y=-12x+y=1练习练习:利利用图象法解方程组用图象法解方程组:解解: 由得由得:1 xy作出图象作出

9、图象:观察图象得观察图象得:交点交点(0,-1)方程组的解为方程组的解为x=0y=-1y=-2x+4y=x+1由由 得得:12 xy yOx2021/3/23201、以方程、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数的解为坐标的点都在一次函数 _的图像上。的图像上。2、方程组、方程组 的解是的解是 ,由此可知一由此可知一次函数次函数 与与 的图像必有一个交点的图像必有一个交点,且交点坐标是且交点坐标是 。x-y=x-y=43x-y=13x-y=16巩固练习巩固练习y=2x-1x=x=6y=2y=2y=x+4 y=-3x+16(6,2)2021/3/23213、根据下列图象、根据下列图象,你能

10、说出它表示哪个方程你能说出它表示哪个方程组的解组的解?这个解是什么这个解是什么?11xyoy=2x-1y=-3x+42021/3/23228642-2-4-6-8-10-5510yox52 xyxy x-y=02x+y=5作出图象作出图象:观察图象得观察图象得:交点交点(1.7,1.7)方程组的解为方程组的解为x=1.7y=1.7精确精确!图象法图象法:你有哪些方法你有哪些方法? 解方程组解方程组代数法代数法:x=5/3y=5/3方程组的解为方程组的解为用作图象的方法可以直观地获得问题的用作图象的方法可以直观地获得问题的结果结果, ,但有时却难以准确但有时却难以准确. .为了获得准确为了获得准

11、确的结果的结果, ,我们一般用代数方法我们一般用代数方法. .近似近似!思维拓展思维拓展2021/3/2323yox5x-2y=410 x-4y=8探究学习三：1、利用图像、利用图像解方程组解方程组(1)转化转化y=5/2x-2y=10/4x-2(2)画图画图y=5/2x-2y=10/4x-2这两条直线有怎样的位置这两条直线有怎样的位置关系关系?有多少个交点有多少个交点?结论结论:两直线重合两直线重合,所以方程组有无数组解。所以方程组有无数组解。2021/3/2324x+y=-22x+2y=52、利用图像利用图像解方程组解方程组(1)转化转化y= -x-2y= -x+2.5yx0(2)(2)画

12、图画图y= -x-2y= -x+2.5（3）两条直线有什么）两条直线有什么位置关系位置关系?方程组解的方程组解的情况怎样情况怎样?结论结论:两直线平行两直线平行,无交点无交点,故方程组无解。故方程组无解。2021/3/2325归纳总结三归纳总结三:二元一次方程组二元一次方程组a a1 1x+bx+b1 1y=cy=c1 1a a2 2x+bx+b2 2y=cy=c2 2的解的情况有三种：的解的情况有三种：1. 1.当当 a a1 1:a:a22bb1 1:b:b22时时 , ,方程组有唯一解方程组有唯一解; ;2.2.当当 a a1 1:a:a2 2=b=b1 1：b b22=c=c1 1 :

13、c :c2 2时时, ,有无穷多解有无穷多解; ;3.3.当当a a1 1：a a2 2=b=b1 1：b b22cc1 1 :c :c2 2时时, ,无解。无解。一次函数与二元一次方程(组)的关系(重点)1:如图 2,已知函数 yaxb 和 ykx 的图象交于点 P,则根据图象可得,关于 x、y 的二元一次方程组的解是yax bykxx=-4y=-21已知二元一次方程 xy3 与 3xy5 有一组公共解x 2y 1,那么一次函数 y3x 与 y3x5 的图象的交点坐标为()BA(1,2)C(1,2)B(2,1)D(2,1)2小亮用作图象的方法解二元一次方程组时,在同一直角坐标系内作出了相应的

14、两个一次函数的图象 l1、l2如图 4,他解的这个方程组是()D图 4点拨:由图象知,l1、l2 的 x 的系数都应为负数,排除 A、C.又 l1、l2的交点为(2,2)，代入验证可知只有 D 符合归纳:1、一般地,每个二元一次方程组都对应两个_,于是也对应两条_从“数”的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值;从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线_的坐标2活用方程组,解决函数问题二元一次方程组和一次函数的关系相当密切,灵活应用它们“数”和“形”的亲密合作关系,有助于我们解题一次函数直线交点2021/3/2331归纳总结归纳总结:从形的角度看从形

15、的角度看:求二元一次方求二元一次方程组的解程组的解是两条直线是两条直线的的交点交点坐标坐标2021/3/2332 思路点拨:在两个一次函数图象交点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式,而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程,所以交点的坐标就是方程组的解。据此，我们可以利用图象求某些方程组的解。两条直线的交点坐标 就是方程组的解。例 利用图象解方程组 2xy=5xy=12021/3/233343-4-4-3-2-1-3 -2 -1112234oyxy=x1y=2x5解： 由2xy=5,xy=1, 得y=2x5, y=x1如右图,在同一直角坐标系中,画出一次函数y=2x5和y=x

16、1的图象它们的交点坐标为P（2,1）。所以原二元一次方程组的解为x=2y=1(2, 1)P2021/3/2334课堂练习1.函数y=2x3的图象任意一点的坐标都一定满足二元一次方程是:_2xy=32.如右图,两条直线l1和l2的交点可以看作是哪个二元一次方程组的解?y-3-2-1-3 -2 -1113223oxl1l22xy1=0 xy1=0(2, 3)(0,1)(1,0)3、某单位准备和一个个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订月租车合同设汽车每月行驶 x 千米,应付给个体车主的月费用是 y1元,应付给国有出租车公司的月费用是 y2元,y1、y2分别与 x 之间的函数关系图象(两条射线)如

17、图 5，观察图象回答下列问题:图 5(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?解:(1)每月行驶的路程少于 1 500 km 时,租国有公司的车合算(2)每月行驶 1 500 km 时，租两家车的费用相同2021/3/2336 例例: :老师为了教学老师为了教学, ,需要在家上网查资料。电信公司需要在家上网查资料。电信公司 提供了两种上网收费方式提供了两种上网收费方式: : 方式方式 1 1 : :按上网时间以每分钟按上网时间以每分钟 0.1 0.1 元计费元计费; ; 方式方式 2 2 : :月租费月租费 20 20 元元,

18、,再按上网时间再按上网时间 以每分钟以每分钟 0.05 0.05 元计费。元计费。 请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算请同学们帮老师选择：以何种方式上网更合算? ?2021/3/2337oy/元x /分20400200y1 =0.1xy 2=0.05x+204030在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像在同一坐标系中分别画出这两个函数的图像当 x = 400 时, y1 = y2当当 x400 时时, y1 y2当当 0 x400 时时, y1 y2 y1=0.1x y2=0.05x+20解解:设上网时间为设上网时间为 x 分分,若按方式若按方式 1 则收则收 元元; 若按方式若按方式 2 则收则收 元元。 y1=0.1x y2=0.05x+202021/3/2338由函数图像得由函数图像得:当当 时时,y0, 即选方式即选方式 省钱省钱;当当 时时,y=0， 即选方式即选方式A、B ;当当 时，时，y0， 即选方式即选方式 省钱省钱;400y=0.05x+20 200yx解法解法2 2: :设上网时间为设上网时间为 x x 分分, ,方式方式 B B与方式与方式 A A两种计费的差额为两种计费的差额为 y y元元, ,则则 y y 随随 x x 变化的函数关系式为变化的函数关系式为 . . 化简得化简得 。在直角坐标系中画出这个函数的图像。在直角