高阶导数与隐函数

1、高阶导数与隐函数一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义.)() )(,)()(lim) )(,)()(0处的二阶导数处的二阶导数在点在点为函数为函数则称则称存在存在即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 瞬时速度为路程对时间的变化率记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为

2、的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf( )yf x( )yfx( )( )yfxfx二、 高阶导数求导法则例例).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy

3、22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.211( )uu 222211 (1)()1(1)xxx 2 222 22 422(1)( 2 ) 2(1) 2()(1)(1)xxxxxxx 422 22 42642()(1)(1)xxxxx222 22 42(22)(31 )()(1)(1)xxxxx例 设),1ln(2xy , yy,sin xeyx求例 设)0(y例设),(ln)(2xfxfy求求y例例.

4、),0,()()(nyaxRaaxy求设解解1)(axy)(1 axy2)(1(ax3)(2)(1(ax)(1(2 axy) 1()(1() 1()(naxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法数学归纳法)注意注意: :三、几个初等函数的n阶导数公式例例.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)22sin( x)22sin( xcosyx)23sin( x)2

5、sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得(4)sinyxsinyx )2cos( xy)22cos( xycossin()2( )(sin)?(nkxk思考：为常数）( )(sin)sin()2nnkxkkxn (4)43 2(1)yx 32 1(1)yx 例例.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn211()(1)1(1)xxx2231 (1) (1)2(1)xxx 3)1(! 2xy 33422(1) (1)2 3(1)xxx 4)4()1(! 3xy ).?()(ln(

6、)(为常数kxkn:思考) 1()()!1() 1(1nxknnn二、高阶偏导数的概念与计算二、高阶偏导数的概念与计算设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxz

7、x,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则定理定理.本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.(证明略) 例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有yxe22例例. 求函数yxe22yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyz32 zxy2 zyxyxe2yxe22yxe2yxe22的二阶偏导数及 说明

8、说明:函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等注意注意: :,22xyzyxz但这一情形并不总成立.例例. 证明函数222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0思考思考: 设二阶偏导数连续,),(yxfu 证明下列表达式在极坐标系下的形式:22222)(1)()()( uuyuxu 2222yu

9、xu22 u2221 u u1 参数方程与隐函数方程微分法参数方程与隐函数方程微分法一、参数方程确定的函数求导一、参数方程确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导二、隐函数确定的函数求导一、由参数方程确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数若参数方程)()(tytx可确定一个 y 与 x 之间的函数)(, )(tt可导, 且,0 )( )(22tt则0)( t时, 有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt0)( t时, 有yxddyttxddddtytxdd1dd)()(tt(此时看成 x 是 y 的函数 )关系,若上述参数方程中)(, )(tt二阶可导,22ddxy)dd

10、(ddxyx)dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx且,0)( t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程,可得)()()(ttt 例例1 :,1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:求.dd22xy例例. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 解解:)()(tftfty)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率31xy二、隐函数方程确定的函数求导二、隐函数方程确定的函数求导若由方程0),(yxF可确

11、定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数03275xxyy可确定 y 是 x 的函数 ,但此隐函数不能显化 .函数为隐函数隐函数 .则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxF0),(ddyxFx两边对 x 求导(含导数 的方程)y例例. 求由方程03275xxyy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解: 方程两边对 x 求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因 x = 0 时 y = 0 , 故210ddxxy0确定的隐函数例例. 求椭圆191622

12、yx在点)3,2(23处的切线方程.解解: 椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx例例)4)(3()2)(1(xxxxyuuu )ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x解解:,求导函数? 下面利用偏导数来考虑隐函数方程确定的函数求导问题.定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f (x) , )(0

13、0 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略. 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数例例. 验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx连续 ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx0dd22xxy)cos(

14、ddxyyexx100yyx30 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略.满足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确例例. 设,04222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzx