第1.5讲 根与系数的关系问题-备战中考数学热点难点突破（教师版）

1、【备战2019年中考数学热点、难点突破】考纲要求:1. 通过具体案例了解一元二次方程的根与系数的关系；2. 能直接写出系数为数字的一元二次方程的两根之和与两根之积.基础知识回顾: 1.一元二次方程的概念及一般形式 只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式： 2.一元二次方程的四种解法直接开方法，配方法，公式法，因式分解法.3.一元二次方程的根的判别式判别式与方程的根的关系：0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；4.一元二次方程的根与系数的关系韦达定理：对于一元二次方程 如果方程有两个实数根 来源:Z.X.X.K则 应用举例:来

2、源:ZXXK招数一、已知一元二次方程，求与两根有关的代数式的值.直接利用韦达定理得出两根之和,两根之积.用整体代入法求代数式的值.【例1】已知，是一元二次方程x2+x2=0的两个实数根，则+的值是（）A3 B1 C1 D3【答案】B【解析】【分析】根据根与系数的关系得+=1，=2，求出+和的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案【详解】，是方程x2+x2=0的两个实数根，+=1，=2，+=1-（-2）=-1+2=1，故选B 【例2】若、为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（      ）A-13 B12 C14 D15【答案】B招

3、数二、已知关于两根关系式的值，求参数利用韦达定理得出两根之和,两根之积.求得参数的值或取值范围.【例3】 已知x1，x2是关于x的方程x2+bx3=0的两根，且满足x1+x23x1x2=5，那么b的值为（）A4 B4 C3 D3【答案】A【解析】x1，x2是关于x的方程x2+bx3=0的两根，x1+x2=b，x1x2=3，x1+x23x1x2=b+9=5，解得b=4.故选A.【例4】已知关于x的一元二次方程mx2（m+2）x+=0有两个不相等的实数根x1，x2若+=4m，则m的值是（ ）A2 B1 C2或1 D不存在【答案】A【例5】关于x的方程的两个根是2和1，则的值为（）A8B8C16D1

4、6【答案】C【解析】试题分析：关于x的方程的两个根是2和1，=1， =2，m=2，n=4，=（4）2=16故选C招数三、最值问题先根据根的判别式求出参数的取值范围.根据韦达定理，整理所求式子，转化为二次函数的最值问题.【例6】若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是（）A15 B16 C15 D16来源:【答案】A方法、规律归纳: 1. 韦达定理：对于一元二次方程 如果方程有两个实数根 则 2.常考的变形： 实战演练:1、已知，是方程的两个实数根，则的值为 【答案】0【解析】来源:ZXXK试题分析：根据题意得 所以原式 故答案为：02. 已知关于x的方程ax2+bx

5、+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为_【答案】1【解析】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，at2+bt+1=0，由题意可知：t1=1，t2=2，t1+t2=3，x3+x4+2=3故答案为：13. 设、是方程的两个实数根，则的值为 【答案】考点：根与系数的关系4. 已知、是方程x22x40的两个实数根，则3+8+6的值为（）A1 B2 C22 D30【答案】D【解析】方程x2-2x-4=0的实根,2-2-4=0,即2=2+4,3=22+4=2（2+4）+4=8+8,原式=8+8+8+6=8（+）

6、+14,是方程x2-2x-4=0的两实根,+=2,原式=8×2+14=30,故选D.5. 若t为实数，关于x的方程的两个非负实数根为a、b，则代数式的最小值是（）A15B16C15D16【答案】A【解析】考点：1根与系数的关系；2配方法；3最值问题6. 已知关于x的一元二次方程x2（2m2）x+（m22m）=0（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值【答案】（1）见解析；（2）m=1或m=3.【解析】【分析】（1）求出的值，即可判断出方程根的情况；（2）根据根与系数的关系即可求出答案7. 关于的一元二次方程有两个不相等

7、的实数根。来源:Z。xx。k.Com（1）求实数的取值范围；（2）若方程的两实根，满足，求的值。【答案】（1）k；（2）k=2【解析】试题分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根可得=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可试题解析：（1）原方程有两个不相等的实数根，=（2k+1）2-4（k2+1）=4k2+4k+1-4k2-4=4k-30，解得：k；（2）k，x1+x2=-（2k+1）0，又x1x2=k2+10，x10，x20，|x1|+|x

8、2|=-x1-x2=-（x1+x2）=2k+1，|x1|+|x2|=x1x2，2k+1=k2+1，k1=0，k2=2，又k，k=28.已知x1，x2 是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根（1）若（x1-1）（x2 -1）=28，求m的值；（2）已知等腰ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长【答案】（1）m的值为6;（2）17.(2) 若7为腰长，则方程x22(m1)xm250的一根为7，即722×7×(m1)m250，解得m110，m24，当m10时，方程x222x1050，根为x115，x27，不符合题

9、意，舍去来源:Z|X|X|K当m4时，方程为x210x210，根为x13，x27，此时周长为77317若7为底边，则方程x22(m1)xm250有两等根，0，解得m2，此时方程为x26x90，根为x13，x23，33<7，不成立，综上所述，三角形周长为179. 已知关于x的一元二次方程（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值【答案】（1）m；（2）m=4【解析】（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab=2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，= =2m2+4m+9=52=25，解得：m=4或m=2a0，b0，a+b=2m10，m=410. 已知关于x的