24[1]12垂直于弦的直径

1、 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ v学习目标：学习目标： 1研究圆的对称性，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。 2理解并应用垂径定理及其推论解决一些有关的证明和计算。v学习重点：学习重点：（1）理解圆的对称性，（2）掌握垂径定理及其推论 。（3）学会用垂径定理及其推论解决一些有关的证明和计算。v学习难点：学习难点：垂径定理及其推论的应用。 实践探究实践探究你能否找到一个圆的圆心和直径？再把你能否找到一个圆的圆心和直径？再把这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复这个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论

2、？结论？判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）XOABCDE 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E . 条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的

3、直径平分弦，并且垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB验证篇验证篇证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。因为垂直于弦。因为垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线既是等腰三角形所在的直线既是等腰三角形OAB的对称的对称轴又是轴又是 O的对称轴。所以，当把圆沿着直径的对称轴。所以，当把圆沿着直径CD折折叠时，叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点和点和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。因此重合。因此AEBE，ACBC，ADBD，即直径，即直径CD平分弦平分弦AB，并且平分，并且平分AB及及ACB

4、已知：在已知：在 O中中，CD是直径是直径，AB是弦是弦，CDAB，垂足为垂足为E。求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD。叠合法叠合法OABCDE例例1 看下列图形，是否能使用垂径定理？看下列图形，是否能使用垂径定理？EDCOABECOAB E D O A B D C O A B E E O A B E O C D A B注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直（直径，垂直于弦）径，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！ABCDEABDC条件条件CDCD为直直径为直直径结论结论AC=BCAD=BDCDABCDABAE=BE平分弦平分弦 的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对

5、的两条弧弦所对的两条弧（不是直径不是直径）垂径定理的推论垂径定理的推论1:1:CDABCDAB吗？吗？(E)(E)合作探究合作探究OABCDE条件条件CDABCDAB AE=BEAE=BEAC=BCAC=BCCD过圆心过圆心垂径定理的推论垂径定理的推论2:2:结论结论AD=BDAD=BDA AB BE E第一步：连接第一步：连接ABAB第二步：作第二步：作ABAB的垂直平分线的垂直平分线F F.CDCD过圆过圆心吗心吗? ?弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧条弧.DC1088解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得:

6、 :AC=BC= AB= AC=BC= AB= 16=816=8 由勾股定理得由勾股定理得: :答答: :2222OCOBBC10861212排水管中水最深是多少排水管中水最深是多少? ?6CD=ODCD=ODOCOC =10=106=46=4：DC10886若弦心距为若弦心距为d d，半，半径为径为R R，弦长为，弦长为a a, ,则这三者之间有怎则这三者之间有怎样的关系？样的关系？d dR Ra a2d2+( )2=R22a解：如图，设半径为解：如图，设半径为R，ABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在tAODtAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得,

7、222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OABCD37.47.2例例2 ：赵州桥主桥拱的：赵州桥主桥拱的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.2双基训练双基训练1.判断：判断：( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 弦所

8、对的两条弧弦所对的两条弧.( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧.( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.( )(4)圆的两条弦所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行. ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (4)若若 ，CD是直径是直径,则则 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直径是直径, 则则 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB,

9、则则 、 、 .2.如图所示如图所示:OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直径是直径 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD v3 . 如图，已知在如图，已知在 O中，中，v（1）弦）弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距的距离为离为3厘米，求厘米，求 O的半径的半径v（2）弦）弦AB的长为的长为6厘米，厘米， O的半径为的半径为5厘厘米，求圆心米，求圆心O到到AB的距离的距离v（3） O的半径为的半径为10厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的的距离为距离为6厘米，求弦厘米，求弦AB的长的长 E O A

10、 B4.如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明证明：四边形四边形ADOEADOE为矩形，为矩形， 又又AC=ABAC=AB11 22AEACADAB， AE=ADAE=AD 四边形四边形ADOEADOE为正方形为正方形. .OEACOEAC，ODABODAB，ACABACABOEA=ODA=BAC=90OEA=ODA=BAC=90v通过这节课的学习通过这节课的学习, ,你学到了你学到了哪些知识？哪些知识？ 回顾回顾与与思考思考课堂小结：课堂小结： 垂

11、直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两垂直平分弦的直线过圆心，并且平分弦所对的两条条 弧弧.拓展延伸：拓展延伸： 完成导学案第四部分完成导学案第四部分1、如图， O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，求弦CD长 B A C E D O解：过点O作OHCD，垂足为H，连接OD.AE=2，EB=6，OA=OB=4,OE=2,DEB=30，OH=1，HD= CD=.2 15224 115 拓展附加拓展附加2. O半径为10，弦AB=12，CD=16，且ABCD.求AB与CD之间的距离.思路分析：本题目属于“图形不明确型”题目，应分类求解.两种情况如下：(1)弦AB与CD在圆心O的两侧(2)弦AB与CD位于圆心O的同侧解：(1)当