随机事件的概率

1、一、概率的统计定义一、概率的统计定义二、概率的古典定义二、概率的古典定义1.3 1.3 随机事件的概率随机事件的概率三、概率的公理化定义三、概率的公理化定义定义定义 1.1.频率的定义与性质频率的定义与性质 一、概率的统计定义一、概率的统计定义,. , ,AnmAmAnn成成并记并记发生的频率发生的频率称为事件称为事件比值比值生的频数生的频数发发称为事件称为事件发生的次数发生的次数事件事件次试验中次试验中在这在这次试验次试验进行了进行了在相同的条件下在相同的条件下)(Aw性质性质 设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则; 1)(0)1(Aw0)(, 1)()2(ww实

2、例实例 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.试验试验序号序号5 nAn)(Anw1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4An)(Anw50 n22252125241827An500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54)(Anw0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502处处波波动动较较大大在在21处处波波动动较较小小在在21波动最小波动最小随随n的

3、增大的增大, 频率呈现出稳定性频率呈现出稳定性实验者实验者德德.摩根摩根蒲丰蒲丰K.皮尔逊皮尔逊K.皮尔逊皮尔逊nm频率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005频率的增大的增大n.21这种试验历史上曾有不少统计学家做过这种试验历史上曾有不少统计学家做过从上述数据可以看出：从上述数据可以看出：(2) 抛硬币次数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率的随机波动幅度频率的随机波动幅度较大较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即当即当 n 逐渐增大时频率总是在逐渐增大时频率总是在 0.

4、5 附近摆动附近摆动, 且逐渐且逐渐稳定于稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 频率不一定相同频率不一定相同;重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大较小时波动幅度比较大,当当 n 逐渐增逐渐增大时大时 , 频率趋于稳定值频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.概率的统计定义概率的统计定义在随机试验中在随机试验中, ,若事件若事件A出现的频率出现的频率m/n随随210PP ( )( ),();定义定

5、义0()1;p A(1) 对任一事件对任一事件A ,有有概率统计定义的性质概率统计定义的性质01p则定义事件则定义事件A的概率为的概率为p, ,记作记作P( (A)=)=p .着试验次数着试验次数n的增加的增加, ,趋于某一常数趋于某一常数p,)A(P)A(P)A(P)AAA(P,A,A,A)(mmm 2121213个个事事件件对对于于两两两两互互斥斥的的有有限限多多 说明：概率的统计定义直观地描述了事件发生的可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有不足，即无法根据此定义计算某事件的概率。1.古典概型定古典概型定 义义二、概率的古典定义二、概率的古典定义如果一个随机试验如果一个随机试验E具有以

6、下两个特征：具有以下两个特征： 1、样本空间的元素、样本空间的元素(基本事件基本事件)仅有有限个；仅有有限个； 2、每个基本事件出现的可能性相同。、每个基本事件出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型。则称该随机试验为古典概型。例如例如抛掷一枚质地均匀的骰子抛掷一枚质地均匀的骰子 设试验设试验 E 有有n 个等可能的基本事件个等可能的基本事件, A为为 E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含m 个不同的基本事件个不同的基本事件, 则事件则事件 A 出现的概率记为出现的概率记为: 2.概率的古典定义概率的古典定义.中样本点总数中样本点总数中样本点的个数中样本点的个数 A An nm m

7、P(A)P(A) 称此为称此为概率的古典定义概率的古典定义. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 无放回地摸球无放回地摸球问题问题1 设袋中有设袋中有M个白球和个白球和 N个黑球个黑球, 现从袋中无现从袋中无放回地依次摸出放回地依次摸出m+n个球个球,求所取球恰好含求所取球恰好含m个白个白球球, ,n个黑球的概率个黑球的概率?样本点总数为样本点总数为,MNmnA 所包含所包含的样本点个数为的样本点个数为( )MNMNP Amnmn故故解解设设A=所取球恰好含所取球恰好含m个白球个白球, ,n个黑球个黑球,nNmM(2) 有放回地摸球有放回地摸球问题问题2 设袋中

8、有设袋中有4只红球和只红球和6只黑球只黑球,现从袋中有放现从袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到红球次摸到红球的概率的概率.解解,2第三次摸到红球第三次摸到红球次摸到黑球次摸到黑球前前设设 A第第1 1次摸球次摸球10种种第第2次摸球次摸球10种种第第3次摸球次摸球10种种6种种第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6种种第第2次摸到黑球次摸到黑球4种种第第3次摸到红球次摸到红球样本点总数为样本点总数为,101010103 A 所包含所包含样本点的个数为样本点的个数为, 466 310466)( AP故故.144. 0 课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电

9、话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,求各位求各位数字互不相同的概率数字互不相同的概率. 2o 骰子问题骰子问题 掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.)10:(7710Pp 答案答案)63:(3 p答案答案4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量无限杯子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个杯子中去个杯子中去,求第求第1 1、2个个杯子中各有两个球的概率杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可其中假设每个杯子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个杯子的所有放法个杯子

10、的所有放法,333334种种 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为个杯子中各有两个球的概率为432224 p.272 (2) 每个杯子只能放一个球每个杯子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个杯子中去个杯子中去,每个杯子只能每个杯子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个杯子各放一个球的概率个杯子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个杯子各放一个球的概率为个杯子各放一个球的概率为41044ppp 789101234 .2101 2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个

11、学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率. )3! 3:(3答案答案)36510101020:(20 p答案答案课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.5. 古典概型的概率的性质古典概型的概率的性质210PP( )(),();)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 个事件个事件对于两两互斥的有限多对于两两互斥的有限多) 1 (1)对于任意事件A ,1P(A

12、)0解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 则.,1 TTHTHTHTTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次次出出现现正正面面至至少少有有一一为为设设事事件件求求次次出出现现正正面面恰恰有有一一为为设设事事件件将将一一枚枚硬硬币币抛抛掷掷三三次次., )1(为出现反面为出现反面为出现正面为出现正面设设TH6.6.典型例题典型例题1例例在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种 knD

13、NkD于是所求的概率为于是所求的概率为. nNknDNkDp解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 2例例例例 1.6（分房问题）（分房问题） 有有 n 个人，每个人都以同样的个人，每个人都以同样的概率概率 1/N 被分配在被分配在 间房中的每一间中，试间房中的每一间中，试求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 间房中各有一人间房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 间

14、房，其中各有一人；间房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一间房中恰有某指定一间房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解 先求样本空间中所含样本点的个数。先求样本空间中所含样本点的个数。 首先，把首先，把 n 个人分到个人分到N间房中去共有间房中去共有 种分法，其种分法，其次，求每种情形下事件所含的样本点个数。次，求每种情形下事件所含的样本点个数。(b)(b)恰有恰有n n间房中各有一人，所有可能的分法为间房中各有一人，所有可能的分法为 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n间房中各有一人，所含样本点的个数，间房中各有一人，所含样本点的个数， 即可能的的分法为即可能的的分法为 ; !

15、 n(c)(c)某指一间房中恰有某指一间房中恰有m m人，可能的分法为人，可能的分法为 .) 1(mnmnNC进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为进而我们可以得到三种情形下事件的概率，其分别为 :nNn!（1） （2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC上述分房问题中，若令上述分房问题中，若令 则可演化为则可演化为生日问题生日问题. .全班学生全班学生30人，人， 230,365,(1) (1) 某指定某指定30天，每位学生生日各占一天的概率；天，每位学生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班学生生日各不相同的概率；全班学生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年

16、某天，恰有二人在这一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在这一天同生日的概率。 利用上述结论可得到概率分别为利用上述结论可得到概率分别为 :由（由（2）立刻得出，全班）立刻得出，全班30人至少有人至少有2人生日相同的概率人生日相同的概率等于等于1 10.294=0.706, 0.294=0.706, 这个值大于这个值大于70%。（1）;365!3030 （2）;294. 0365/ !303030365 C30230(365)28)364(C（3）例例1 在房间里有在房间里有10个人个人,分别佩戴从分别佩戴从1号到号到10号的号的纪念章纪念章,任选任选3个记录其纪念章的号码个记录其纪念章的号码.

17、(1)求最小号码为求最小号码为5的概率的概率;(2)求最大号码为求最大号码为5的概的概率率.解解(1)总的选法种数为总的选法种数为,310 n最小号码为最小号码为5的选法种数为的选法种数为,25 m7.备份题备份题(2)最大号码为最大号码为5的选法种数为的选法种数为,24 故最大号码为故最大号码为5的概率为的概率为 31024P故小号码为故小号码为5的概率为的概率为 31025P.121 .201 例例2 将将 4 只球随机地放入只球随机地放入 6 个盒子中去个盒子中去 ,试求每试求每个盒子至多有一只球的概率个盒子至多有一只球的概率.解解 将将4只球随机地放入只球随机地放入6个盒子中去个盒子中

18、去 , 共有共有64 种种 放法放法.每个盒子中至多放一只球共有每个盒子中至多放一只球共有 种不同放种不同放法法.3456 因而所求的概率为因而所求的概率为463456 p.2778.0 例例3 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1) 每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名名优优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数:

19、 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.) !() !(种种4441231112134448412因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,) !() !(种种552123因此所求概

20、率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 例例4 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有

21、次来访共有.212种种121272 p0000003.0 小概率事件在实际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为例例5 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少个人

22、中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的概率为个人生日各不相同的概率为641365)164365( 364365 p故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解说明说明率率为为概概他他们们的的生生日日各各不不相相同同的的个个人人随随机机选选取取,)365( nnnp365)1365(364365 日相同的概率为日相同的概率为个人中至少有两个人生个人中至少有两个人生而而nnnp365)1365(3643651 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优

23、点, ,但它也但它也有明显的局限性有明显的局限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样本空间中如果样本空间中的样本点有无限个的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了概率的古典定义就不适用了. .而统计定义虽然简单直观但从数学角度讲却不严密，而统计定义虽然简单直观但从数学角度讲却不严密，因为做理论研究时不可能去做大量试验去找那个频因为做理论研究时不可能去做大量试验去找那个频率的稳定值。为了克服上述缺点，率的稳定值。为了克服上述缺点，1933年年 , 苏联数苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给给出了概率的严格定义出了概率的严格定义 ,

24、使概率论有了迅速的发展使概率论有了迅速的发展.三三 概率的公理化定义概率的公理化定义; 1)(0,:(1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件有界有界性性;)(,:(2)1 P 有有对对于于必必然然事事件件规规范范性性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的公理化定义：概率的公理化定义：: :) )满满足足下下列列条条件件函函数数P P( (果果集集合合称称为为事事件件A A的的概概率率. .如如记记为为P P( (

25、A A) ), ,一一个个实实数数, ,赋赋予予) )对对于于E E的的每每一一事事件件A A( (上上给给出出一一个个集集合合函函数数P P的的子子集集是是它它得得样样本本空空间间. .在在设设E E是是随随机机试试验验, ,概率的有限可加性概率的有限可加性证明证明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件 ,) 1 (21nAAA若).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 2.

26、性质性质).(1)(,)2(APA PAA 则则的对立事件的对立事件是是设设,)(,1 PAAAA因为因为).(1)(APAP 证明证明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设证明证明BA,BA 因为因为).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).()()()(,)()4(ABPBPAPBAPBA有对于任意两事件广加法公式证明证明AB由图可得由图可得),(ABBABA ,)

27、( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性质又由性质 3 得得因此得因此得ABBAB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP 推广推广 3个事件和的情况个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().() 1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP P P( (B B) ). .P P( (A A) )B B) )有有P P( (A AB BA A, ,( (5 5) )对对于于任任意意两两事事件件解解),()()1(BPABP 由图示得由图示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由图示得由图示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件BAAB1例例,)3(ABABA 由图示得由图示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP