静电场习题课(北邮版08级用[1].)

1、电电 学学 总总 结结221041rqqF1. 库仑定律库仑定律: 大小大小适用条件：两个静止的适用条件：两个静止的点电荷点电荷之间的相互之间的相互作用力作用力方向：沿两电荷的联线，且同性相斥，方向：沿两电荷的联线，且同性相斥，异性相吸异性相吸2. 电场强度的定义电场强度的定义8点电荷的电场强度点电荷的电场强度0204rrqE0qFE:是从是从场源场源 指向指向场点场点 的单位矢量。的单位矢量。0r3、电场强度的叠加原理：、电场强度的叠加原理：电场中任何一点的总场强等于每个点电荷单独电场中任何一点的总场强等于每个点电荷单独存在时在该点所产生的场强的矢量和。存在时在该点所产生的场强的矢量和。 多

2、个点电荷的场强叠加多个点电荷的场强叠加任意带电体（连续的任意带电体（连续的)在空间一点在空间一点 产生的电场产生的电场强度强度02041rrdqEd0204rrdqEdE带电体带电体Eddqr解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图L0dEELdd4Q0(沿沿X轴正方向）轴正方向）例例1: 求均匀带电直线求均匀带电直线(长为长为L、带电量为、带电量为Q）的延）的延长线上一点长线上一点P的电场强度。的电场强度。PxdOdxEdx204cosqE 4 ：带电量为：带电量为q的均匀带电圆环轴线上一点的均匀带电圆环轴线上一点P的的电场强度。电场强度。RoP方向：沿轴线，正电荷背离；负电荷指向方向：沿轴线，

3、正电荷背离；负电荷指向5、电偶极矩、电偶极矩:qpe电偶极子中垂线电偶极子中垂线 上一点的场强上一点的场强30er4pE中垂线204xdLdxdE电偶极子延长线上一点的场强电偶极子延长线上一点的场强30er4p2E延长线6. 点电荷点电荷q受到的电场力受到的电场力:EqF7. 带电体受到的电场力带电体受到的电场力: 带电体EdqF 是指除所考虑的受力带电体以外空间其它所是指除所考虑的受力带电体以外空间其它所有电荷在有电荷在dq处产生的合场强处产生的合场强ESSdq1q2例例:两板之间的相互作用力两板之间的相互作用力sqqqqEF02102122电偶极子在均匀外电场中所受到的力和力矩电偶极子在均

4、匀外电场中所受到的力和力矩8、电场中通过任一曲面、电场中通过任一曲面S的电通量的电通量 SSeEdSSdEcos&匀强电场中匀强电场中通过通过平面平面S 的电场强度通量：的电场强度通量：cosESe 在在非非均匀外电场中均匀外电场中, ,电偶极子一方面受到力矩的电偶极子一方面受到力矩的作用作用, ,使电偶极矩力图转到与外电场一致的方向使电偶极矩力图转到与外电场一致的方向; ;另一方面其中心还要受到合力的作用另一方面其中心还要受到合力的作用, , 通常通常( (除除非非稳定平衡位置外）稳定平衡位置外）其方向指向场强数值增大的方其方向指向场强数值增大的方向。向。力偶矩力偶矩 力图使电偶极子

5、的偶极矩力图使电偶极子的偶极矩 转到与外转到与外电场电场 一致方向上来一致方向上来 e9、静电场的、静电场的高斯定理高斯定理 iiSqSdE01&通过任一闭合曲面通过任一闭合曲面S的电场强度通量的电场强度通量seSdE闭合曲面闭合曲面外法线方向外法线方向( (自内向外自内向外) )为正为正v穿进穿进闭合面的电场线对该闭合面提供闭合面的电场线对该闭合面提供负通量负通量；穿出穿出闭合面的电场线对该闭合面提供闭合面的电场线对该闭合面提供正通量正通量即即通过任一闭合曲面的电场强度通量等于通过任一闭合曲面的电场强度通量等于这个闭这个闭合曲面所包围的电荷代数和。合曲面所包围的电荷代数和。B.高斯定

6、理普遍成立；当电荷分布具有对称性时，高斯定理普遍成立；当电荷分布具有对称性时，可用高斯定理求出该电荷系统的电场强度的分布可用高斯定理求出该电荷系统的电场强度的分布。EA. 高斯定理中的电场强度高斯定理中的电场强度 是由是由空间所有电荷空间所有电荷共同产生的。共同产生的。 对高斯定理的一些说明对高斯定理的一些说明C.C.有时利用高斯定理求电通量非常方便有时利用高斯定理求电通量非常方便例例1: 1: 点电荷位于正立方体中点电荷位于正立方体中心心, ,则通过侧面的电通量则通过侧面的电通量若将点电荷位于正立方体的若将点电荷位于正立方体的A角上角上,则通过侧面的电通量则通过侧面的电通量0 24qe 06

7、qeabcdqA例例2： 真空中有一半径为真空中有一半径为R的圆平面。在通过圆心的圆平面。在通过圆心O与平与平面垂直的轴线上一点面垂直的轴线上一点P处，有一电量为的点电荷。处，有一电量为的点电荷。O、P间距离为，试求通过该圆平面的电通量间距离为，试求通过该圆平面的电通量OhqPr解：做一个以为中心以为半径的球面解：做一个以为中心以为半径的球面 球冠球面 1 000SS10. 能用高斯定理求电场强度的几个对称性分布能用高斯定理求电场强度的几个对称性分布的特例的特例A、均匀带电的球型分布、均匀带电的球型分布 (包括球体和球壳包括球体和球壳)204rQE 为过场点所做同心球面包为过场点所做同心球面包

8、围的电荷代数和围的电荷代数和Q 0E 内内304RQE内204rQE外&球面球面:&球体球体:204rQE外B、电荷面密度为、电荷面密度为 的无限大均匀带电平面的无限大均匀带电平面02EC、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电无限长圆柱型分布的均匀带电无限长圆柱型分布0内&柱面：柱面：rE02外&柱体：柱体：rE02外内0rE02 为过场点所做同轴圆柱面为过场点所做同轴圆柱面包围的电荷线密度代数和包围的电荷线密度代数和 11、 有关电场强度及电场力在真空中的所有公式有关电场强度及电场力在真空中的所有公式，当充满均匀电介质（或分层均匀充满）时，只，当充满均匀电介

9、质（或分层均匀充满）时，只要将公式中的要将公式中的 改为场点处电介质的电容率改为场点处电介质的电容率 即可即可0Ll dE012、静电场的环流定理、静电场的环流定理即静电场的积分与路径无关，只取决于始末位置即静电场的积分与路径无关，只取决于始末位置，故静电场是保守场。，故静电场是保守场。）（零电势点 l dEl dEU13. 电势：电势：当电荷只分布在有限区域时，势电零点通常选在当电荷只分布在有限区域时，势电零点通常选在无穷远处。无穷远处。 15、点电荷在电场中的电势能、点电荷在电场中的电势能WU 16、电场力的功等于电势能的减少。即、电场力的功等于电势能的减少。即Aab=UUldEUUU14

10、.电势差：电势差：两点之间的电势差与电势零点的选取无关两点之间的电势差与电势零点的选取无关点电荷点电荷1 和和2 之间的相互作用能（即电势能）之间的相互作用能（即电势能）rqqUqW02114外力的功等于电势能的增量外力的功等于电势能的增量A外力外力ab=UU17. 电势的计算电势的计算1. 用点电荷电势公式加电势叠加原理用点电荷电势公式加电势叠加原理(1) 点电荷的电势公式点电荷的电势公式r4qU0）选0(U(2) 电势的叠加原理电势的叠加原理一个电荷系的电场中一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个带任一点的电势等于每一个带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。电体单独存在时在该点所产

11、生电势的代数和。ii0ir4qU&点电荷系的电场中点电荷系的电场中带电体r4qU0&电荷连续分布的电场中电荷连续分布的电场中2. 用电势定义式用电势定义式 ldEU(当电荷分布具有一定的对称性时当电荷分布具有一定的对称性时,用高斯定理很容易求用高斯定理很容易求出场强分布出场强分布,这种情况下用该式求电势较方便）这种情况下用该式求电势较方便）rU外外4例例: : 半径为半径为R R，带电量为，带电量为 q q 的均的均匀带电球面的电场中的电势分布。匀带电球面的电场中的电势分布。内外3. 利用已知电势结果加电势叠加原理利用已知电势结果加电势叠加原理18. 等势面的性质：等势面的性质

12、：沿着电力线的方向电势降低沿着电力线的方向电势降低;电力线与等势面正交电力线与等势面正交;等势面较密集的地方，场强较大等势面较密集的地方，场强较大.RU外内419. 19. 场强与电势梯度的关系场强与电势梯度的关系0 ndndUE;xUEx;yUEy#场强沿任意方向的分量等于电势沿该方向空场强沿任意方向的分量等于电势沿该方向空间变化率的负值。间变化率的负值。zUEz场强和电势不能点点对应场强和电势不能点点对应20.20.导体的静电平衡条件导体的静电平衡条件: :导体内部电场强度处导体内部电场强度处处为零。处为零。即即0E内部21. 导体处于静电平衡状态时的性质：导体处于静电平衡状态时的性质：A

13、.导体是个等势体，导体表面是个等势面。导体是个等势体，导体表面是个等势面。B. 导体内部各点导体内部各点(宏观点宏观点)净余电荷为零；电荷只净余电荷为零；电荷只能分布在表面。能分布在表面。C.C.导体表面附近一点的总电场强度方向导体表面附近一点的总电场强度方向与导体表面垂直与导体表面垂直; ;场强大小与导体场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。表面对应点的电荷面密度成正比。0E 1432例：设静电平衡后，金属板各面所带例：设静电平衡后，金属板各面所带电荷面密度之间的关系电荷面密度之间的关系3412 , 当两板带等量异号电荷时当两板带等量异号电荷时:3410 2 , 当两板带等量同号电荷时

14、当两板带等量同号电荷时:0341 2 , 22.22.静电平衡下空腔导体的性质静电平衡下空腔导体的性质 A.A.若金属空腔内部无带电体若金属空腔内部无带电体, ,则则空腔内表面不带空腔内表面不带任何电荷，任何电荷，空腔内部任一点场强为零空腔内部任一点场强为零。B.B.若金属空腔内部有带电体若金属空腔内部有带电体, ,则则空腔内表面有等空腔内表面有等量异号感应电荷。量异号感应电荷。 ）C.C.导体接地时，导体接地时，(A)(A)若外界无电荷，若外界无电荷，则外壁上电则外壁上电荷处处为零，外部空间任一点场强为零荷处处为零，外部空间任一点场强为零; ; (B)若若外界有电荷，外界有电荷，则外壁上一定

15、有异号电荷。则外壁上一定有异号电荷。D.D.腔内电荷腔内电荷( (包括内壁上的电荷包括内壁上的电荷) )对内壁以外空间对内壁以外空间任何一点的合场强为零任何一点的合场强为零; ;腔外电荷腔外电荷( (包括外壁上的包括外壁上的电荷电荷) )对外壁以内空间任何一点的合场强为零。对外壁以内空间任何一点的合场强为零。23. 接地线的存在意味着接地线的存在意味着: : A.导体的电势为零导体的电势为零;B.接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不接地线只提供导体与地交换电荷的通道，并不保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。保证导体腔外壁上的电荷在任何情况下都为零。sqEa0020D 24.24.电位

16、移矢量电位移矢量 的引入的引入DiiSeqSd025有介质时的高斯定理有介质时的高斯定理26. 26. 孤立导体的电容孤立导体的电容UqC 27.电容器电容的定义电容器电容的定义UqC ) E ( 0dSC0A A平行板电容器平行板电容器S Sd d例：如图，两导体板分别带例：如图，两导体板分别带q q 和和当一导体接地时，求两板之间当一导体接地时，求两板之间的场强。的场强。32S SB B圆柱形电容器圆柱形电容器R R1 1R R2 2L L) E ( r2RRlnL2C0120C C球形电容器球形电容器) E ( 2012210r4QRRRR4CR R1 1R R2 22828电容器的串联

17、：极板首尾相接电容器的串联：极板首尾相接&特点：特点：A、 有一个公共端，且有一个公共端，且公共端上不再引出其它元件。公共端上不再引出其它元件。B、q1=q2=q ；UU1U2 UnC、nCCCC11112129、电容器的并联：、电容器的并联： &特点：特点：A A、有两个公共端，且在公共端上还引、有两个公共端，且在公共端上还引出导线接其它元件。出导线接其它元件。B B、U U1 1U U2 2U ; q=qU ; q=q1 1+q+q2 2+ +q+qn nC、 CC1C2Cn讨论：无论是串联还是并联讨论：无论是串联还是并联:总总总UQC只要有一个电容增大，则总电容增大只要有

18、一个电容增大，则总电容增大30、电介质对电容的影响、电介质对电容的影响A A、两导体板之间均匀、两导体板之间均匀充满充满电介质时，将电容公电介质时，将电容公式中的式中的 改为改为 即可。即可。0(2)(2)将两种介质交界面处看成有一个金属薄板将两种介质交界面处看成有一个金属薄板, ,故故原电容器看成两个电容器的串联。原电容器看成两个电容器的串联。1 2 d1d2(1)(1)仍按电容定义式计算电容仍按电容定义式计算电容B B、 若按等势面分层均匀充满电介质，则：若按等势面分层均匀充满电介质，则：1 2 d1d222E 2211dEdEUUQC 11E dSC , dSC 222111 21C1C

19、1C1 ddC.电容器的两板之间平行放入一层电容器的两板之间平行放入一层金属板金属板0ddSC 31. 31. 带电电容器所存储的静电能带电电容器所存储的静电能22CU21C2QW&外力作功等于静电能的增加。外力作功等于静电能的增加。32.32.电场的能量密度电场的能量密度: :2E21w一个带电系统的静电能就是它在整个空间激一个带电系统的静电能就是它在整个空间激发的电场能量发的电场能量 电电场场空空间间dVE21W2)(20abUab2厚度为厚度为d的的“无限大无限大”均匀带电导体板两表面均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为单位面积上电荷之和为 试求图示离左板面距试求图示离左板面

20、距离为离为a的一点与离右板面距离为的一点与离右板面距离为b的一点之间的电的一点之间的电势差势差 12dab2,1, 单位正电荷在静电场中沿单位正电荷在静电场中沿任意闭合路径绕行一周，电场力作功等于零任意闭合路径绕行一周，电场力作功等于零0dLlE1、静电场的环路定理的数学表示式为：、静电场的环路定理的数学表示式为： 该式的物理意是：该式的物理意是：该定理表明该定理表明:静电场是有势（或保守力）场静电场是有势（或保守力）场3. 带有电荷带有电荷q、半径为、半径为rA的金属球的金属球A，与一原先不，与一原先不带电、内外半径分别为带电、内外半径分别为rB和和rC的金属球壳的金属球壳B同心同心放置如图

21、则图中放置如图则图中P点的电场强度点的电场强度 _如果用导线将如果用导线将A、B连接起来，则连接起来，则A球的电势球的电势U =_(设无穷远处电势为零设无穷远处电势为零) PrArBrCrBA 4q ; )4/( 030crrrqE4一空气平行板电容器，电容为一空气平行板电容器，电容为C，两极板间距，两极板间距离为离为d充电后，两极板间相互作用力为充电后，两极板间相互作用力为F则两则两极板间的电势差为极板间的电势差为_，极板上的电荷，极板上的电荷_ CFd /2FdC25. 如图所示，半径为如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电的均匀带电球面，带有电荷荷q沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电

22、沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷线密度为荷线密度为 ，长度为，长度为l，细线左端离球心距离为，细线左端离球心距离为r0设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能中的电势能(设无穷远处的电势为零设无穷远处的电势为零) r0 l q R O 解：设解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取处取线元线元dx，其上电荷为，其上电荷为 ，该线元在带电，该线元在带电球面的电场中所受电场力为：球面的电场中所受电场力为：整个细线所受电场力为：整个

23、细线所受电场力为： 方向沿方向沿x正方向正方向 电荷元在球面电荷电场中具电荷元在球面电荷电场中具有电势能：有电势能： 整个线电荷在电场中具有电势能：整个线电荷在电场中具有电势能： O R x r0 r0+l dx x xqddlrrlqxxqFlrr000204d400 xdxqdW040000ln4d400rlrqxxqWlrr6、图示为一具有球对称性分布的静电场的、图示为一具有球对称性分布的静电场的Er关系曲线关系曲线请指出该静电场是由下列哪种带电体产生请指出该静电场是由下列哪种带电体产生的的 (A) 半径为半径为R的均匀带电球面的均匀带电球面 (B) 半径为半径为R的均匀带电球体的均匀带

24、电球体 (C) 半径为半径为R 、电荷体密度、电荷体密度r rAr (A为常数）的非均匀带电球体为常数）的非均匀带电球体 (D) 半径为半径为R 、电荷体密度、电荷体密度r rA/r (A为常数为常数)的非均匀带电球体的非均匀带电球体OR rEE1/r2D7. 真空中一立方体形的高斯面真空中一立方体形的高斯面,边长边长a0.1 m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为：位于图中所示位置已知空间的场强分布为：Ex=bx , Ey=0 , Ez=0常量常量b1000 N/(Cm)试求通过该高斯面的电通量试求通过该高斯面的电通量 O x z y a a a a 1 = -E1 S1= -b a3 2

25、 = E2 S2 = 2b a3 = 1+ 2 = 2 2b a3- -b a3 = b a3 =1 Nm2/C 8已知空气的击穿场强为已知空气的击穿场强为30 kV/cm，空气，空气中一带电球壳直径为中一带电球壳直径为1 m，以无限远，以无限远处为电处为电势 零 点 ， 则 这 球 壳 能 达 到 的 最 高 电 势势 零 点 ， 则 这 球 壳 能 达 到 的 最 高 电 势_ 9如图，如图，A点与点与B点间距离为点间距离为2l，OCD是是以以B为中心，以为中心，以l为半径的半圆路径为半径的半圆路径. A、B两处各放有一点电荷，电荷分别为两处各放有一点电荷，电荷分别为q和和q 把另一电荷为

26、把另一电荷为Q(Q0 )的点电荷从的点电荷从D点点沿路径沿路径DCO移到移到O点，点，则电场力所做的功为则电场力所做的功为_CDAOB l 2l+qq-Qq / (60l) 1.5106v10假想从无限远处陆续移来微量电荷使一假想从无限远处陆续移来微量电荷使一半径为半径为R的导体球带电的导体球带电 (1) 当球上已带有电当球上已带有电荷荷q时，再将一个电荷元时，再将一个电荷元dq从无限远处移到从无限远处移到球上的过程中，外力作多少功？球上的过程中，外力作多少功？ (2) 使球上电荷从零开始增加到使球上电荷从零开始增加到Q的过程中，的过程中，外力共作多少功？外力共作多少功？ RqU04 ) 1 (qRqWAd4dd0QRqqAA004dd )2(RQ02811在匀强电场中，将一负电在匀强电场中，将一负电荷从荷从A移到移到B，如图所示则：，如图所示则： (A) 电场力作正功，负电荷的电势能减少电场力作正功，负电荷的电势能减少 (B) 电场力作正功，负电荷的电势能增加电场力作正功，负电荷的电势能增加 (C) 电场力作负功，负电荷的电势能减少电场力作负功，负电荷的电势能减少 (D) 电场