高数定积分的分部积分ppt课件

1、 定定积积分分也也可可以以象象不不定定积积分分一一样样进进行行分分部部积积分分， 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. . 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv定积分的分部积分法定积分的分部积分法一、分部积分公式一、分部积分公式解解.arcsin210 xdx令令,arcsin xu ,dxdv 那么那么,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 2

2、1021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 例例1 1 计计算算,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例2 2 计算计算.2cos140 xxdx 解解例例3 3 计算计算.)2()1ln(102 dxxx解解 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln

3、2ln35 例例4 4 设设 求求 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf解解因因为为ttsin没没有有初初等等形形式式的的原原函函数数，无无法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部积积分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx, 0sin)1(11 dtttf 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).

4、11(cos21 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossin0 x2sin1 例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标减到0或

5、或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ), 2 , 1( m,3254761222122112ImmmmIm ,2200 dxI, 1sin201 xdxI于是于是,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm设设 f ( x ) 连续连续证明证明dtduufdttftxxxt 000)()()(证一证一记记 xdttftxxF0)()()(dtduufxGxt 00)()( 那那么么 xdttfxGxF0)()()(CxGxF )()(而而0) 0() 0( GF故故)()(xGxF 例例6证二证二 注意到注意到 tduuf

6、0)(是是 f ( t ) 的一个原函数的一个原函数故故)()()()(000 xxtduufdtxdttftx)()()()(0000dtduufduuftxxtxt dtduufxt 00)(定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上上连连续续，且且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求求 10)2(dxxfx.应用公式的关键是选择应用公式的关键是选择 u , v ，次序仍然是：，次序仍然是： 反、对、幂、指、三反、对、幂、指、三 二、小结二

7、、小结 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 思考题解答思考题解答练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m为为自自然然数数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .练习题答案练习题答案一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1sin ee； 2