线性代数课件：庭芳方阵的特征值与特征向量

1、2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念二、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质说明说明. 1 x特特征征向向量量 .0,. 3 的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AEAxEAAn 一、特征值与特征向量的概念一、特征值与特征向量的概念定义定义1 1 设设 A 是是 n 阶矩阵阶矩阵, ,若数若数 和和 n 维维非零非零列向量列向量 x 使关系式使关系式 A x

2、 = = x 成立成立, ,则称数则称数 为为方阵方阵 A 的特征值的特征值, ,非零非零列向量列向量 x 称为称为 A 的对应的对应于特征值于特征值 的特征向量的特征向量. .2. . 特征值问题只对特征值问题只对方阵方阵而言而言 . .0. 3 EA 0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 EA . 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其. 的的为方阵为方阵 A特征多项式特征多项式 则则有有的的特特征征值值为为阶阶方方阵阵设设,. 521nijaAn ;)1(221121n

3、nnaaa .)2(21An . 4 所所有有特特征征向向量量的的的的对对应应特特征征值值阶阶方方阵阵解解向向量量就就是是的的所所有有非非零零齐齐次次线线性性方方程程组组iiAnxEA 二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法求方阵求方阵 的特征值与特征向量的步骤：的特征值与特征向量的步骤：nA), 2 , 1( 0 . 1ninEAi 个特征根个特征根解得解得由特征方程由特征方程. ,)( . 2线性组合线性组合写出其写出其的基础解系的基础解系分别求出分别求出对每个对每个 xEAii非零非零解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A的特征多项式为的特征

4、多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值为的特征值为所以所以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得.2)0(1111的全部特征向量是对应于所以kpk.4)0(2222的全部特征值向量是对应于所以kpk例例 .201034011的特征值和特征向量的

5、特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.2)0(11的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kkp由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系.1)0(322的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kkp例例 设设,314020

6、112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).0( 1 kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不

7、不同同时时为为kk pkpk 例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵 A 的特征值的特征值 , x 是是 A 的的 属于属于 的特征向量，则的特征向量，则 .)1(是任意自然数是任意自然数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,2 可逆时可逆时当当A.,1111的的特特征征向

8、向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA可知：可知：由由(1) .0的一个特征值的一个特征值为为的一个特征值，则的一个特征值，则为为若若 AAA .)()(的一个特征值的一个特征值为为的一个特征值，则的一个特征值，则为为若若AA 可知：可知：由由(2) 例例5. |75|,1,2,1 (1)23AAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵. |23|, 1,2,1 (2)*EAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵例例6证明：证明：, 0 A”“00 AEA的一个特征值。的一个特征值。为为A0 ”“000 AEA，即，即由已知有：由已知有

9、：. 0有有一一个个特特征征值值为为不不可可逆逆AA证明：证明：”“，设存在设存在0 。的特征值都不为的特征值都不为0A”“xAxxA00 使使，则存在，则存在设设 .0，矛盾，矛盾有特征值有特征值即即 A0 A.00，矛盾，矛盾则有则有 AEA. 0 的的任任一一个个特特征征值值都都不不为为可可逆逆AA.,., 21212121线性无关线性无关则则各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质1.把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i