求两导体平板之间的电位和电场学习教案

1、会计学1求两导体平板之间的电位求两导体平板之间的电位(din wi)和电场和电场第一页，共136页。2本章内容本章内容 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一静态场的边值问题及解的惟一(wiy)性定理性定理 3.5 镜像法镜像法 3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定静电场、恒定(hngdng)(hngdng)电场和恒定电场和恒定(hngdng)(hngdng)磁场磁场 时变情况时变情况(qngkun

2、g)(qngkung)下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况静态情况(qngkung)(qngkung)下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第1页/共136页第二页，共136页。3 本节内容本节内容 静电场的基本方程静电场的基本方程(fngchng)和边界条件和边界条件 电位函数电位函数 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 静电场的能量静电场的能量 静电力静电力第2页/共136页第三页，共136页。42. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本基

3、本(jbn)方程方程n12n12()()0SeeDDEE0ddlESDCSq积分形式：积分形式：n12n12()0()0eeDDEE02t1tn2n1EEDDS或或2t1tn2n1EEDD或或若分界面上不存在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即 ，则，则0S第3页/共136页第四页，共136页。5介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212n21n12n2t1n1t21/tantanDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体在静电平衡的情况下，导体(dot)(dot)内部的电场为内部的电场为0 0，则导体，则导体(dot)(dot)表面的边界条件为表面的边界条件为 nn0SeeDE0tn

4、EDS或或 场矢量场矢量(shling)的折射关系的折射关系 导体导体(dot)表面的边界条件表面的边界条件第4页/共136页第五页，共136页。60E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。称为静电场的标量电位或简称电位。1. 电位电位(din wi)函数的定义函数的定义E第5页/共136页第六页，共136页。72. 电位电位(din wi)的表达式的表达式对于对于(duy)连续的体分布电荷，由连续的体分布电荷，由同理得，面电荷同理得，面电荷(dinh)的电位：的电位： 1( )( )d4VrrVC

5、R故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR( )1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrRCSRrrSSd)(41)(3第6页/共136页第七页，共136页。8n3. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径沿任意路径(ljng)进行积分，得进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q

6、 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示。表示。 电位差有确定值，只与首尾电位差有确定值，只与首尾(shuwi)两点位置有关，与积分路径无关。两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力电场力做的功做的功第7页/共136页第八页，共136页。9 静电位不惟一，可以静电位不惟一，可以(ky)(ky)相差一个常数，即相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位令参考点电位(din wi)为零为零电位电位(din

7、 wi)(din wi)确定值确定值( (电位电位(din wi)(din wi)差差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义。应使电位表达式有意义。 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点。限远作电位参考点。 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即为使

8、空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第8页/共136页第九页，共136页。10 例例 求电偶极子的电位求电偶极子的电位(din wi). 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr223000cos( )444rqdrrrrrp ep 代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶

9、极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP第9页/共136页第十页，共136页。11ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E 线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式由球坐标系中的梯度公式(gngsh)(gngsh)，可得到电偶极子的远区电场强度，可得到电偶极子的远区电场强度30(2cossin )4rqree11( )()sinrrrrr Eeeecos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程(wi fn fn chn)：等位等位(dn wi)线方

10、程：线方程：第10页/共136页第十一页，共136页。12 解解 选定均匀电场选定均匀电场(din chng)(din chng)空间中的一点空间中的一点O O为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P P 的位置矢量为的位置矢量为r r ，则，则000( )( )ddPPoOPOElErEr 若选择点若选择点O为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0O0( )PEr 000( )coszPErer EE r 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即的方向一致，即 ，则有，则有00zEe E0E0ExzOPr 例例 求均匀求均匀(jnyn)(jnyn)电场的电位分

11、布。电场的电位分布。000( )()cosxzPEreE ee zE zree z 在圆柱坐标系中，取在圆柱坐标系中，取 与与x 轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E第11页/共136页第十二页，共136页。13xyzL-L( , , )z zddlzRz 解解 采用圆柱坐标系，令线电荷与采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。在带电线上位于轴相重合，中点位于坐标原点。在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它到点，它到点 的距离的距离 ，则，则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4L

12、lLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第12页/共136页第十三页，共136页。142222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 。当。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，在上式中加上一个任意常数，则有时，在上式中加上一个任意常数，则有L 002( )ln2lLrC选择选择(xunz)= a 的点为电位参考点，则有的点为电位参考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第13页/

13、共136页第十四页，共136页。15在均匀在均匀(jnyn)(jnyn)介质中，有介质中，有5. 电位电位(din wi)的微分方程的微分方程在无源区域，在无源区域，0EED202标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第14页/共136页第十五页，共136页。16n6. 静电静电(jngdin)位的边位的边界条件界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴是介质分界面两侧紧贴(jn ti)界面的相邻两点，其电位分别为界面的相邻两点，其电位分别为1和和2。当两点间距离。当两点间距离l0时时导体导体(dot)(dot)表面上电位的边界条件：表面上电位的边界条件：0dlim21021PPl

14、Eln12()SeDDD由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即0Snn1122常数，常数，SnSnn112221第15页/共136页第十六页，共136页。17 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和和 x = a 处，在两板之间的处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地在两块无限大接地(jid)导体平板之间电位函数满

15、足一维拉普拉斯方程导体平板之间电位函数满足一维拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程方程(fngchng)的解为的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( ) x2( ) x第16页/共136页第十七页，共136页。180110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用利用(lyng)边界条件

16、，有边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后最后(zuhu)得得0 x 处，处，1(0)0 xa2( )0a 处，处，所以所以(suy)0220( )( )SxbE xxea 由此解得由此解得第17页/共136页第十八页，共136页。19电容器广泛应用于电子设备的电路电容器广泛应用于电子设备的电路(dinl)中：中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波在电子电路中，利用电容器来实现滤波(lb)、移相、隔直、旁、移相、隔直、旁 路、选频等作用。路、选频等作用。 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各

17、种功能的复杂 电路。电路。 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率。减少电能的损失和提高电气设备的利用率。第18页/共136页第十九页，共136页。20qC 1. 电容电容(dinrng) 孤立孤立(gl)导体的电容导体的电容 两个带等量两个带等量(dn lin)异号电荷（异号电荷（q）的导体组成的电容器，其电容为）的导体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周

18、围电介质的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。E02U1qq第19页/共136页第二十页，共136页。21 (1) 假定两导体上分别假定两导体上分别(fnbi)带电荷带电荷+q 和和q ； 计算电容计算电容(dinrng)的方法一：的方法一：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差； (2) 计算两导体间的电场计算两导体间的电场(din chng)强度强度E； 计算电容的方法二计算电容的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U ； (4) 由由 得到得到 ;nESS

19、 (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ；E (3) 由由 得到得到E ; SSSqd (5) 由由 ，求出导体的电荷，求出导体的电荷q ；UqC (6) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。第20页/共136页第二十一页，共136页。22 解：设内导体的电荷解：设内导体的电荷(dinh)(dinh)为为q q ，则由高斯定理可求得内外导体间的电场，则由高斯定理可求得内外导体间的电场44rr22qqDe,Eerr0011d()44baqqbaUE rabab同心导体同心导体(dot)(dot)间的电压间的电压04abqCUba球形电容球形电容(dinrng)(di

20、nrng)器的电容器的电容(dinrng)(dinrng)04Ca当当 时，时，b 例例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a 、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为，其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容abo第21页/共136页第二十二页，共136页。23 例例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a ，两导线的轴线距离，两导线的轴线距离(jl)为为D ，且，且D a ，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位

21、长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。应用高斯定理和叠加原理，可得两导线之间的平面上任一点应用高斯定理和叠加原理，可得两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为l011( )()2lxE xexDx两导线两导线(doxin)间的电位差间的电位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故单位故单位(dnwi)长度的电容为长度的电容为001(F/m)ln()ln()lCUDaaD axyzxDa第22页/共136页第二十三页，共136页。24 例例 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a ，外导体半径为，外导体半径为b ，内外导体间填充的介电常数为，内外

22、导体间填充的介电常数为 的均匀的均匀(jnyn)介质，求同轴线单位长度的电容。介质，求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外内外(niwi)导体间的电位差导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度故得同轴线单位长度(chngd)的电容为的电容为12(F/m)ln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第23页/共136页第二十四页，共136页。251. 1.

23、静电场的能量静电场的能量(nngling)(nngling) 设系统从零开始充电设系统从零开始充电(chng din)，最终带电量为，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。外电源。外电源所做的总功为所做的总功为101d2qq 根据根据(gnj)能量守恒定律，电为能量守恒定律，电为 q 的带电体具有的电场能量：的带电体具有的电场能量： 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为qW21eVWd21de 静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。静电场

24、最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。静电场的能量静电场的能量 第24页/共136页第二十五页，共136页。26故体分布故体分布(fnb)(fnb)电荷的电场能量为电荷的电场能量为对于对于(duy)(duy)面分布电荷，电场能量为面分布电荷，电场能量为对于多导体对于多导体(dot)(dot)组成的带电系统，则有组成的带电系统，则有iq 第第i 个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i 个导体的电位个导体的电位式中：式中： iiiiSSiiSiSqSSWiiii21d21d21eVVWd21eSSSWd21e第25页/共

25、136页第二十六页，共136页。272. 电场能量电场能量(nngling)密度密度EDw21e电场能量密度：电场能量密度：e1d2VWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2e111ddd222VVVWD E VE E VEV 对于对于(duy)线性、各向同性介质，则有线性、各向同性介质，则有2e111222wD EE EE 第26页/共136页第二十七页，共136页。28由于体积由于体积V 外的电荷外的电荷(dinh)密度密度0，只要电荷，只要电荷(dinh)分布在有限区域内，当闭合面分布在有限区域内，当闭合面S 无限扩大时，则有无限

26、扩大时，则有211 O( O()DRR) 、故故 推证推证：()DDD E D R0Se11dd22VVWVDV1()d2VDDVSVSDVDdd )(VDESDVSd21d210)1O()d11O(d2RSRRSDSS第27页/共136页第二十八页，共136页。29 例例 半径为半径为a a 的球形空间的球形空间(kngjin)(kngjin)内均匀分布有电荷体密度为内均匀分布有电荷体密度为的电荷，试求静电场能量。的电荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VVEDWd

27、21e 根据高斯定理求得电场根据高斯定理求得电场(din chng)(din chng)强度强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVd21d21d2121220210e第28页/共136页第二十九页，共136页。30)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VVWd21e 先求出电位先求出电位(din wi)(din wi)分布分布 故故5202022021e154d4)3(221d21arrraVWaV第29页/共136页第三十页，共136页。31 虚位移法：假设第虚位移法：假设第i 个带电导体在

28、电场力个带电导体在电场力Fi 的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFi dgi ，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe 。根据能量守恒定律，该系统的功能。根据能量守恒定律，该系统的功能(gngnng)关系为关系为edddSiiWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源是与各带电体相连接的外电源(dinyun)所提供的能量。所提供的能量。静电力静电力1. 各带电导体各带电导体(dot)的电位不变的电位不变外电压源向系统提供的能量外电压源向系统提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqqe1111dd()d22NNiiiiiiWqq系统所改

29、变的静电能量系统所改变的静电能量即即ed2dSWWeddiiF gWeiiWFg 不变不变第30页/共136页第三十一页，共136页。32此时此时(c sh)，dWS0，因此，因此2. 各带电各带电(di din)导体的电荷不变导体的电荷不变eddiiF gW 式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统号表示电场力做功是靠减少系统(xtng)的静电能量来实现的。的静电能量来实现的。eiiWFg q不变不变部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx 例例 有一平行金属板电容器，极有一平行金属板电容器，极板面积为板面积为lb，板间距离为，板间距离为d ，用一块介，用一块介质

30、片（宽度为质片（宽度为b、厚度为、厚度为d ，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。第31页/共136页第三十二页，共136页。330()lx bbxCdd所以电容器内的电场所以电容器内的电场(din chng)能量为能量为220e001()22bUWCUlxxd02e00()2xUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行平行(pngxng)板电容器的电容为板电容器的电

31、容为由于由于0，所以介质片，所以介质片所受到的力有将其拉所受到的力有将其拉进电容器的趋势进电容器的趋势 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算eiiWFg q不变不变第32页/共136页第三十三页，共136页。3422e022 ()qdqWCblxx2e020()2 ()xqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd设极板上保持设极板上保持(boch)总电荷总电荷q 不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于(yuy)同样同样(tngyng)得到得到本节内容本节内容 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的

32、比拟 漏电导漏电导第33页/共136页第三十四页，共136页。35 导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场导体中若存在恒定电流，导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场(din chng)(din chng)称为恒定电场称为恒定电场(din chng)(din chng)。 恒定电场与静电场的重要区别：恒定电场与静电场的重要区别： （1 1）恒定电场可以存在于导体内部。）恒定电场可以存在于导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗(snho),(snho),要维持导体中的恒

33、定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗(snho)(snho)的电场能量。的电场能量。恒定电场的基本恒定电场的基本(jbn)(jbn)方程和边界条件方程和边界条件第34页/共136页第三十五页，共136页。36EJ0d0dlESJCS00EJ1. 基本基本(jbn)方程方程 恒定恒定(hngdng)(hngdng)电场的基本方程为电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分积分(jfn)(jfn)形式：形式：)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线

34、性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E0 EE0 J由由0)(02若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质均匀导电媒质中没有体分布中没有体分布电荷电荷第35页/共136页第三十六页，共136页。372. 恒定恒定(hngdng)电场的边界条件电场的边界条件0d lEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Enen12()0e JJn12()0e EE 场矢量场矢量(shling)(shling)的边界条件的边界条件2nn1JJ即即2t1tEE即即 导电媒质分界导电媒质分界(fn ji)(fn ji)面上的电荷面密度面上的电荷面

35、密度1212n12n12n1212()()()SeeJDDJJ场矢量的折射关系场矢量的折射关系212n21n12n2t1n1t21/tantanJJEEEE第36页/共136页第三十七页，共136页。38 电位电位(din wi)(din wi)的边界条件的边界条件nn221121, 恒定电场同时恒定电场同时(tngsh)存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面； 说明说明(shumng)：b11、a第37

36、页/共136页第三十八页，共136页。39媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如2 1、且、且290，则，则10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时此时(c sh)，良导体表面可近似地看作为，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质，即为理想介质，即10，则，则 J1=0，故，故J2n= 0 且且 E2n= 0，即导体，即导体 中的电流中的电流(dinli)和电场与分界面平行。和电场与分界面平行。第38页/共136页第三十九页，共136页。40恒定恒定(hn

37、gdng)电场与静电场的比拟电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到(d do)(d do)另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。D0U静电场静电场J0U恒定电场恒定电场第39页/共136页第四十页

38、，共136页。41恒定电场恒定电场(din chng)(din chng)与静电场与静电场(din chng)(din chng)的比拟的比拟对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC基本方程基本方程ED,EEJ0202n2n1t2t1 DDEEn2n1t2t1 JJEE静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,E0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）0d, 0dlESDCS第40页/共136页第四十一页，共136页。42 例例一个有两层介质的平行一个

39、有两层介质的平行(pngxng)板电容器，其参数分别为板电容器，其参数分别为1、1 和和 2、2 ，外加电压，外加电压U。求介质面上的自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解：极板是理想解：极板是理想(lxing)导体，为等位面，电流沿导体，为等位面，电流沿z 方向。方向。1n2nJJ 由由1n2nSDD由由U1d2d11, 22, zo1212112212()ddUUUE dE dJ12121122,JJJJEE12JJJ1212()ddJU121212,SSDJDJ 上下21122121212112()SDDJUdd 介第41页/共136页第四十二页，共136页。43 例例 填充有两层

40、介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为1 和和2 、电导率为、电导率为 1 和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上）介质分界面上(min shn)的自由电荷面密度。的自由电荷面密度。J1212I外导体外导体(dot)(dot)内导体内导体(dot)(dot)介质介质2 2介质介质1abc11、22、0

41、U第42页/共136页第四十三页，共136页。44 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质介质(jizh)中的电场中的电场222()2JIEebc 解：解：第43页/共136页第四十四页，共136页。4512021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场故两种介质中的电流密度和电场(din chng)强度分别为强度分别为120

42、212ln()ln()UIb ac b 01212ddln( )ln( )22bcabIbIcUEEab由于由于(yuy)于是于是(ysh)得到得到第44页/共136页第四十五页，共136页。4612011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b nSeD （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面外表面(biomin)的电荷面密度为的电荷面密度为两种介质分界两种介质分界(fn ji)面上的电荷面密度为

43、面上的电荷面密度为J2112I第45页/共136页第四十六页，共136页。47 漏电流与电压漏电流与电压(diny)(diny)之比为漏电导，即之比为漏电导，即UIG 其倒数称为其倒数称为(chn(chn wi) wi)绝缘电阻，即绝缘电阻，即IUGR1漏电导漏电导(din do)第46页/共136页第四十七页，共136页。48(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I ；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J ；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求

44、电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导计算电导(din do)的方法一：的方法一： 计算计算(j sun)(j sun)电导的方法二：电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E ; (4) 由由 J = E 得到得到J ; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESISJdUIG/ 计算电导计算电导(din do)的方法三：的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CGCG第47页/共136页第四十八页

45、，共136页。49 例例 求同轴电缆的绝缘电阻求同轴电缆的绝缘电阻(dinz)。设内外的半径分别为。设内外的半径分别为a 、b，长度为，长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIUln2d2dlElba则则IlIJ2lIJE2设由内导体设由内导体(dot)流向外导体流向外导体(dot)的电流为的电流为I 。第48页/共136页第四十九页，共136页。50012222000, 0U 方程方程(fngchng)通解为通解为21CC 例例 在一块厚度为在一块厚度为h 的导电的导

46、电(dodin)板上，板上， 由两个半径为由两个半径为r1 和和 r2 的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0 的两半径割出的一段环形导电的两半径割出的一段环形导电(dodin)媒质，如图所示。计算沿媒质，如图所示。计算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电方向的两电极之间的电阻。设导电(dodin)媒质的电导率为媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，电位，电位(din wi)函数函数 满足一维拉普拉斯方程满足一维拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,CUCU 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第49页/共1

47、36页第五十页，共136页。51电流密度电流密度00UJEe 两电极两电极(dinj)之间的电流之间的电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿故沿 方向方向(fngxing)(fngxing)的两电极之间的电阻为的两电极之间的电阻为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以(suy)(suy)00UEee 第50页/共136页第五十一页，共136页。52本节内容本节内容 恒定磁场恒定磁场(cchng)的基本方程和边界的基本方程和边界条件条件 恒定磁场恒定磁场(cchng)的矢量磁位和标的矢量磁位和标量磁位量磁位 电感电感 恒定磁场恒定磁场(cchng)的能

48、量的能量 磁场磁场(cchng)力力第51页/共136页第五十二页，共136页。530HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本基本(jbn)方程方程BH2. 边界条件边界条件本构关系本构关系(gun x)(gun x)：n12n12()0()SeBBeHHJSJHHBBt2t12n1n0或或若分界若分界(fn ji)(fn ji)面上不存在面电流，即面上不存在面电流，即JSJS0 0，则，则积分形式积分形式: :n12n12()0()0eBBeHH或或002tt1n2n1HHBB第52页/共136页第五十三页，共136页。54 矢量矢量(shling)磁位的定义磁位的定

49、义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定与电位一样，磁矢位也不是惟一确定(qudng)的，它加上任意一个标量的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个矢量即恒定磁场可以用一个矢量(shling)函数的旋度来表示。函数的旋度来表示。()AAA 1. 恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位矢量磁位或称磁矢位矢量磁位或称磁矢位 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位AA0A 为了得到确定的为了得到确定的 ，可以对，可以对 的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑

50、规范。的散度加以限制，在恒定磁场中通常规定，并称为库仑规范。AA第53页/共136页第五十四页，共136页。55 磁矢位的微分方程磁矢位的微分方程(wi fn fn chn)在无源区：在无源区：AB0A0J JA202 A矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程AJ2()AAJ 磁矢位的表达式磁矢位的表达式3( )1( )d( )()d44VVJ rRB rVJ rVRR 1( )()d4VJ rVR ( )111()( )()( )( )()J rJ rJ rJ rRRRR31()RRR JB第54页/共136页第五十五页，共136页。56 磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件（

51、可以证明满足（可以证明满足 ） 0A对于对于(duy)(duy)面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为面电流和细导线电流回路，磁矢位分别为 利用利用(lyng)(lyng)磁矢位计算磁通量：磁矢位计算磁通量：0A12AAn12()SeHHJ/HA n121211()SeAAJ细线电流细线电流：CRlIrAd4)(面电流面电流：SSSRrJrAd)(4)(由此可得出由此可得出VVRrJrAd)(4)(SCSBlAddCSSlASASBddd0dSSA2t1tAA 2n1nAA 第55页/共136页第五十六页，共136页。57 例例 求小圆环电流求小圆环电流(dinli)回路的远区矢量磁位与磁场。小

52、圆形回路的半径为回路的远区矢量磁位与磁场。小圆形回路的半径为a ，回路中的电流，回路中的电流(dinli)为为I 。 解解 如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与如图所示，由于具有轴对称性，矢量磁位和磁场均与 无关，计算无关，计算 xO z 平面平面(pngmin)上的矢量磁位与磁场将不失一般性。上的矢量磁位与磁场将不失一般性。(sincos )rxzre rr ee(cossin)rxzre aa eedd(sincos) dxyle aeea 222221 2( sincos)sincos)rrraar221 22sincosraar小圆环电流小圆环电流aIxzyrRdlrIPO第

53、56页/共136页第五十七页，共136页。58对于对于(duy)远区，有远区，有r a ，所以，所以21 21 2112121 ( )sincos1sincosaaarrrrrrr1(1sincos)arr2001( )(1sincos)(sincos)d4xyIaaA reerr202sin4yI aer由于在由于在 = 0 面上面上 ，所以上式可写成，所以上式可写成yee于是于是(ysh)得到得到20022( )sinsin44I aISA reerr第57页/共136页第五十八页，共136页。5911(sin)()sinrBAeAerArrr 03(2cossin )4rISeer式中式

54、中S =a 2是小圆环的面积是小圆环的面积(min j)。 载流小圆环可看作磁偶极子，载流小圆环可看作磁偶极子， 为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则为磁偶极子的磁矩（或磁偶极矩），则mpIS0m2( )sin4pA rer或或 0m3( )4A rprr0m3( )(2cossin )4rpB reer第58页/共136页第五十九页，共136页。602. 恒定磁场恒定磁场(cchng)的标量磁位的标量磁位在无传导电流在无传导电流(chun do din li)（J0）的空间）的空间 中，则有中，则有 标量标量(bioling)磁位的引入磁位的引入0HmH 标量磁位或磁标位标量磁位或磁标位 磁标

55、位的微分方程磁标位的微分方程00,()BBHM将将 代入代入mH m0H2mm0 m0HM m0M 等效磁荷体密度等效磁荷体密度第59页/共136页第六十页，共136页。61 标量标量(bioling)磁位的边界条件磁位的边界条件m0 n21()SeMM 0m0BHHB 、2m0在线性、各向同性在线性、各向同性( xin tn xn)的均匀媒质中的均匀媒质中 标量标量(bioling)磁位的表达式磁位的表达式01( )( )d4VrrVRmm0( )1( )d4VrrVRm1m212nn和和m1m2或或2mm10mSnn 和和m1m2式中：式中： 等效磁荷面密度等效磁荷面密度第60页/共136

56、页第六十一页，共136页。62静电静电(jngdin)位位 磁标位磁标位 磁标位与静电磁标位与静电(jngdin)位的比较位的比较0,ED0,0HBE mH PP m0M 2P0() 2mm0 m0 n21()SeMM Pn21()SePP m1m2m1m212,nn121212,nn 静电位静电位 0 PEDP磁标位磁标位 m 0mHB0M第61页/共136页第六十二页，共136页。6322m00m00m,qa Mqa Mq 上下上当当r l 时，可将磁柱体等效时，可将磁柱体等效(dn xio)成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有成磁偶极子，则利用与静电场的比较和电偶极子场，有m

57、m33001144prp rrr 2mm00zpqlpq leaM l：其其中中0mB 解解：M0为常数，为常数，m= 0，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为，柱内没有磁荷。在柱的两个端面上，磁化磁荷为m00m00,MM 上下R1R2rPzx-l/2l/2M 例例3.3.3半径为半径为a、长为、长为l 的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为的圆柱永磁体，沿轴向均匀磁化，其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。求远区的磁感应强度。0zMe M第62页/共136页第六十三页，共136页。641. 磁通与磁链磁通与磁链 ii电感电感(din n) 单匝线圈形成单匝线圈形成(xngchng)的

58、回路的磁链定的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路多匝线圈形成的导线回路(hul)的磁的磁 链定义为所有线圈的磁通总和链定义为所有线圈的磁通总和 CI 细回路细回路 粗导线构成的回路，磁链分为粗导线构成的回路，磁链分为 两部分：一部分是粗导线包围两部分：一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量的、磁力线不穿过导体的外磁通量 o ；另一部分是磁力线穿过；另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量 i。 iCI o粗回路粗回路第63页/共136页第六十四页，共136页。65 设回路设回路

59、 C 中的电流为中的电流为I ，所产生的磁场与回路，所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为交链的磁链为，则磁链，则磁链 与回路与回路 C 中的电流中的电流 I 有正比有正比(zhngb)关系，其比值关系，其比值IL称为回路称为回路(hul) C 的自感系数，简称自感。的自感系数，简称自感。 外自感外自感(z n)ILiiILoo2. 自感自感 内自感；内自感；粗导体回路的自感：粗导体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流无关。 自感的特点自感的特点：第64页/共136页第六十五页，

60、共136页。66 解：设同轴线中的电流解：设同轴线中的电流(dinli)(dinli)为为I I ，由安培环路定理，由安培环路定理0ii22,22IIHBaa穿过沿轴线单位长度的矩形穿过沿轴线单位长度的矩形(jxng)面积元面积元dS = d的磁通为的磁通为0ii2ddd2IBSa (0)a 例例 求同轴线单位长度求同轴线单位长度(chngd)的自感。设内导体半径为的自感。设内导体半径为a，外导体厚度可忽略不计，其半径为，外导体厚度可忽略不计，其半径为b，空气填充。，空气填充。得得与与di 交链的电流为交链的电流为22IIa abadIiB2222idaIaIIlHC第65页/共136页第六十