概率论与随机过程：第10章 10-1随机过程的概念及统计特性

1、 10.1 随机过程概念及统计特性 一、随机过程的定义二、随机过程的分类三、随机过程的概率分布四、二维随机过程 随机过程 引言引言 现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发展的，这些现象通常称为过程。可分为两类：(1)确定性的变化过程：例如例如(2)不确定的变化过程：例如例如 如果质点在一个随机的力（它由各种随机因素形成）的作用下，那么质点运动的位置也是随机的。 如何描述这样的变化过程：1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置与时间关系的函数x1 1( (t ) ),若再次观察，又得到函数x2 2( (t ) ), ,因而得到一族函数.2. 如果在时刻t观察质点的位置x( (

2、t ) ),则x( (t ) )是一个随机变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X( (t ) ),于是我们就得到一族随机变量X(t),t0,（最初始时刻为t=0）,它描述了此随机的运动过程.一、随机过程的定义 1.定义1 设E是一随机实验,样本空间为=，参数T(-,+),如果对每个 ,总有一个确定的时间函数X(,t)与之对应,这样对于所有的 ,就得到一族时间t的函数,我们称此时间t的函数族为随机过程,而族中每一个函数称为这个随机过程的样本函数。 我们称这种随时间的进展而变化与发展的随机现象为随机过程。 定义定义2 2：设E是一随机实验，样本空间为=，参数T( (-,+) ),如果对任意t

3、 T ，有一定义在上的随机变量X( (,t) )与之对应,则称X( (,t),),t T为随机过程，简记为X( (t),),t T 或X( (t) ),也可记为X( (t) ). 注释：(1) 随机过程X( (t),),t T是定义在T上的二元函数，因此可以从两个角度去理解, 因而有如上的两个定义。 在理论分析往往用随机变量族的描述方式，在实际测量和处理中往往采用样本函数族的描述方式。 (3)从定义2的角度上看，随机过程是有限维随机变量的推广. (2)通常将随机过程X( (t),),t T 解释为一个物理系统， X( (t) )表示系统在时刻t所处的状态,X( (t) )的所有可能状态所构成的

4、集合称为状态空间，记为I，对于给定的t0 T，及x I,X( (t0)=)=x 说成是在时刻t0，系统处于状态x.2.随机过程的例 （4）随机过程X(t),tT中参数t通常解释为时间集，便于理解，符合实际。但参数t可以表示为其它的量，例如序号，距离等等. 例2测量运动目标的距离.测量存在随机误差.,)(它是一个随机变量的测量误差表示在时刻以tt.)(,而变化随时间也测量误差按一定规律运动时当目标随时间ttt.)(的一族随机变量是依赖于时间tt.0, )(是一个随机过程tt).,( :状态空间例1:(分枝过程)两个个体（第0代）可能生产 0,1,2个子女形成第一代，每一个子女再生子女，他们合在一

5、起形成第二代，等等，假定第n代的个体数目为Xn，则Xn, n=0,1,2.是随机过程。 例3某城市的120急救电话台接收呼叫., 0(: )(内接收到的呼叫次数时间间隔ttX.0, )(是一个随机过程ttX. , 3, 2, 1, 0状态空间是例例4 4抛掷一颗骰子的试验抛掷一颗骰子的试验. .)1(:) 1 (抛掷的点数次第nnXn.1,是一个随机过程nXn伯努利过程或伯努利随机序列.)1(:)2(抛掷中出现的最大点数次前nnXn.1,也是一个随机过程nXn. 6, 5, 4, 3, 2, 1状态空间都是例5:(热噪声电压)电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称

6、为热噪声电压，在无线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电压要对信号产生持续的干扰，为要消除这种干扰（假设没有其他干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过程，现以电阻的热噪声电压为例说明这种变化过程的描述方法，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进行长时间的测量，并把结果记录下来，作为一次试验结果，便得到一个电压-时间函数（即电压关于时间t的函数）V1(t),如图.它在任一确定时刻的值是随机变量.0, )(是一个随机过程电压的变化过程ttV. ),( :状态空间一次测得的电压时间函数是一个样本函数.二、随机过程的分类1 1按状态和时间是可列集还是连续集分类按状态和时间是可列集

7、还是连续集分类：(1). 连续型随机过程:T是连续集,且tT,X( (t) )是连续型随机变量,则称过程X( (t) ),tT为连续型随机过程.(2).离散型随机过程:T是连续集，且tT,X( (t) )是是离散型随机变量，则称过程X( (t) ),tT为离散型随机过程。(3).连续型随机序列: T是可列集,且tT,X( (t) )是连续型随机变量，则称过程X( (t) ),tT为连续型随机序列. (4).离散型随机序列:T是可列集, 且tT, X( (t) )为离散型随机变量, 则称过程X( (t) ),tT为离散型随机序列。通常T取为T =0,1,2或T =0, 1，2,此时随机序列常记成

8、Xn,n=0,1,或Xn,n0。 2 2按分布特性分类：按分布特性分类： 依照过程在不同时刻状态的统计依赖关系分类。例如：独立增量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。 1 1n n维分布函数：维分布函数： 设X( (t) ),tT是随机过程，对于任意整数n1及T中任意n个不同的参数t1,t2，tn，称随机向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函数 )(,)(,)(,;,nnnnxtXxtXxtXPtttxxxF 22112121为随机过程X( (t) ),tT的n维分布函数.三、随机过程的概率分布 变化n及t1,t2，tn所得到的有限维分布函数的全体 1212121nTtTttttttx

9、xxFFnnn,;,称为X( (t) ),tT的有限维分布函数族。 当n=1时,得到一维分布函数F( (x; ;t)=)=PPX( (t)x ,一维分布函数的全体 F( (x; ;t), ), tT 称为一维分布函数族.2 2随机过程的数字特征随机过程的数字特征 函数TttXEtX ),()( 为X( (t) ),tT的均方值函数均方值函数. )()(tXEtX22 为X( (t) ),tT的方差函数方差函数. . )()()(tXDtDtXX 2 为X( (t) ),tT的协方差函数协方差函数. )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 为X( (t) ),t

10、T的均值函数均值函数. Rx(s,t)=EX(s)X(t)为X( (t) ),tT的自相关函数，简称相关函数相关函数 3.诸数字特征的关系：诸数字特征的关系： )()(),()(ttttCtXXXX222 )()(),(),(),()(tstsRtsCttRtXXXXXX 2例6: 设随机过程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互独立的随机变量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函数 x x(t)和自相关函数Rx x(s,t)。 解: x x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint因为Y与Z相互独立,于是 =costE(Y)+sin

11、t E(Z)=0, sincossincos)()(),(tZtYsZsYEtXsXEtsRX )(sinsin)(coscos22ZEtsYEts )(cos2st 解: 的概率密度为 )2 , 0(0)2 , 0(21)( f于是 )cos()()(taEtXEtX )cos()cos()()(),(2 tsaEtXsXEtsRX dtsa21coscos202 sta cos22.2)(),()(222atttRtXXX 例7: 考虑随机过程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常数，是在（0，2）上服从均匀分布的随机变量，通常称此随机过程为随机相位正弦波，求随机相位正弦

12、波的均值函数，方差函数和自相关函数. 021)cos(20dta例8: 设随机过程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互独立的服从N(0,1)的随机变量，求 X(t),-t+的一，二维概率密度。解: tT，由正态分布的性质知X(t)服从正态分布:EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0, DX(t)=D(Y)+t 2 D(Z)=1+t 2 所以一维概率密度为 )()(),(22122121txettxf 又由正态分布的性质知，对于任意 s,tT， ( (X( (s),),X( (t)服从二维正态分布而 tsZtYZsYEtsRtsCXX 1),(),( 22111,tststsX

13、 EX(s)= EX(t)=0；DX(s)=1+s2 ,DX(t)=1+t2 所以二维概率密度为 2222222121212122222121211)1)(1 (21)1 (21exp1)1)(1 (21),;,(txttxxtxttttxxf其中=x x( (t1 1, t2 2) ). 四、二维随机过程 1定义定义： X( (t) )、Y( (t) )为定义在同一样本空间和同一参数集T上的随机过程，对于任意t T，若( (X( (t),),Y( (t)是二维随机变量，则称( (X( (t),),Y( (t),t T为二维随机过程。 2有限维分布函数和独立性有限维分布函数和独立性(1)( (

14、X( (t),),Y( (t),t T为二维随机过程,对于任意的正整数n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T ，称n+m元函数 F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym为( (X( (t),),Y( (t),t T的n+m维分布函数，类似的可定义有限维分布函数族。 （2）若对于任意的正整数n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T，任意的x1 1,x2 2,xn n；y1 1,

15、y2 2,ym m R,有 F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm)=FX Xx1 , xn;t1 , tn FY Yy1, ym;t1 , tm 称X( (t) )与Y( (t) )相互独立，其中FX，FY分别为X( (t) )，Y( (t) )的有限维分布函数. 3 3二维随机过程的数字特征二维随机过程的数字特征(1) 互相关函数: 称 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 为( (X( (t),),Y( (t),t T的互相关函数. 若对于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,称X( (t) )与Y( (t) )正交. (2)互协方差函数： )()(

16、)()(),(ttYssXEtsCYXXY称为( (X( (t),),Y( (t),t T的互协方差函数.显然)()(),(),(tstsRtsCYXXYXY若X( (t) ),Y( (t) )相互独立，且二阶矩存在，则X( (t) ),Y( (t) )不相关. 若对于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 称X( (t) ),Y( (t) )不相关. 例9: 设有两个随机过程X X( (t t) )=Ucost+Vsintt+Vsint和 Y Y( (t t)=)=UsinUsint t + +VcostVcost，其中U和V独立,E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=C2.求互

17、相关函数R RXYXY(s(s，t)t)的表达式.)()(),(tYsXEtsRXY)sincos)(sincos(tVtUsVsUECtsUVEtstsCts22cossin)(sinsincoscossincos解:)sin(2tsC例10: 设X( (t) )为信号过程,Y( (t) )为噪声过程，令W( (t) )=X( (t) )+Y( (t) )，则 (1) W( (t) )的均值函数为注：两个随机过程的之和的自相关函数为各个随机过程的相关函数与它们的互相关函数之和。若两个随机过程的均值函数均恒为零，且互不相关时，有 RW(s,t)= Rx(s,t)+RY Y(s,t) W(t)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相关函数为 RW(s,t)=EX( (s s) )+Y( (s s) )X( (t) )+Y( (t) ) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 五、复随机过程 1定义定义： X( (t) )、Y( (t) )为定义在同一样本空间和同一参数集T上的实随机过程，则称Z(tZ(t)=)=X( (t)+i)+iY( (t) )为复随机过程。 2 2随机过