315　空间向量的数量积（1）

1、1前面我们学过了平面向量的数量积，大家还记得吗？回忆一下吧前面我们学过了平面向量的数量积，大家还记得吗？回忆一下吧2空间向量的数量积概念应该是怎么样的，还能用平面向量数量积空间向量的数量积概念应该是怎么样的，还能用平面向量数量积 公式表示吗？公式表示吗？3类比平面向量数量积，你能得出空间向量数量积的相关性质吗？类比平面向量数量积，你能得出空间向量数量积的相关性质吗？ 问题情境问题情境1空间向量的夹角及其表示：空间向量的夹角及其表示：O OA AB Baabb构建数学构建数学我们知道，任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空我们知道，任意两个空间向量都是共面向量，因此，两个空间向量的夹角以及它

2、们的数量积就可以像平面那样来定义间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面那样来定义 已知两个非零向量已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点，在空间任取一点O，作，作 ， ，则则 角角AOB叫做向量叫做向量 与与 的夹角，记作的夹角，记作 ： ab OA a OB babab范围：范围：0 ，在这个规定下，两个向量的夹角就被惟一确定，在这个规定下，两个向量的夹角就被惟一确定了，并且了，并且 ababab如果如果 ，则称，则称 ， 互相垂直，并记作：互相垂直，并记作： ab2abab2.2.两个空间向量的数量积两个空间向量的数量积注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量

3、，而不是向量. .零向量与任意向量的数量积等于零零向量与任意向量的数量积等于零 a ba b设设 ，则有向线段，则有向线段 的长度叫做向量的长度叫做向量 的长度或模，记作：的长度或模，记作： ； OA a OAaa已知空间两个向量已知空间两个向量 ， ，则，则 cos 叫做向量叫做向量 ， 的数量积的数量积，记作记作 ，即，即 cos 由此可得，求空间两个非零向量由此可得，求空间两个非零向量 ， 的夹角的夹角 的公式的公式 cos ababababababababababab（4 4）空间向量的数量积性质）空间向量的数量积性质 2(1)cos(2)0(3) a eaaeaba baa a，注意

4、：注意：性质（性质（2 2）是证明两向量垂直的依据；）是证明两向量垂直的依据；性质（性质（3 3）是求向量的长度（模）的依据）是求向量的长度（模）的依据对于非零向量对于非零向量 ，有：，有：a b ，（5 5）空间向量的数量积满足的运算律）空间向量的数量积满足的运算律 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律)() （a bcab c(1) ()()()(2)(3)() aba baba b b aab ca b a c （交换律）（交换律）（分配律）（分配律）数学应用数学应用121cos43 22.4 解：a baba bab，例例1 1已知已知 4， ， 4 求求 与与 的夹角的夹

5、角 ababab3 2abABCDA1C1D1B1例例2如图，已知四棱柱如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是矩是矩形，形，AB4，AD3，AA15，BAA1DAA160，求求AC1的长的长练一练练一练如图，在空间四边形如图，在空间四边形OABC中，中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60 求求OA与与BC的夹角的余弦值的夹角的余弦值 D A B C| | cos| | cos84cos13586cos12024 16 2cos 解：，BCACABOA BC OA AC OA ABOAACOAACOAABOAABOABC， ，24 16 23 2 2855| |3 2 25 所以，与的夹角的余弦值为OA BCOABCOAOB回顾小结回顾小结由学生