自动控制鲁棒控制系统的计算机辅助设计与仿真

1、第第6章章 鲁棒控制系统的计算机鲁棒控制系统的计算机辅助设计与仿真辅助设计与仿真 6.1 鲁棒控制工具箱介绍鲁棒控制工具箱介绍6.2 鲁棒控制系统概述鲁棒控制系统概述6.3 鲁棒控制系统的设计方法鲁棒控制系统的设计方法6.4 鲁棒控制系统设计实例鲁棒控制系统设计实例6.1 鲁棒控制工具箱介绍鲁棒控制工具箱介绍 6.1.1 鲁棒控制工具箱简介 鲁棒控制理论是近年来现代控制理论研究的热点和前沿课题。 我们知道, 在对控制系统进行分析和设计前一般首先需要对被研究的对象进行建模, 系统控制器的设计一般是在理想模型的情况下完成的。 MATLAB提供的鲁棒控制系统工具箱（Robost Control To

2、olbox）提供了多变量线性鲁棒控制系统分析和设计的函数和工具。 研究对象包括存在建模误差、 系统参数不确定或动态特性不能完全确定的系统。 工具箱提供的功能强大的算法函数可以帮助用户快速完成鲁棒控制系统（主要是线性系统）的复杂计算和设计工作。 借助鲁棒控制系统工具箱, 我们可以完成的工作包括： 1) 鲁棒多变量控制系统设计 鲁棒控制系统工具箱（Robost Control Toolbox）是建立在控制系统工具箱（Control System Toolbox）的基础上的, 为用户提供了更为先进的控制算法。 它在现代控制理论与实际控制工程之间建立了一座桥梁。 该工具箱包括一系列有关鲁棒多变量控制设

3、计方法的实现算法, 其研究的重点为多变量频率响应的奇异值和多变量Bode图的分析和绘制。 2) 鲁棒性分析 系统的不确定性因素具体有外界噪声/干扰信号、 传递函数的建模误差以及未建模的非线性动态特性。 鲁棒控制系统工具箱可以让用户找到系统在这些不确定性条件下的多变量稳定裕度的度量。 使用的方法包括： 最优对角缩放、 Perron特征向量对角缩放和奇异值方法等。 3) 鲁棒性系统综合 经典或现代鲁棒控制系统的设计人员通常采用回路设计（LoopShaping）的系统设计方法来满足系统的设计要求。 多变量系统的回路设计方法是通过奇异值Bode图实现的。 鲁棒控制系统工具箱提供了各种SISO或MIMO

4、回路设计的方法, 诸如LQR、 LQG、 LQG/LTR、 H2和H等等。 4) 鲁棒模型简化 有时根据鲁棒控制理论设计出来的鲁棒控制器的阶数很高以至于难于实现, 这时通常需要进行控制器的简化。 其它模型简化的场合还包括系统模型简化以及大规模系统仿真等等。 一个良好的模型简化算法应该同时具有数值鲁棒性和保持闭环系统鲁棒性的能力。 鲁棒控制系统工具箱提供的模型简化算法可以满足这些要求。 6.1.2 系统的分层数据结构表示 在MATLAB的鲁棒控制工具箱中使用了一种特殊的数据结构, 即分层数据结构（Hierarchical Data Structure）， 来表示所描述的系统对象。 这使得用户可以

5、用一个简单的变量来代表所要研究的系统并进行相关的运算, 从而很大程度上方便了用户访问鲁棒控制工具箱中函数的过程。 这个变量称为tree类型的变量。 下面的M文件函数可以用来创建系统的tree变量： 1） mksys 该函数可以将代表系统对象的矩阵封装到单个MATLAB变量中。 例如ssg = mksys(ag, bg, cg, dg); TSS = mksys(A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21, D22, tss); 第一行程序将代表系统状态方程的4个矩阵ag、 bg、 cg和dg统一用ssg来描述； 第二行将二输入输出系统（A, B1, B2）的状态方程封装到

6、变量TSS中。 也可以在mksys的最后参数中指定所要描述系统的类型。 2） branch 该函数的基本功能是获取封装在系统或tree变量中的矩阵信息。 如 D11, C2 = branch(TSS, d11, c2); 从系统TSS中得到矩阵 D11和C2； ag = branch(ssg, a); 从系统状态方程ssg中获取矩阵 ag。 如果想一次得到ssg中所有的矩阵, 可以输入 ag, bg, cg, dg = branch(ssg); 表 6.1 mksys命令的常见参数 3） tree 为用户提供了一个创建分层数据结构包括矩阵、 字符串甚至其它tree类型的一般工具。 例如, 如果

7、希望同时保存二输入输出系统(A, B1, B2, )、 控制器(af, bf, cf, df)、频率响应w; sv 以及这个系统的名称Aircraft Design Data, 就可以输入 fr = tree(w, sv, w, sv); DesignData = tree(plant, controller, freq, name, TSS, ssf, fr, Aircraft. Design Data); 图6.1显示了tree变量DesignData的层次结构。 图 6.1 Design Data的层次结构 为了得到tree变量DesignData第一层中的name的变量值, 可以输入

8、name = branch(DesignData, name) ans = Aircraft Design Data 在Robust Control Toolbox的函数中, 如果输入参数包含一个tree变量, 该函数能够自动检查该变量是否代表某个系统。 如果是, 那么该函数将自动将该输入变量展开, 用它代表的实际系统矩阵来替代原来的系统变量作为函数的输入参数。 例如, 下面的两行程序实际上完成相同的计算功能： hinf(TSS); hinf(A, B1, B2, C1, C2, D11, D12, D21, D22); 6.2 鲁棒控制系统概述鲁棒控制系统概述 6.2.1 奇异值、 H2和H

9、范数 假设矩阵ACmn的秩为r, 将A*A的非负方根i称为矩阵A的特征值, 其排列次序为12p, p=min(m, n)。 如果rp, 则矩阵A具有p-r个零奇异值, 即120rrp对于任何矩阵A, 有*000rAUVUV(6.1) 其中， r=diag(1, 2, , r)。 式（6.1）称为矩阵A的奇异值分解（SVD）, 其中A的最大奇异值定义为1( )A 如果矩阵A是nn的方阵, 则它的第n个奇异值, 也就是最小的奇异值， 定义为( )nA奇异值通常具有以下的性质 (1) ( )max(2) ( )min(3) ( )( )( )x Cx CiAxAxAxAxAAA 这里的i代表矩阵A的

10、第i个特征值。 11111(4),( ).()1(5),( ).()AAAAAA如果 如果 存在 存在 (6.2) (6.3) 其中属性1在鲁棒控制系统的分析和设计中很重要。 因为该属性反映了矩阵A的最大特征值与输入向量x在所有可能方向上的矩阵增益的最大值之间的关系。 对于稳定的Laplace变换矩阵G(s)Cmn, p=min(m,n)。 定义G(j)的与频率相关的H2和H范数如下： H2范数2*1(6) ()( )(7) ()( )( )(8)()niiAAABABTrace A A 1222( ()iGG jd(6.4) H范数 sup( ()GG j(6.5) 6.2.2 标准的鲁棒控

11、制问题 鲁棒多变量反馈控制系统的设计问题可以简单地描述为： 为系统设计的控制规律使得系统在环境或系统本身的不确定性影响下仍然具有指定容许误差范围内的系统响应和系统误差。 这里的不确定性包括很多方面, 但其中最重要的是指系统的外界干扰（噪声）信号和系统传递函数的建模误差。 鲁棒控制系统设计将采用H范数作为这类不确定性因素的度量。 鲁棒控制系统设计问题的一般描述如下： 假定一个多变量系统P(s), 寻找某个稳定的控制器F(s), 使得闭环系统的传递函数 满足下面的关系： i iy uT111()()inf ( )|det() )0(,)i ii ii iMy uMy uy unKTjKTITdia

12、g (6.6) 这个过程可以用图6.2来说明。 式（6.6）称为鲁棒条件。 KM称为最小不确定性的大小, 由每个频率对应的奇异值来度量。 函数KM又称为对角扰动的多变量稳定裕度（MSM）, 它的倒数用表示, 即1MK(6.7) 图 6.2 标准鲁棒控制问题的方框图 如果n不存在, 该问题又被称为鲁棒镇定问题（Robust stability problem）。 上述问题的求解涉及到的非凸优化问题, 它不能通过标准的非线性梯度下降方法计算得到, 因为此时的算法收敛性无法保证。 然而由于存在上界, 可以通过下式计算KM： 111()inf()i ii ii ii iy uy upy upMy uT

13、DTDD TDKT 其中, DpD为Perron最优增益矩阵。 D=diag|(d1I, , dnI)|dj0, 显然 也是1/KM的上界。 如果这些上界都满足鲁棒条件约束, 那么可以充分保证和KM也满足鲁棒条件约束。 i iy uT 6.2.3 结构与非结构不确定性 实际上每一个i(i=1, , n)自身都是矩阵并且代表不同种类的物理不确定性因素。 在鲁棒控制中, 这些不确定因素分为结构不确定性和非结构不确定性。非结构不确定性代表与系统频率无关的项。 例如, 驱动器的饱和特性、高频段的非建模误差或者低频段的系统扰动等等。 它们与正常系统模型的关系可以表示为()AMGGGIG (6.8) (6

14、.9) 或者写成相乘的形式 图 6.3 非结构不确定性的加法与乘法表示 结构不确定性代表系统模型中的参数变化, 例如系统传递函数中零极点位置的变化， 系统状态矩阵中系统矩阵的变化， 以及指定回路增益的变化等等。 MATLAB的鲁棒控制系统工具箱允许用户对结构和非结构不确定性进行建模, 并将它们考虑进控制器的设计过程中。 提供的各种函数和工具可以完成系统的鲁棒分析和鲁棒控制器的设计。 6.2.4 鲁棒控制分析 鲁棒分析的目的是通过某种适当的非保守分析算法来“观察”MSM矩阵。 换句话说, 我们将找出系统保持稳定状态下不确定性的上界。 其基本步骤包括： (1) 定义不确定性模型。 (2) 将不确定

15、输入（包括结构和非结构不确定性因素）写成图6.4所示的M-形式。 图 6.4 例 6.1 对非结构不确定性进行建模。 下面的传递函数代表某架飞机的动态特性。 221( )(2)G sss 如果正常的模型为 , 则 2( )1/G ss212221121( )()(2)1()( )()2AMsGGM sF IFGsssGG GM sGF IGFs 图 6.5 加法和乘法表示的不确定性的Bode图 例 6.2 结构不确定性的建模。 下面将讨论如何从状态空间的A和B矩阵中提取系统的结构不确定。 假定飞机的状态空间模型表示为： 其中, (p, r, , a, r)的初始导数定义为22()()xxxxx

16、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxII ILLNII IIII INNLII II系统状态矩阵包括111.99530.75130.02990.09060.02981.00930.15180.00600.00240.020439.8500331.900.16730.02040.2284000.17110056.89276.7840000ABCD 图 6.6 对参数不确定性的表示 由模块框图得到的状态方程为 1 122111 12221xAxBuB yyC xDuyC xD u 从而得到干扰情况下的状态方程为 221221()()xABCxBBD u222101010101001010

17、10101000000000011000000000011000000000011000000000011000000000011BCD 整个系统模型可以写成121122( )00ABBP sCDCD 使用线性分数转换函数lftf, 可以获得系统u1到y1的闭环控制反馈回路F(s)。 从系统u2到y2的传递函数是M(s)。 6.2.5 系统鲁棒分析 基于SandbergZames的小增益定理可以推出下面的标准奇异值稳定鲁棒性定理： 对于一个M-表示的系统, 如果对于任意的稳定(s)满足1( ()()jM j(6.10) 其中, 为满足R, 或者 的任意数, 则可以断定该M-系统是稳定的。 1(

18、)M j 下面来介绍多变量稳定裕度（Multivariable Stability Margin， 简称MSM）的概念： 1()inf ( )|det()00()MKMIMM其中, =diag(1, , n)。 KM与具有以下的性质： (1) KM是使得系统 不稳定的最小 (2) 如果不存在满足det(I-M)=0, 则KM=。(3) KM是M和结构的函数。(4) 对于任意的标量, 有(M)=|(M)。(5) 设为谱半径, 则(M)(M) (M)。(6) 如果=I, C, 则(M)= (M)。 1()IM( ) (7) 如果 为满秩矩阵则 。 (8) 推广的小增益定理： 如果M(s)是稳定的,

19、 并且对于所有稳定的i满足i1, 则受扰系统 (I-M)-1稳定的充分必要条件为对于任意的R, 满足KM(M(j)1。 m nC ()()MM 1981年, Safonov提出一种对角缩放的方法来计算MSM的上界, 如图6.7所示。 其基本思想是： 如果 和D是对角矩阵, =D-1 D, 而 DMD-1可能比M小得多, 那么可以得到下面表示的KM的上界111()infpppDDMMDMDD MDK(6.11) 图 6.7 对角缩放的概念 其中的DpD代表Perron最优缩放矩阵, D=diag(d1I, , dnI)|dj0。 很明显, 无缩放的奇异值稳定鲁棒性定理使用KM最保守的上界来预测M

20、SM, 而经过缩放的奇异值可能比前者准确得多。 鲁棒控制工具箱为用户提供了许多函数， 以用于计算多变量系统的结构奇异值（SSV）1/KM( )的各种上界值： (1) 奇异值： sigma和dsigma。 (2) Perron对角缩放： psv和ssv。1iy uT (3) Osborne对角缩放： osborne和ssv。 (4) 乘法缩放： muopt和ssv。 (5) 特征增益曲线： cgloci和dcgloci。 下面通过具体的例子来说明, 当我们知道更多关于 的信息后, 仍然采用奇异值进行鲁棒性分析可能会过于保守。 例 6.3 假定某个系统具有下面的传递函数2243201( )1264

21、8321232sG ssssss 在其输入端具有相乘形式描述的不确定性 , 试确定传递函数 G(I+G)-1的SSV。 解： 具体的计算程序为： num = 0 4 32; 12 64 0; 0 0 0; 0 8 32; den = 1 12 32; m = 2; n = 2;tfm = mksys(num, den, m, n, tfm); % 用分层的数据结构表示该系统ssg = tfm2ss(tfm); % 转换成状态空间形式w = logspace(-3, 3); perron = 20*log10(ssv(ssg, w); % 使用Perron特征值方法计算SSVsvmax=10*l

22、og10(max(sigma(ssg, w); % 直接计算最大的奇异值semilogx(w, svmax, k:, w, perron, k-) % 绘制二者的比较曲线ylabel(DB); xlabel(Rad/Sec);legend(Singular Value, Perron, 3) 最后得到如图6.8所示的计算结果。 图 6.8 Perron上界与奇异值的比较 6.3 鲁棒控制系统的设计方法鲁棒控制系统的设计方法 6.3.1 概述 目前发展起来的H理论、 频率加权LQG方法、 LQG回路传递恢复（LQG/LTR）和综合理论可以用来进行鲁棒控制器设计。 其中, H理论为鲁棒控制器提供了

23、直观、 可靠的设计过程, 它能最优地满足奇异值回路的要求； 频率加权LQG最优综合理论（又称为H2理论或WienerHopf理论）和LQG/LTR的设计方法虽然不是很直观, 但提供了一种迭代方法来调整奇异值Bode图曲线以满足奇异值回路的整定要求； 而综合理论在整定函数（或KM）时同时考虑鲁棒分析和鲁棒综合问题, 作为鲁棒控制系统设计工具为用户提供了最大的灵活性。 表6.2列举了以上所列方法各自的优缺点。 Robust Control Toolbox中包含了多种设计鲁棒稳定反馈控制规律的方法, 使系统满足鲁棒约束的要求 ： (1) LQG回路传递恢复（相关命令lqr、 ltru和ltry）。

24、(2) H2最优控制综合（相关命令h2lqg）。 (3) H最优控制综合（相关命令hinf、 hinfopt和linf）。 图6.9是满足 求解过程的示意图, 该问题也被称为小增益问题。 1i iy uT1i iy uT图6.9 小增益问题 表 6.2 各种鲁棒控制设计方法的比较 6.3.2 H2和H设计方法 H2和H综合方法是专门用于满足奇异值设计要求的鲁棒多变量反馈控制系统设计的强有力的工具。 MATLAB的鲁棒控制工具箱函数h2lqg、 hinf和hinfopt用来计算连续系统H2和H控制规律, 对于离散系统情况则可以使用dh2lqg、 dhinf和dhinfopt函数。 H2或H设计问

25、题可以简单地描述为： 给定系统对象P(s)的状态空间实现 121111222122( )ABBP sCDDCDD 寻找一个稳定的反馈控制规律 u2(s)=F(s)y2(s)使得闭环传递函数矩阵的范数最小1 1111122221( )( )( )( )( )( )y uTPsPsIF s PsF s Ps上述三个问题在Robust Control Toolbox中体现为(1) H2最优控制： 。(2) H最优控制： 。(3) 标准的H控制： 。 2mini iy uTmini iy uT2min(1)i iy uT 其中, 标准的H控制问题也被称为H小增益问题。 在实际运用中, H2和H综合方法

26、常常是结合起来使用的。 首先使用H2综合理论进行系统的初步设计, 然后根据初步设计得出的结果选择合适的H准则, 最后运用H综合理论完成最后的系统设计。 整个过程可以通过所谓的单参数迭代方法来具体实现。 H控制器具有以下重要的特性： (1) H最优控制中的代价函数 满足 。 (2) 由hinf计算得到的H次最优控制器与增广系统（n个状态）具有相同数目的状态变量。 而由诸如hinfopt命令产生的H最优控制器最多只有n-1个状态。 1 1y uT1 1()1,y uTR 6.3.3 奇异值回路设计： 混合灵敏方法 下面我们考虑图6.10所示的多变量反馈系统。 为了度量该系统的多变量稳定裕度和系统动

27、态属性, 可以使用从r分别到系统三个输出e、 u和y的闭环传递函数矩阵的奇异值, 即 111( )( )( )( )( )( )( )( )( )defdefdefS sIL sR sF s IL sT sL s IL sIS s(6.12)(6.13) (6.14) 其中, L(s)=G(s)F(s)。 图 6.10 多变量反馈控制系统示意图 其中的矩阵S(s)和T(s)分别称为灵敏函数和辅助灵敏函数。上述三个传递函数矩阵R(s)、 S(s)和T(s)在鲁棒多变量控制系统设计中具有重要的作用。 回路传递函数矩阵L(s)的奇异值也很重要, 因为它决定了矩阵S(s)和T(s)。 实际上S(s)是

28、从干扰d到系统输出y的闭环传递函数（参考图6.10）, 因此S(j)的奇异值决定了扰动的衰减动态特性11( ()()S jWj(6.15) 其中, |W-11(j)|是期望的扰动衰减因子。 将扰动衰减因子定义为频率的函数, 是希望在系统不同频段定义不同的扰动衰减因子。 在分别存在可加性系统扰动A和可乘性扰动M的情况下, R(s)和T(s)的奇异值Bode图可以用来度量多变量反馈设计中的稳定裕度, 如图6.11所示。 图 6.11 可加性和可乘性不确定性干扰 鲁棒定理1： 假定如图6.11所示的系统是稳定的, 不确定性A和M的初始状态为零, 定义A=0, 则系统失去稳定前最小稳定M(s)的大小为

29、1()( ()MjT j(6.16) 我们可以对可加性不确定性A作同样的分析, 并且得到A(s)与R(s)的类似结果。 鲁棒定理2： 假定如图6.11所示的系统是稳定的, 不确定性A和M的初始状态为零, 定义M=0, 则系统失去稳定前最小稳定A(s)的大小为1()( ()AjR j(6.17) 下面可以通过如下的奇异值不等式定义稳定裕度： 1213( ()()( ()()R jWjT jWj 其中, |W2(j)|和|W3(j)|分别是系统最大可加性和可乘性扰动的预期大小。 通常我们将系统所有不确定性因素的影响都写成系统虚拟的可乘性扰动M的形式。 这样, 鲁棒控制器的设计要求可以写成（如图6.

30、12所示） 1131() ,( ()()( ()iiWjT jWjS j 有趣的现象是图6.12的上半部分（0 dB线以上）满足1( ()( ()( ()( ()L jT jL jT j而图下半部分（0 dB线以下）满足 这是因为111( )( )( ) ,( ( )1( )( )( )( ),( ( )1defdefS sIL sL sL sT sL s IL sL sL s 图6.12显示可以将i(L(j)的约束边界所代表的扰动衰减和可乘性稳定裕度作为奇异值回路的设计要求。 在选择权重W1和W2时需注意, 0 dB线与W1的Bode图频率的交叉点必须位于0 dB线与W2的Bode图频率的交

31、叉点以下。 也就是说, 必须满足1113()()1WjWj图 6.12 S和T的奇异值 鲁棒控制系统的混合灵敏设计方法是一种进行多变量回路设计的直接有效的方法, 尽管它只是标准鲁棒控制问题中的一种特殊情况。 在混合灵敏问题中, 扰动衰减的期望特性和稳定裕度期望值可以写成下面的统一形式： 1 11 1131y udefy uTWSTWT(6.18) (6.19) 混合灵敏的代价函数还具有其它特殊的性质。 就鲁棒灵敏问题（参考图6.14）而言, 混合灵敏的代价函数为标准的鲁棒控制问题提供了简化得多并且几乎完全等同的描述方法。 可以证明, 如果式（6.18）的条件稍微加强一点, 即1 112y uT

32、图 6.13 混合灵敏设计问题 准鲁棒控制问题中的 可以简化为下面的形式1 1y uT1 113y uWSTIIWT对于任意的S(s)和T(s), 可以有1113332WSWSWSuIIWTWTWT图 6.14 鲁棒灵敏性问题 6.3.4 综合问题 系统综合问题的目标是寻找稳定的控制器F(s)和对角矩阵D(s), 使得1 111y uDTD(6.20) 一个系统综合问题可以描述为如图6.15所示的迭代过程。 （1） 假设D(s)=I, 使用H控制设计方法（hinf.m）将找到一个使代价函数 最小的F(s)。 1 11y uDTD图 6.15 综合问题的D-K迭代过程 （2） 固定F(s)不变,

33、 使用ssv命令寻找使代价函数最小的对角矩阵D(s)。 （3） 使用曲线拟合方法（fitd.m）找到第(2)步得到的最优矩阵D(s)的低阶有理近似描述。 （4） 如果代价函数小于1, 则迭代过程停止, 否则回到第(1)步重新执行。 综合问题从本质上可以分解为两个不同的优化问题。 对于固定的D矩阵, 该问题变成标准的H设计问题（通过hinfopt函数计算）。 而对于固定F(s)的情况,该问题就变成寻找一个稳定的D(s)来满足代价函数在每一频率处的最小性要求（相关的函数包括ssv、 psv、 perron和muopt等）。 下面的一段程序将对一个简单的系统采用综合方法进行鲁棒控制器的设计。 % 被

34、研究对象的系统参数a=2; b1=.1, -1; b2=-1;c1=1;.01; d11=.1, .2;.01, .01; d12=1; 0;c2=1; d21=0, 1; d22=3;tss=mksys(a, b1, b2, c1, c2, d11, d12, d21, d22, tss);w=logspace(-2, 1);% 进行H最优设计gam0, sscp0, sscl0=hinfopt(tss);mu0, logd0=ssv(sscl0, w);% 综合的第一次迭代计算（D为常值矩阵）ssd1, logd1=fitd(logd0, w);gam1, sscp1, sscl1=hin

35、fopt(augd(tss, ssd1);mu1, deltalogd=ssv(sscl1, w);% 综合的第一次迭代计算（D为一阶矩阵）ssd2, logd2=fitd(logd1+deltalogd, w, 1);gam2, sscp2, sscl2=hinfopt(augd(tss, ssd2); % 显示计算的结果loglog(w, max(sigma(sscl2, w)/gam2, w, ssv(sscl2, w)/gam2); 6.3.5 双线性变换与鲁棒控制系统设计 在进行系统鲁棒控制器设计的过程中, 双线性变换bilin.M有时会很有用。 使用该命令, 可以消除某些增广系统中

36、内在的病态性， 利用闭环系统的主导极点进行控制系统设计。 在H混合灵敏问题中, 如果增广系统有虚轴上的极点或零点, 如果可以设计有效的鲁棒控制器, 则该控制器在相应的虚轴位置具有临界稳定的闭环极点。 对于更为一般的情形, 如果P12(s)和P21(s)具有虚轴零点, 包括由于P(s)的状态空间实现的矩阵D12或D21不满秩而导致的处的零点, 也会发生类似的问题。 实际上, 上述问题将会导致决定H控制器的方程奇异点。 这时,鲁棒控制箱函数hinf和dhinf将会产生警告消息。 使用双线性变换可以有效地解决以上问题。 虚轴上的零极点可以通过对系统进行双线性变换加以消除, 待控制器设计完成后, 再通

37、过逆变换, 就可以得到原来系统的鲁棒控制器。 当然, 这时得到的H控制规律可能是次最优解。 通过双线性变换, H理论也可以用来控制系统的暂态行为, 如上升时间、 阻尼比和稳定时间等等。 这点在了解双线性变换的原理后自然可以明白。 双线性变换通过下面的方程将s平面上的点映射到 平面： s112spssp(6.21) 其中, p1和p2分别是s左半平面圆周的直径上的两个端点, 它被映射到 平面的虚轴。而相应的逆变换为 s112spssp (6.22) 图6.16显示了双线性变换条件下A、 B和C在两个不同平面上的对应区域。 从图中可以看出, 双线性变换具有如下的特点： (1) s平面上的圆周边界映

38、射到 平面的虚轴上。 (2) s平面上的虚轴映射到 右半平面上的圆周上。 (3) A、 B和C区域的点映射到 平面所对应的区域。 sss图 6.16 虚轴极点的双线性变换 双线性多变量前向和逆变换是变换 的特殊情况, 它可以通过下面的状态空间形式来实现zsz1111()()()()()()bbbbABAIIAIABCDCIADCAB(6.23) 现在如果系统在s平面具有虚轴极点, 双线性变换将这些点映射到 平面上以-(p1+p2)/2为中心的圆周上。 可以证明, 双线性变换中的p1参数决定了在s平面上闭环系统的主导极点的配置。 使用双线性变换设计鲁棒控制器的过程可以归纳如下： s （1） 从系

39、统模型框图中独立出系统的不确定性模块, 建立H鲁棒控制系统框图。 （2） 通过双线性变换将s平面上的系统映射到 平面上。 （3） 针对转换后的系统 设计H鲁棒最优控制器（即求解 。 （4） 通过双线性逆变换将设计好的控制器 映射回s平面。 （5） 返回步骤(1)迭代计算双线性变换的p1参数, 直到系统的动态属性满足设计要求。 ss( )min()1)F sT j( )F s6.4 鲁棒控制系统设计实例鲁棒控制系统设计实例 6.4.1 二阶系统的经典回路设计与H综合 设一个二阶系统G(s)在20 rad/s处具有0.05的阻尼。 为该系统设计控制器使系统的频率响应Bode图如图6.17所示。 在

40、50 rad/s以下, 我们希望补偿器的回路传递函数奇异值位于实线以上, 以使系统具有良好的干扰收敛性。 在200 rad/s以下, 我们则希望补偿器的回路传递函数奇异值位于实线以下, 以使系统具有较大的稳定裕度。 图 6.17 系统的经典控制设计可以分解成以下几个步骤（如图6.18所示）： (1) 加入速率反馈以提高系统阻尼比。 (2) 为满足系统高频特性设计控制器或调整控制器参数（频率裕度等）。 (3) 为满足系统低频特性设计控制器或调整控制器参数（扰动衰减、 DC增益等）。 经典控制设计的结果如图6.19所示。 图 6.18 经典回路设计框图 图 6.19 经典回路设计结果的频率响应Bo

41、de图 下面介绍使用H方法来为系统设计控制器。 首先利用数值鲁棒的描述符二阶Riccati公式计算所谓H小增益问题。 在这个例子中, 系统的频率设计要求可以用两个权重描述： 21111322(0.21)40000100(0.0051)sWWss 图6.20显示了=1的情况, 而图6.21显示了其它不同值的结果。 很明显, =3.16将达到最优值。 W1的参数将是唯一需要迭代计算的参数。 我们可以利用鲁棒控制工具箱中的hinfopt完成这一迭代计算的工作。 以下是具体的程序代码： nug = 400; dng = 1 2 400; ag, bg, cg, dg = tf2ss(nug, dng)

42、; % 将系统传递函数转换成状态空间形式 ssg = mksys(ag, bg, cg, dg); % 建立系统的分层数据结构描述 w1 = 2.5e-5 1.e-2 1;0.01*4.e-2 4.e-1 1; w2 = ; w3 = 1 0 0;0 0 40000;TSS = augtf(ssg, w1, w2, w3); % 创建增广系统ssf, sscl = hinf(TSS); % 设计H控制器 图 6.20 二阶系统设计的H加权方法 图 6.21 二阶系统的H结果 下面显示的是程序执行后MATLAB命令窗口的输出信息, 它对应于=1时的H控制规律的计算。 Computing the

43、4-block Hinf optimal controller using the SLC loopshifting/descriptor formulaeSolving for the Hinf controller F(s) using U(s)=0 (default)Solving Riccati equations and performing Hinfinity existence tests: 1. Is D11 small enough? OK 2. Solving statefeedback (P) Riccati . a. No Hamiltonian jwaxis root

44、s? OK b. AB2*F stable (P=0)? OK 3. Solving outputinjection (S) Riccati . a. No Hamiltonian jwaxis roots? OK b. AG*C2 stable (S=0)? OK 4. max eig(P*S)1? OK- all tests passed computing Hinf controller . DONE! - 如果要设计最优H控制规律, 则可以将上述程序的最后一行替换成 rhoopt, ssf, sscl = hinfopt(TSS, 1);下面显示的是迭代的输出结果： No Gamma

45、D11=0 S-Exist S=0 1am(PS)1 C.L. - 1 1. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 2 2. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 3 4. 0000e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 4 3. 0000e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 5 3. 5000e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 6 3. 2500e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 7 3. 1250e+000 OK OK OK OK OK OK

46、 STAB 8 3. 1875e+000 OK OK FAIL OK OK OK UNST 9 3. 1563e+000 OK OK OK OK OK OK STAB 6.4.2 双积分系统的H鲁棒设计 在实际工程中经常会遇到包含双积分器环节的系统, 该系统可以通过鲁棒混合灵敏控制器加以镇定。 然而, 由于双积分会给系统带来虚轴极点, 因此在设计过程中需要结合双线性变换。 设计步骤如下： （1） 对双积分器系统对象G(s)=(ag, bg, cg, dg)进行式（6.11）的双线性变换, 其中p2=, p10。 （2） 对转换后的系统设计标准的混合灵敏H控制器 。 （3） 通过双线性逆变换将控

47、制器 映射回F(s)。 例如, 某个惯性系统的传递函数为 ( )F s( )F s21( )G sJs 其中, J=5700表示系统的转动惯量。 系统设计的要求是寻找一个具有10 rad/s带宽的稳定控制器F(s)。 该混合灵敏问题可以描述为111( )3()min1()F sW IGFW GF IGF(6.24) 虚轴极点的缺陷可以通过双线性变换加以解决, 但在系统无穷远处仍然具有两个零点, 该零点也位于虚轴上。 我们可以通过巧妙设计权重以避免这个问题23( )100sW s 该双微分器使得系统在无穷远处仍然是满秩的, 而且作为辅助灵敏加权函数将系统带宽约束到10 rad/s处。 我们将如下

48、的二阶W1的权重作为系统设计的调节参数： 2211222(2( )(2)ccccassW sss 相关的参数设置如下：=100： 过滤器的DC增益（控制扰动的衰减过程）。=2/3： 高频增益（控制系统的最大超调量）。c=3： 过滤器的穿越频率。1, 2=0.7： 拐角频率处的阻尼比。具体设计程序代码如下： ag, bg, cg, dg = tf2ss(1/5700, 1 0 0);% 进行双线性变换ag0 = ag + 0.1*eye(size(ag);w2 = ; w3 = 1 0 0;0 0 100;beta = 100; alfa = 2/3; w1c = 3;zeta1=0.7; zeta2=0.7;w1 =beta*alfa 2*zeta1*w1c*sqrt(a