§7.4--一阶线性微分方程

1、整理课件1)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为上方程称为一阶线性一阶线性齐次方程齐次方程.上方程称为上方程称为一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程., 0)( xQ当当一、线性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.7.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程整理课件2. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程线性

2、齐次方程一阶线性微分方程的解法一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法使用分离变量法)整理课件3).(2ln)2()()(120 xfdttfxfxfx，求求满满足足关关系系式式、若若连连续续函函数数例例 2)()( xfxf解：解：yy2 02 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 则则整理课件42. 线性非齐次方程线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论讨论: 设设y=f(x)是解是解, 则则,)()()()()(dxxPxfxQxfxdf 变形变形积分积分,)()()()(ln dxxPdxxfxQxf,)()()()( dxxpdx

3、xfxQeexf非齐方程通解形式非齐方程通解形式).()()()(xQxfxPdxxdf ,)()()( dxxfxQexc记记 dxxpexcxfy)()()(整理课件5常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. .设解为设解为 dxxPexcy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxcexcy)(xcC 得得)()(xQyxPdxdy 代代入入原原方方程程和和将将yy ),()()(xQexcdxxP ,)()()(CdxexQxcdxxP 积分得积分得)()()(CdxexQeydxxPdxxP 非齐方程通解

4、非齐方程通解整理课件6一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:)()()(CdxexQeydxxPdxxP dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解对应齐次方程通解与对应齐次方程通解与非齐次方程特解非齐次方程特解之和。之和。.0)()()(的的解解的的任任意意两两解解之之差差是是证证明明 yxPdxdyxQyxPdxdy的通解是的通解是)()(xQyxPdxdy 整理课件7.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin

5、Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例2 2整理课件8的的通通解解。、求求方方程程例例0)12(2)1(322 dyxyydxy)1(21422yyxyydydx 解解)1(22214214cdyeyyexdyyydyyy )ln2()1(1222cyyy 整理课件9例例4 4 如图所示，平行与如图所示，平行与 轴的动直线被曲轴的动直线被曲 线线 与与 截下的线段截下的线段PQ之之长数值上等于阴影部分的面积长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得两边

6、求导得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 整理课件10 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 整理课件11).(. 1)(lim), 0()(, 0)()(01.02xfxfxfzdxdyedzdxxxyfdydzxxfsxxsx求求且且内内具具有有连连续续一一阶阶导导数数，在在其其中中函函数数，都都有有面面内内任任意意光光滑滑有有向向封封闭闭曲曲设设对对于于半半空空间间练练习习 dvexxfxfxfxzdxdyedzdxxxyfdydzxxfvxsx)

7、()()()()(22 解解：0 0)()()(2 xexxfxfxfx则则xexxfxxf21)()11()( 1)()11(2)11(cdxeexexfdxxxdxx 整理课件1212cdxxeexxexxx cexexx 1lim)(lim200 xceexfxxxx0)(lim20 xxxcee1 c)1()( xxexexf整理课件13解解yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 练习练习2.求微分方程求微分方程

8、 的通解的通解.yxyyyysin2sincoscos 整理课件14伯努利伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程方程为非线性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程 时时，当当1 , 0 n时时，当当1 , 0 n解法解法: : 经过变量代换化为线性微分方程经过变量代换化为线性微分方程.整理课件15,1 nyz 令令),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将求出通解后，将 代入即得代入即得nyz 1，得，得两端除以

9、两端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn),()(1111xQyxPdxdynnn 即即整理课件16.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解解得得.224 Cxxy即即解解，得，得两端除以两端除以y例例 4 1)整理课件17;22)222xxexyyy 解解22222,2xxxexydxdyxexydxdyy ,2yz 令令,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为所求通解为).2(222Cxeyx .0)ln1(3的的通通解解再再求求方方程程 dxxxyyxdy整理课件18;)(sin1)152xyxyxdxdy 例例解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cx