高等数学随堂讲义一般周期函数的傅里叶级数

1、第八讲第八讲 一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以一、以2 2l l为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以一、以2 2l l为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式周期为周期为 2 2l l 函函数数 f f ( (x x) )周期为周期为 2 2 函数函数 F F( (z z) )变量变量代换代换将将F F( (z z) ) 作傅作傅氏展开氏展开 f f ( (

2、x x) ) 的傅氏的傅氏展开式展开式研究研究思路思路具体具体作法作法( ):f xlxl 11xl xl 令令xzl lzx ( )( )lzf xfF zz 01( )cossin2nnnaF zanzbnz d1( )cos(0,1,2)naF znz z n d1( )sin(1,2)nbF znz z n xzl lzx ( )( )lzf xfF zd1( )cos(0,1,2)naF znz z n d1( )sin(1,2)nbF znz z n d1( )cos(0,1,2)naF znz z n ( )f xddzxl cosn xlzxl zxl1lnlal dx(0,1

3、,2)n 同理可同理可得得d1( )sin(1,2)lnln xbf xx nll 设周期为设周期为2 2l l 的周期函数的周期函数 f f ( (x x) )满足收敛定理条件满足收敛定理条件, ,则它的傅里叶则它的傅里叶展开式为展开式为 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf( (在在 f f ( (x x) ) 的连的连续点处续点处) )naxlxnxflbllndsin)(1 其其中中l1xlxnxflldcos)( ),2, 1,0(n),2, 1(n定定理理1)(nnbxflxnsin2)(0axf1nnalxncos).()(21xfxf在在 f f ( (x x)

4、) 的间断点的间断点 x x 处处, , 傅傅里叶级数收敛于里叶级数收敛于: :如果如果 f f ( (x x) ) 为奇函数为奇函数, , 则在则在f f( (x x) )的连续点处的连续点处: : l注注d02( )sin(1,2,)lnn xbf xx nll 如果如果 f f ( (x x) ) 为偶函数为偶函数, , 则在则在f f( (x x) )的连续点处的连续点处: : d02( )cos(0,1,2)lnn xaf xx nll u例例1 1 设设 f f ( (x x) ) 是周期为是周期为4 4的周期函数的周期函数, ,它它在在2,-2)2,-2)上的表达式为上的表达式为

5、: :将将 f f ( (x x) )展开成傅展开成傅里叶级数里叶级数. .u例例2 2,022( )(),22pxlxM xp lxlxl 将将MM ( (x x) )分别展开成正弦分别展开成正弦级数和余弦级数级数和余弦级数. . 2002, 0)(xhxxf( (常常数数)0 h一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以一、以2 2l l为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式二、傅里叶级数的复数形式一般周期函数的傅里叶级数一般周期函数的傅里叶级数一、以一、以2 2l l为周期的函数的傅里叶展开为周期的函数的傅里叶展开二、傅里叶级数的复数形式二、

6、傅里叶级数的复数形式周期为周期为2 2l l的傅的傅里叶级数里叶级数 10sincos2nnnlxnblxnaaittitititit2eesin,2eecos 欧拉公式欧拉公式: : 10)ee (2)ee (22nlxnilxninlxnilxninibaa 10e2e22nlxninnlxninnibaibaa0cncnc nlxnince 10sincos2nnnlxnblxnaa nlxnince2nnnibac llllxlxnxflixlxnxfldsin)(dcos)(121 llxlxnilxnxfldsincos)(21lxnie 2nnnibac ), 3 , 2 , 1( n lllxnixxflde )(21), 3 , 2 , 1( n)3 , 2 , 1(de )(21 nxxflclllxninx xO Oy y 10sincos2nnnlxnblxnaa nlxnince)3 , 2 , 1(de )(21 nxxflclllxnin傅里叶级数的傅里叶级数的复数形式复数形式u例例3 3T把把宽宽为为, 高高为为, h周期周期为为的矩