五节无穷小与无穷大ppt课件

1、第五节第五节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大 一、无穷小一、无穷小 二、无穷大二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系 四、小结四、小结一、无穷小一、无穷小1、定义、定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, ,那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记

2、作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn留意留意1无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2零是可以作为无穷小的独一的数零是可以作为无穷小的独一的数.2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)

3、(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是当当0 xx 时时的的无无穷穷小小.意义意义1将普通极限问题转化为特殊极限问题将普通极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);).(,)()(20 xAxfxxf 误误差差为为式式附附近近的的近近似似表表达达在在）给给出出了了函函数数（ 3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在

4、同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证,时时的的两两个个无无穷穷小小是是当当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时时恒恒有有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 , )(0 x留意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小留意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1, .11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0

5、, 0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0, 0, 0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小二、无穷大二、无穷大定

6、义定义2 2 设设函数函数)(xf在在0 x某某一一去去心心邻域邻域内内有有定定义义 （或或x大大于于某某一一正数正数时时有有定义定义） 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数M( (不不论它多么大论它多么大),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不使得对于适合不等式等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf总总满足不等式满足不等式 Mxf )(, , 则称函数则称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷大时为无穷大, ,记作记作 ).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或 绝对值无限增大的

7、变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或留意留意1无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（ xfxxxxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1( kkxk取取,22)( kxy

8、k.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2( kkxk取取, kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，.11lim1 xx证证明明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只只要要,1M 取取,110时时当当Mx .11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为

9、无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒恒有有时时使使得得当当.)(1 xf即即.)(1,0为为无无穷穷小小时时当当xfxx . 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反反之之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为为无无穷穷大大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论, ,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. .四、小结四、小结1、主要内

10、容、主要内容: 两个定义两个定义;四个定理四个定理;三个推论三个推论.2、几点留意、几点留意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1 无穷小无穷小 大是变量大是变量,不能与很小大的数混不能与很小大的数混淆，零是独一的无穷小的数；淆，零是独一的无穷小的数；2 2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小；3 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思索题思索题若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.思索题解答思索题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空题一、填空题: :1 1、 凡无穷小量皆以、 凡无穷小量皆以_为极限为极限. .)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是无穷小是无穷小则则是无穷大是无穷大若若、在同一过程中、在同一过程中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷