数理统计2学习教案

1、数理统计数理统计(sh l tn j)2第一页，共57页。 一、随机变量(su j bin lin)的定义 二、离散(lsn)型随机变量及其分布 三、几种(j zhn)常见的分布 四、随机变量函数的分布随机变（向）量及其分布随机变（向）量及其分布第1页/共57页第二页，共57页。 设随机(su j)试验的样本空间 一.随机变量(su j bin lin)及其分布R)(,上的实值单值函数，是定义在样本空间 我们不仅关心 取什么值，更关心它取值的概率大小。例如希望知道集)( xxx)()(:的概率，其中X 是任一实数。因为我们只在事件上定义了概率，讨论 概率，当然要求是事件，即x)(x)(Fx )

2、(第2页/共57页第三页，共57页。定义(dngy)1是定义在是定义在 上的单值实函数，如果对任一实数上的单值实函数，如果对任一实数 x，Fx )()(设设PF,为一个概率空间，为一个概率空间，则称则称 为随机变量。为随机变量。)( 1.随机变量(su j bin lin)第3页/共57页第四页，共57页。随机变量通常(tngchng)用大写字母X,Y,Z或希腊字母,等表示 而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母 等.zyx,第4页/共57页第五页，共57页。2 2、分布函数、分布函数(hnsh)(hnsh)的概念的概念)( x定义(dngy)1设设 是一个随机变量，是一个随机变量，Xx是

3、任意实数是任意实数, ,称函数称函数为为 的的分布函数分布函数。X上的概率上的概率(gil).(gil).)()(12xFxF 21xXxP 12xXPxXP )(xXPxF xxX 分布函数分布函数)(xF,(x 的值就表示的值就表示 落在区间落在区间X第5页/共57页第六页，共57页。分布分布(fnb)(fnb)函数的另一种定义是：称函数的另一种定义是：称,)(xXPxF)( x为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变量为随机变量的分布函数。两种定义对于离散型随机变量有影响有影响(yngxing)(yngxing)，此种定义给出的分布函数是左连，此种定义给出的分布函数是左连续的，前一

4、种是右连续的。对于连续行随机变量的分布续的，前一种是右连续的。对于连续行随机变量的分布没有任何影响没有任何影响(yngxing)(yngxing)。)()(12xFxF 21xXxP12xXPxXP第6页/共57页第七页，共57页。1 1）非降函数）非降函数(hnsh)(hnsh)，即，即; 0)(lim)( xFFx)()0(xFxF12()()F xF x若若 ，21xx 则则1)(lim)( xFFx2 2） 1)(0 xF)(,)(xFxF则则若若具具有有以以上上三三个个性性质质一一个个函函数数布布函函数数。必必为为某某个个随随机机变变量量的的分分xxX 3 3） 右（左）连续右（左）

5、连续)(xF)()0(xFxF第7页/共57页第八页，共57页。 bXaP00 xXPxXP 0 xXP 0 xXPaXPbXP )()(aFbF 1.1.2.2. 0 xXP3.3.4.4.10 xXP )(1100 xFxXP （2 2）分布函数）分布函数(hnsh)(hnsh)是一个普通实值函数是一个普通实值函数(hnsh)(hnsh)（1 1）分布函数完整描述）分布函数完整描述(mio sh)(mio sh)了随机变量的统计规律性了随机变量的统计规律性)0()(00 xFxF)0(10 xF第8页/共57页第九页，共57页。5.5.随机变量随机变量(su j bin (su j bin

6、 linlin) )的分类的分类 例如(lr)：“抽验一批产品中次品的个数”，“电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数”等1）离散(lsn)型随机变量2）连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如：“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值有无穷多，充满一个或几个区间第9页/共57页第十页，共57页。定义定义(dngy) (dngy) 若随机变量X 的全部(qunb)可能取值是有限个或无限可列多个无限可列多个, ,则称此随机变量则称此随机变量(su j bin (su j bin linlin) )是离散型随机变量是离散型随机变量(su j bin lin(su j bin l

7、in) )。例例 扔一均匀硬币三次，出现正面的次数扔一均匀硬币三次，出现正面的次数 3 , 2 , 1 , 0)( XeX离散型随机变量第10页/共57页第十一页，共57页。分布律也可用如下表格的形式分布律也可用如下表格的形式(xngsh)(xngsh)表示表示), 2 , 1( k定义定义 设随机变量设随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为,kx取取各各个个可可能能值值的的概概率率为为X,kkpxXP 满足kp; 0)1( kp1(2)1;kkp则称pk为离散型随机变量(su j bin lin)X的概率分布或分布律。Xkp1x2x1p2pkxkp第11页/共57页第十二页，共57页。

8、常用(chn yn)的离散型随机变量1. (01)1. (01)分布分布(fnb)(fnb)定义定义 若随机变量若随机变量(su j bin lin)X (su j bin lin)X 的分布律为的分布律为1 , 0,)1 (1xppxXPxx)10( p）分分布布。为为参参数数的的（服服从从以以则则称称10 pX0 1X只能取两个值: ，（0101）分布的分布律也可写成）分布的分布律也可写成Xkp01p 1p011Xpp第12页/共57页第十三页，共57页。X定义：如果 的分布律为 xXPknCxnxpp)1 (nx, 2 , 1 , 0的的二二项项分分布布服服从从参参数数为为称称pnX,)

9、,(pnbX记记为为,1, 10pqp 第13页/共57页第十四页，共57页。P Xk= = =( )Xp p l lX称称 服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布, ,记为记为其中其中 是常数是常数, ,0 !kekl ll l- -,2,1,0 k若随机变量若随机变量 的分布律的分布律X第14页/共57页第十五页，共57页。泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学(zrnkxu)(zrnkxu)的某些问题中都占有重要的地位。的某些问题中都占有重要的地位。泊松分布泊松分布(fnb)(fnb)的应用的应用 排队问题排队问题(wnt)(wnt)：在一段时间内

10、窗口等待服务的：在一段时间内窗口等待服务的顾客人数顾客人数 生物存活的个数生物存活的个数( ).Xp lp l 放射的粒子数放射的粒子数( ).Xp lp l( ).Xp lp l第15页/共57页第十六页，共57页。解6121311Xkp02求分布函数求分布函数)(xF)(xXPxF 当当 时时, , 0 x xX0)( xF当当 时时, , 10 x)(xXPxF 0 XP31 当当 时时, , 21 x )(xF6131 )(xF121 10 XPXP21 XPXP0 XP时时当当2 x已知随机变量已知随机变量 的分布律的分布律X第16页/共57页第十七页，共57页。 21:XPeg31

11、)21( F 2321XP)21()23(FF 31XP1)1()3( XPFF32 )(xF0,0 x2, 1 x21,2/1 x10,3/1 x合并合并(hbng)可得可得613121 第17页/共57页第十八页，共57页。图形图形(txng)特点：特点：阶梯状阶梯状、右连续右连续(linx)6121)(xF2131610121x 2 XP 1 XP 0 XP非降函数非降函数(hnsh)、31不难看出，不难看出，F(x) 的图形是阶梯状的图形，在的图形是阶梯状的图形，在 x=0，1，2 处有跳跃，其跃度分别等于处有跳跃，其跃度分别等于 PX=0 , PX=1 , PX=2第18页/共57页

12、第十九页，共57页。一、定义一、定义(dngy)(dngy)其中被积函数其中被积函数 , ,0)( tf称称 为为概率密度函数概率密度函数 或或 概率密度概率密度。)(tf xdttfxF)()(如果随机变量如果随机变量 的分布函数为的分布函数为X则称则称 为为连续型连续型随机变量随机变量X第19页/共57页第二十页，共57页。对于对于(duy)连续型随机变量，连续型随机变量，改变改变 在个别点上的函数值不会改变在个别点上的函数值不会改变 的取值的取值)(xF)(xf同同。在在个个别别点点的的值值可可以以不不相相)(xf)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00，的

13、的概概率率必必为为取取任任何何常常数数值值连连续续型型0.aXvr0 aXP)()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP第20页/共57页第二十一页，共57页。1.1.0)( xf2.2. 1)(dxxf面积(min j)为1o o)(xfx bXaP3.3.)()(aFbF dxxfba)( ab4. 4. 在 的连续点 处，则 )(xfx)()( xfxF 5. 0P Xa第21页/共57页第二十二页，共57页。 ，的密度函数为若已知连续型随机变量xfX取值的概率为，也可以是无穷区间）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,GGX GdxxfGXP

14、)()(bXaPbXaP)(bXaP对连续型 r.v X,有)(bXaP第22页/共57页第二十三页，共57页。xF xxxx20,0,( ),01,1,1, 试求试求: :75. 025. 0 XP2)2)解解 1)1)连续型随机变量连续型随机变量 的分布的分布(fnb)(fnb)函数函数X3) 43) 4次独立观察次独立观察 , ,求求3 3次落入次落入(0. 25,0.75) X)(xf1) 1) 概率密度概率密度中的概率(gil).)( )(xFxf 2 ,01( )0 xxf x 其其它它第23页/共57页第二十四页，共57页。 75. 025. 0XP2)5 . 0)(75. 02

15、5. 0 dxxf 75. 025. 0XP或或5 . 0)25. 0()75. 0( FF)21, 4( bY 3YP设设 表示表示 落入落入 内的次数内的次数3)3)YX)75. 0,25. 0(则则21)21(334 C41 2 ,01( )0 xxf x 其其它它第24页/共57页第二十五页，共57页。几种(j zhn)常见的分布)(xfab一、均匀分布 其它其它, 0,1)(bxaabxf0,( )( ),1,.xxaxaF xf t dtaxbbaxb ，分布分布(fnb)(fnb)函数为函数为: :1.1.若若X的概率密度为的概率密度为 则称则称 服从服从( (a,b) )上的上

16、的均匀分布均匀分布，记作，记作X),(baUX第25页/共57页第二十六页，共57页。0244),5 , 0(2 XttUX求一元二次方程求一元二次方程设设有有实实根根的的概概率率。有有实实根根方方程程02442 Xtt032)42 X（22 X22 XP 22 PXX 22 XPXP 其他其他05051)(xxf5215dx525 例例3解解第26页/共57页第二十七页，共57页。 000)(xxexfx 0 0, 00,1)(xxexFx 0 x)(xf 若若 随机变量随机变量 具有概率密度具有概率密度X则称则称 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. . X记为 )( EX 的分布

17、函数的分布函数X第27页/共57页第二十八页，共57页。(2)(2)已知该电子元件已使用已知该电子元件已使用(shyng)(shyng)了了1.51.5年，求它还能使年，求它还能使用用(shyng)(shyng)两两解33,0( )0,0 xexf xx362(1)23xp Xedxe3.5,1.51.5p XXX 5 . 15 . 32XXP 电子元件的寿命电子元件的寿命(shumng)X(shumng)X(年）服从参数为年）服从参数为3 3的的指数分布指数分布(1)(1)求该电子元件寿命求该电子元件寿命(shumng)(shumng)超过超过2 2年的概率。年的概率。年的概率为多少？年的概

18、率为多少？33.531.533xxedxedx6e第28页/共57页第二十九页，共57页。1/101020X例5 设打一次电话所用的时间（单位：分钟）是以为参数的指数随机变量如果某人刚好在你前面走进公用电话间，求你需等待分钟到分钟之间的概率解的密度函数为X 00010110 xxexfx 1020P BPX令：B= 等待时间为10-20分钟 201010101dxex21ee2325. 0第29页/共57页第三十页，共57页。222)(21)( xexf x,0 且且,为为常常数数和和其其中中 和和的正态分布, 或高斯分布.),(2 NX)(xf所确定的曲线称为正态曲线若X具有(jyu)概率密

19、度 则称 服从参数为X记为第30页/共57页第三十一页，共57页。条关于 对称的钟形曲线. 特点(tdin)是:正态分布的密度(md)曲线是一决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度的中心位置“两头小,中间大,左右对称”第31页/共57页第三十二页，共57页。, ),(2 NX若若 xdtexFxt,21)(222)( 标准(biozhn)正态分布10 ,的正态分布称为(chn wi)标准正态分布.其密度函数和分布函数常用 和 表示)(x )(x xexx,21)(22 的分布函数是X第32页/共57页第三十三页，共57页。)(1)(xx xx; 5 . 0)0( 查查用用，的的值值已已经经编编成成

20、了了表表可可供供)(x )96. 1( 例例)96. 1(1 025. 0975. 01 )(x dtexxt 2221)( P aXb)1, 0( NX若 ,)()(ab 第33页/共57页第三十四页，共57页。 XY则 N (0 , 1) 设 ,),(2 NX),(2 NX若P aXbb aP Xa1P Xa 1a P Xaa xx1第34页/共57页第三十五页，共57页。车门(chmn)高度应如何确定? 公共汽车车门公共汽车车门(chmn)(chmn)的高度是按男子与车门的高度是按男子与车门(chmn)(chmn)碰头机会碰头机会在在0.010.01以下来以下来(xi li)(xi li

21、)设计的设计的, , 由由 01. 0 hXP0.99P Xh170 /6h 1702.336h99. 0 9901. 0)33. 2( 99. 0 170 13.98h184 设男子身高设男子身高 问问 2(170, 6 ),XN解: 设车门高度为 厘米,h第35页/共57页第三十六页，共57页。)3(规规则则 , ),(2 NX设设3 XP求求333 XPXP)3()3( )3()3( 9974. 0 解解: :落在 以外的概率可以忽略不计. )3,3(1)3(2 第36页/共57页第三十七页，共57页。也是一个随机变量则Y xgyYxX取值时，取值当的函数，是是一随机变量，设XYX ,X

22、gY 本节的任务就是： 的分布要求随机变量，的分布，并且已知已知随机变量YXgYX(分布分布(fnb)律或分布律或分布(fnb)密度）。密度）。第37页/共57页第三十八页，共57页。当当X为离散为离散(lsn)型随机变量时，型随机变量时， ,XgY 也是离散也是离散(lsn)型型随机变量。随机变量。求求Y的的分布律是容易的。分布律是容易的。并且在并且在 X 的分布律已知的情况下，的分布律已知的情况下，第38页/共57页第三十九页，共57页。, 2 , 1kxgk互不相等互不相等(xingdng)时，则事件时，则事件 kkxXxgY由由kkkpppPxxxX2121kkkpppPxgxgxgY

23、2121)()()(2、当、当 jixgxgji则把那些相等则把那些相等(xingdng)的值合并起来的值合并起来并根据概率并根据概率(gil)的可加性把对应的概率的可加性把对应的概率(gil)相加得到相加得到Y的分布律。的分布律。第39页/共57页第四十页，共57页。例1 设随机变量设随机变量 的分布律为的分布律为X131 XZ）求求（的分布律的分布律4 . 02 . 01 . 01Xkp0213 . 0 2ZP213 XP4 . 02 . 01 . 041723 . 0Zkp1 . 01 XP 1ZP113 XP4 . 00 XP 4ZP413 XP2 . 01 XP 7ZP713 XP3

24、 . 02 XP解第40页/共57页第四十一页，共57页。的的可可能能取取值值为为Y4, 1 , 0 0YP 1YP 4YP解解 0)1(2 XP2 . 01 XP4)1(2 XP1 XP1 . 00 XP1)1(2 XP2 XP7 . 04 . 02 . 01 . 01Xkp0213 . 0 21)2( XY求求的分布的分布(fnb)(fnb)律。律。7 . 01 . 02 . 04Ykp10所以所以(suy)第41页/共57页第四十二页，共57页。 ，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX 也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY 的密度函数我们要求的是yfXgYYYg X先求的分布

25、函数Yg X利用的分布函数与密度函数之间的关系随机变量随机变量(su j bin lin)。 yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()( yFyfXgYYY的密度函数求第42页/共57页第四十三页，共57页。例例2 设设 X 的概率密度为的概率密度为 其它其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y = 2 X+8 的概率密度的概率密度( )( )YYdFyfydy 解解 设设Y 的分布的分布(fnb)函数为函数为 )(yFYyYP 82yXP 8 /2P Xy)(yFY8 /2XFy8122Xyf168 y8, 816320 ,yy其它第43页/共57页第四十四页，共57页。 )(xfX的

26、概率密度的概率密度求求XeY 例例3 3 设设 X 的概率密度的概率密度XeY ）（4, 1 e,1时时当当 y )(yFY,4时时当当ey )(yFY解解 由题意由题意(t y)(t y)可知可知的取值范围的取值范围(fnwi)为为其它其它, 040,8 xxyYP 0yYP 1,14时时当当ey )(yFYlnyXP yXdxxfln)(yYP yePX 第44页/共57页第四十五页，共57页。设设 X 具有概率密度具有概率密度 , 求求 的概率密度的概率密度)(xfXyXyP 求导可得求导可得 )(yfY)(yYPyFY 2yXP )()(yFyFXX 例4 2XY 解解 )()(yFx

27、FYXYX和和的的分分布布函函数数分分别别为为和和设设2XY 0,0时时当当 y0)( yFY,0时时当当 y0,0 ydyydFY)( 0,)()(21 yyfyfyXX第45页/共57页第四十六页，共57页。 . 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY 其概率密度为：其概率密度为：.,21)(22 xexx 则则 Y = X 2 的概率密度为：的概率密度为： 1 , 0 NX分布。的服从自由度为此时称21Y第46页/共57页第四十七页，共57页。维维随随机机变变量量n设 是定义在概率空间 11( ),( )nnXXXX维随机变量。维随机变量。为为则称（则称（个随机变量个随机变量的的

28、nXXnn),1元函数元函数个实数个实数对于任意对于任意nxxnn,1111(,),nnnF xxP XxXx的分布函数。的分布函数。称为（称为（),1nXX (, , )PF第47页/共57页第四十八页，共57页。如果用平面如果用平面(pngmin)上的点上的点 (x, y) 表示二维表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的取值落入图所示角形区域(qy)的概率的概率.(x, y)xy(,) ( , ),F x yP Xx Yy第48页/共57页第四十九页，共57页。 的二维正态分布，记为 ),(YX221211(, )exp2(1)21f xy 222221212121)()(2)(yyxx,2121120 ,0 ,11 ),(YX ,2121),(),(222121 NYX定义定义(dngy) (dngy) 若二维随机变量若二维随机变量的概率密度为的概率密度为其中其中(qzhn(qzhng)g)都是常数都是常数(chngsh),(chngsh),且且，则称，则称服从参数为服从参数为第49页/共57页第五十页，共57页。第50