数模竞赛中的统计方法选讲学习教案

1、会计学1数模竞赛中的统计数模竞赛中的统计(tngj)方法选讲方法选讲第一页，共41页。一个一个(y )原理原理两个特征两个特征三个分布三个分布第1页/共41页第二页，共41页。考察频率分布可知，当试验次数越来越多时，频率也就会越来越稳定于某个数，这就是说，考察频率分布可知，当试验次数越来越多时，频率也就会越来越稳定于某个数，这就是说，某一测量结果出现的次数与测量总次数之比会逐渐稳定于某个值，该值就是该试验结果的某一测量结果出现的次数与测量总次数之比会逐渐稳定于某个值，该值就是该试验结果的概率。从频率分布曲线图上也可看出概率。从频率分布曲线图上也可看出(kn ch)(kn ch)，当，当nn，组

2、距，组距00时，随机样本的频率密度分布就时，随机样本的频率密度分布就会成为一条连续的曲线。若该曲线以会成为一条连续的曲线。若该曲线以y = f(x)y = f(x)表示，则表示，则f(x)f(x)就称为就称为x x的概率密度函数。的概率密度函数。第2页/共41页第三页，共41页。第3页/共41页第四页，共41页。第4页/共41页第五页，共41页。第5页/共41页第六页，共41页。第6页/共41页第七页，共41页。其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从服从(fcng)参数为参数为 ,2的正态分布的正态分布,记为记为N(, 2)，可表为，可表为XN(, 2).若随机变量(su j bi

3、n lin)2221( )2xXf xex 第7页/共41页第八页，共41页。 (1) 单峰对称 密度曲线(qxin)关于直线x=对称；f()maxf(x) . 21正态分布有两个正态分布有两个(lin )特性：特性：第8页/共41页第九页，共41页。(2) 的大小直接影响概率的分布越大，曲线越平坦，越小，曲线越陡峻，正态分布也称为(chn wi)高斯(Gauss)分布第9页/共41页第十页，共41页。4.标准正态分布 参数(cnsh)0，21的正态分布称为标准正态分布，记作XN(0, 1)。第10页/共41页第十一页，共41页。.,21)(22 xexx 分布函数分布函数(hnsh)表示为表

4、示为 xdtexXPxxt,)(2212 其密度函数其密度函数(hnsh)表示为表示为第11页/共41页第十二页，共41页。一般的概率一般的概率(gil)统计教科书均附有标准正态分布统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅表供读者查阅(x)的值。如，若的值。如，若ZN（0，1）,（0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若若XN( , 2)，则则).()( xxXPxF第12页/共41页第十三页，共41页。设设 X X N(N( , , 2 2),),则则PP -3-3 XX3 |3 的值的值

5、. .如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3作两条线，当生产过作两条线，当生产过程程(guchng)(guchng)的指标观察值落在两线之外时发出警报的指标观察值落在两线之外时发出警报. .表明生产表明生产出现异常出现异常. .第13页/共41页第十四页，共41页。459362624542509584433748815505612452434982640742565706593680926653164487734608428115359384452755251378147438882453886265977585975564969751562895477160940

6、2960885610292837473677358638699634555570844166061062484120447654564339280246687539790581621724531512577496468499544645764558378765666763217715310851附附:100次刀具故障记录次刀具故障记录(jl)(完成的零件数完成的零件数)第14页/共41页第十五页，共41页。MATLAB 统计统计(tngj)工具箱工具箱 a,b=hist(x,9); a=a/length(x); bar(b,a); 第15页/共41页第十六页，共41页。MATLAB 统计统计(

7、tngj)工具箱工具箱 要对一组样本进行正态性检验要对一组样本进行正态性检验(jinyn)，在，在MATLAB中，一种方法是用中，一种方法是用normplot画出样本，如果都分布在一条直线上，则表明样本来自正态分布，否则是非正态分布。画出样本，如果都分布在一条直线上，则表明样本来自正态分布，否则是非正态分布。normplot(x)第16页/共41页第十七页，共41页。MATLAB中也提供了几种更正式的检验方法：中也提供了几种更正式的检验方法： 1、函数、函数 kstest：Kolmogorov-Smirnov 正态性检验，将样本与标准正态分布（均值为正态性检验，将样本与标准正态分布（均值为0，

8、方差为，方差为1）进行对比，不符合正态分布返回）进行对比，不符合正态分布返回1，否则返回，否则返回0；该函数也可以用于其它分布类型的检验；该函数也可以用于其它分布类型的检验；2、函数、函数 lillietest: Lilliefors test。 与与kstest不同不同(b tn)，检验目标不是标准正态，而是具有与样本相同均值和方差的正态分布。，检验目标不是标准正态，而是具有与样本相同均值和方差的正态分布。lillietest(x)ans =03、函数、函数 jbtest: Jarque-Bera test与与 Lilliefors test 类似，但不适用于小样本的情况。类似，但不适用于小

9、样本的情况。 jbtest(x)ans =0第17页/共41页第十八页，共41页。 泊松泊松(Poisson)分布分布(fnb)P() XPXk , k0, 1, 2, (0) e!kk泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数(csh)。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数电话交换机接到呼叫的次数(csh)，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数自然灾害发生的次数(csh)等等。等等。第18页/共41页第十九页，共41页。

10、指数分布指数分布 ,0( )0,0 xexXfxx则称则称X服从参数服从参数(cnsh)为为0的指数的指数分布。分布。其分布函数为其分布函数为)x(fx00,00,1)(xxexFx第19页/共41页第二十页，共41页。数学(shxu)期望是衡量随机变量取值平均大小 程度的一个数字特征。方差是衡量(hng ling)随机变量取值波动 程度的一个数字特征。第20页/共41页第二十一页，共41页。 定义定义(dngy) 若若XPX=xk=pk, k=1,2,n, 则称则称 nkkkpxXE1)(为的数学期望，简称为的数学期望，简称(jinchng)期望或均值。期望或均值。 若若Xf(x), - x

11、0,DY0，则，则DYDX)Y,Xcov(XY 称为称为(chn wi)X与与Y的相关系数的相关系数. 第23页/共41页第二十四页，共41页。2.相关系数的性质相关系数的性质 (1) |XY|1； (2) |XY|=1存在存在(cnzi)常数常数a, b 使使PY= aX+b=1； (3) X与与Y不相关不相关 XY=0;第24页/共41页第二十五页，共41页。定义定义 设设X1， , Xn为为n个个r.v., 记记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, , n. 则称由则称由cij组成组成(z chn)的矩阵为随机变的矩阵为随机变量量 X1， , Xn的协方差矩阵的协方差矩阵

12、C。即。即 nnnnnnnnijccccccccccC.)(212222111211第25页/共41页第二十六页，共41页。数理统计(sh l tn j)中常用到如下三个分布： 2分布、 t 分布和F分布。 2221121.,(0,1),( ).niidniiXXNXnn构造设则称为自由度为 的分布第26页/共41页第二十七页，共41页。2.2分布的密度函数(hnsh)f(y)曲线 0y, 00y,ey)y(f2y12n)2/n(212/n第27页/共41页第二十八页，共41页。3. 分位点分位点 设设X 2(n)，若对于，若对于(duy) ：0 1， 存在存在0)(2 n 满足满足(mnz)

13、,)(2 nXP则称则称)(2n 为为)(2n 分布分布(fnb)的上的上分分位点。位点。)(2n第28页/共41页第二十九页，共41页。1.构造构造(guzo) 若若XN(0, 1), Y2(n), X与与Y独立，则独立，则).(/ntnYXT t(n)称为称为(chn wi)自由度为自由度为n的的t分布。分布。第29页/共41页第三十页，共41页。2. t(n) (n) 的概率密度为的概率密度为tntnnnthn,)1 ()2()21()(212第30页/共41页第三十一页，共41页。3.3.分位点分位点 设设T Tt(n)t(n)，若对，若对:0:01,0(n)0， 满足满足PTPTt

14、t(n)=(n)=，则，则称称t t(n)(n)为为t(n)t(n)的上侧分位点的上侧分位点)(nt第31页/共41页第三十二页，共41页。注注:)()(1ntnt )(1nt)(nt第32页/共41页第三十三页，共41页。1.构造构造(guzo) 若若U 2(n1)， V2(n2)，U， V独立，则独立，则).,(/2121nnFnVnUF 称为称为(chn wi)第一自由度为第一自由度为n1 ，第二自由度为，第二自由度为n2的的F分布分布,其概率密度为其概率密度为 0y, 00y,)ynn1)(2n()(y)n/n)(2nn()y(h2/ )nn(2122n12n2/n212121111第

15、33页/共41页第三十四页，共41页。2. F2. F分布分布(fnb)(fnb)的分的分位点位点对于对于：0010(n1, n2)0，满足满足PFPFF F(n1, n2)=(n1, n2)=， 则称则称F F(n1, n2)(n1, n2)为为F(n1, n2)F(n1, n2)的的上侧上侧分位点；分位点；),(21nnF 第34页/共41页第三十五页，共41页。),(1),(12211nnFnnF 注：注：),(112nnFF第35页/共41页第三十六页，共41页。,1. 11 niiXnX样样本本均均值值,)()(11. 22122SSXXnSnii 标标准准差差样样本本均均方方差差样

16、样本本方方差差第36页/共41页第三十七页，共41页。，XX Xiidn1(一一) 两类问题两类问题(wnt)1、参数假设检验、参数假设检验 总体分布总体分布(fnb)已知已知, 参参数未知数未知, 由观测值由观测值x1, , xn检验假设检验假设H0：=0；H1：0 2、非参数假设检验、非参数假设检验 总体分布未知总体分布未知, 由观测值由观测值x1, , xn检验假设检验假设H0：F(x)=F0(x; ); H1： F(x)F0(x; ) . .1()i i dnXXf x，；，第37页/共41页第三十八页，共41页。以样本以样本(X1, , Xn)出发制定一个法则出发制定一个法则, 一旦

17、观测值一旦观测值(x1, , xn)确确定后定后, 我们我们(w men)由这个法则就可作出判断是拒绝由这个法则就可作出判断是拒绝H0还是接受还是接受H1, 这种法则称为这种法则称为H0对对H1的一个检验法则的一个检验法则, 简称检验法。简称检验法。 样本观测值的全体组成样本空间样本观测值的全体组成样本空间S, 把把S分成两个互不相交的分成两个互不相交的子集子集W和和W*, 即即S=WW*, WW*= 假设当假设当(x1, , xn) W时时, 我们我们(w men)就拒绝就拒绝H0；当；当(x1, , xn) W*时时, 我们我们(w men)就接受就接受H0。子集。子集W S就称为检就称为

18、检验的拒绝域验的拒绝域(或临界域或临界域 )。(二二) 检验检验(jinyn)法则与拒绝法则与拒绝域域第38页/共41页第三十九页，共41页。(三三) 检验的两类错误检验的两类错误(cuw) 称称 H0真而被拒绝的错误真而被拒绝的错误(cuw)为第一类错误为第一类错误(cuw)或或弃真错误弃真错误(cuw)；称；称 H0假而被接受的错误假而被接受的错误(cuw)为第为第二类错误二类错误(cuw)或取伪错误或取伪错误(cuw)。记记 p(I)=p拒绝拒绝H0| H0真真; P(II)=p 接受接受H0| H0假假对于给定的一对对于给定的一对H0和和H1, 总可找出许多拒绝域总可找出许多拒绝域, 人们自然希望找到这种拒绝域人们自然希望找到这种拒绝域W, 使得犯两类错误的概率都使得犯两类错误的概率都很小。很小。奈曼奈曼皮尔逊皮尔逊 (NeymanPearson)提出了一个原则：提出了一个原则：“在控制在控制(kngzh)犯第一类错误的概率不超过指定值犯第一类错误的概率不超过指定值的的条件下条件下, 尽量使犯第二类错误尽量使犯第二类错误 小小”按这种法则做出的检验按这种法则做出的检验