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1、工程力学工程力学A(4) 资料力学资料力学第第 7 7 章章 弯曲变形弯曲变形 本章主要研讨：本章主要研讨： 弯曲变形根本方程弯曲变形根本方程 计算梁位移的几种方法计算梁位移的几种方法 积分法、叠加法积分法、叠加法 简单静不定梁分析简单静不定梁分析 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计第第 7 7 章章 弯曲变形弯曲变形 1 引言引言 2 梁变形根本方程梁变形根本方程 3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法4 计算梁位移的奇特函数法计算梁位移的奇特函数法5 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 6 简单静不定梁简单静不定梁7 梁的刚度条件与合理设计梁的刚度条件与合理设计1 1 引言引言梁变形的描

2、画梁变形的描画 弯曲变形特点弯曲变形特点 挠度与转角挠度与转角弯曲变形特点弯曲变形特点 挠曲轴是一条延续、光滑曲线挠曲轴是一条延续、光滑曲线 对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线对称弯曲时，挠曲轴为位于纵向对称面的平面曲线 对于细长梁，剪力对弯曲变形影响普通可忽略不计对于细长梁，剪力对弯曲变形影响普通可忽略不计 因此横截面仍坚持平面，并与挠曲轴正交因此横截面仍坚持平面，并与挠曲轴正交.挠曲轴挠曲轴 轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，轴线变为曲线，变弯后的梁轴，称为挠曲轴，挠曲轴挠曲轴挠度与转角挠度与转角梁位移梁位移转角转角挠度挠度挠度与转角的关系挠度与转角的关系小变形小变形xwd

3、dtan 挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移挠度横截面形心在垂直于梁轴方向的位移 w )(xww 挠曲轴方程挠曲轴方程转角横截面的角位移转角横截面的角位移)(x 转角方程转角方程 忽略剪力影响忽略剪力影响xwdd rad挠度与转角挠度与转角梁位移梁位移梁变形的描画：梁变形的描画：( ),d( )( )dw xww xxx 小变形、不计剪切：小变形、不计剪切：思索：思索： 能否存在梁的轴向位移？ 梁微段dx变形如何? 梁微段梁微段dx变形变形 截面挠度、转角由各微段变形累加而成截面挠度、转角由各微段变形累加而成 ( )ddM xxEI d( )dwxx 2 2 梁变形根本方程梁变形根本方程 挠

4、曲轴微分方程挠曲轴微分方程 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程 挠曲轴的大致外形挠曲轴的大致外形 挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程 3/2 21)(1wwx EIxMww)(13/2 2 EIM 1纯弯EIxMx)()(1 非纯弯非纯弯挠曲轴曲率挠曲轴曲率 w弯矩引起的挠度 smax sp挠曲轴微分方程挠曲轴微分方程梁的中性层曲率：梁的中性层曲率：平面曲线平面曲线)(xww 的曲率的曲率 挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程小变形时：小变形时：12 wEIxMxw)(dd22 EIxMxw)(dd22 pmax 小变形 坐标轴 w 向上EIxMxw)(-dd22 坐标轴 w 向下时 EIxMww

5、)(13/2 2 位移边境条件与延续条件位移边境条件与延续条件位移边境条件与延续条件位移边境条件与延续条件约束处位移应满足的条件约束处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件位移边境条件位移边境条件位移延续条件位移延续条件挠曲轴大致外形的绘制挠曲轴大致外形的绘制 直观变形分析直观变形分析绘制根据绘制根据 满足变形根本方程 EIxMw)( 满足位移边境条件 与延续条件绘制方法与步骤绘制方法与步骤 画 M 图 由位移边境条件确定挠曲轴的空间位置 由 M 图的正负与零点，确定挠曲轴的凹凸与拐点，由弯矩大小确定曲率大小，即确定挠曲轴的外形。留意挠曲轴的延续、光滑性留意挠曲轴

6、的延续、光滑性例例 2-1 绘制图示梁挠曲轴的大致外形绘制图示梁挠曲轴的大致外形 F=2qa例：例：1.1.画剪力弯矩图画剪力弯矩图2.2.列挠曲线的位移和列挠曲线的位移和延续条件延续条件3.3.画挠曲线大致外形画挠曲线大致外形( (注明凹凸性与拐点注明凹凸性与拐点) )0, 0CAwwBBBBww,位移与延续条件位移与延续条件43qa+_4qaFsa2qaADaaqBC43qa4qaCCCCww,D凹凸凹直线大致外形大致外形AC42qa+322qaM_432qa3 3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法 挠曲轴微分方程的积分挠曲轴微分方程的积分 与边境条件与边境条件 积分法求梁位移积分法求

7、梁位移 例题例题 近似微分方程的积分与边境条件近似微分方程的积分与边境条件EIxMxw)(dd22 CxEIxMxw d)(ddDCxxxEIxMw dd)(挠曲轴近似微分方程的积分挠曲轴近似微分方程的积分 位移边境条件与延续条件位移边境条件与延续条件 约束处位移应满足的条件约束处位移应满足的条件位移边境条件位移边境条件梁段交接处位移应满足的条件梁段交接处位移应满足的条件位移延续条件位移延续条件 积分法求梁位移积分法求梁位移计算图示梁截面计算图示梁截面 A A 的转角，的转角，EI = EI = 常数常数 建立挠曲轴微分方程并积分lMFFByAye xlMxMe)( xEIlMxwe22dd

8、(a) 2dd2eCxEIlMxw (b) 63eDCxxEIlMw 利用边境条件确定积分常数 计算w和转角 (1) 0 0 wx处处，在在(2) 0 wlx处处，在在(a) 2dd2eCxEIlMxw (b) 63eDCxxEIlMw 由条件由条件 (1), (2) 与式与式 (b) ，得，得EIlMCD6 0,e )(e226lxEIlxMw EIlMA6-(0)e )(3622elxEIlM 例题例题3-1EI = const(常数常数)试计算截面试计算截面 B 的挠度与转角的挠度与转角 A beam in pure bending EIMxw0 CxEIMxw0 DCxxEIMxw20

9、2解解:弯矩方程弯矩方程挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程边境条件边境条件 0, 000, 00CwDw xEIMxxEIMxw0202 EIlMEIlMwBB0202 ABx0M 0MxM例题例题3-23-2：求挠曲轴微分方程：求挠曲轴微分方程, ,列挠曲线的位移边境和延续条件列挠曲线的位移边境和延续条件lxEIMw01113016DxClxEIMwABAB段：段：102lxEIMw22230226DxCxlxEIMwBCBC段段: :2/ l2/ l0MABxC2/ l2/ l0MABxC2221lwlw( (延续条件延续条件) ) 2221lwlw ( (光滑条件光滑条件) ) 001

10、w 02lw( (边境条件边境条件) ) 位移边境条件和延续条件位移边境条件和延续条件 四个方程定四个方程定4 4个常数个常数 2201424lxlEIxMxw )384(242202llxxEIllxMxw AlPBabCxxyFAyFByFAx例例7-4(书书) 图示的等截面简支梁长为图示的等截面简支梁长为l，抗弯刚度，抗弯刚度为为EI，受集中力，受集中力P的作用，求梁任一截面的转角和挠的作用，求梁任一截面的转角和挠度。度。解： 由整体平衡得FAx=0， FAy= Pb/l FBy= Pa/l o AlPBabCxxyFAyFByFAx从而，截面的弯矩为0( )()PbxxalM xPal

11、xaxll对于对于AC段，利用梁的挠段，利用梁的挠曲线微分方程曲线微分方程xEIlPbEIxMw )(1同理，对同理，对CB段段222222)(2d)(dCxlEIlPaCxxlEIlPaCxww 223222)(6d)(2DxCxlEIlPaxCxlEIlPaw得1211112ddCxEIlPbCxxEIlPbCxww 1131216d2DxCxEIlPbxCxEIlPbw由边境条件和延续性条件lxwxw, 00, 021解得解得2122121)(600CClbEIlPbCDDaxwwww,2121 AlPBabCxxyFAyFByFAx得梁的挠曲线方程为12322322( )0( )()0

12、6()()()6w xxaww xaxbPbxblxxaEIlPalxallxaxlEIl12222222( )0( )3()063()()6w xxaww xaxbPbxblxaEIlPalxalaxlEIl转角方程为转角方程为 AlPBabCxxyFAyFByFAx梁的最大转角：顺时针）()(6)0(1blEIlPabwA 当当x =0时，转角为时，转角为逆时针）()(6)(2alEIlPablwB 当当x =l时，转角为时，转角为)(6maxalEIlPabB ABC00B梁的最大挠度: 梁的最大挠度发生在w= 0处 0)(3)(1baEIlPabawC 首先确定首先确定w=0的位置。当

13、的位置。当x =0时，转角时，转角A = wA0，而当，而当x = a时，转角时，转角C0)(36)(2221lbxEIlPbxw因此，当因此，当0 x0因此，可用梁的中点挠度替代梁的最大挠度。当当a=b=l/2时，最大挠度发生在梁的中点时，最大挠度发生在梁的中点最大转角为最大转角为EIPlw483max2max16ABPlEI对于简支梁，不论受F, q作用，只需挠曲轴上无拐点朝一个方向弯曲,其最大挠度值可以用梁中点处的挠度值替代，即)2/(maxlww其准确度能满足工程计算的要求。其准确度能满足工程计算的要求。5 5 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法 叠加法叠加法 逐段分析求和法逐段分析

14、求和法 例题例题 叠加法叠加法方方法法 当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的当梁上同时作用几个载荷时，任一横截面的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的总位移，等于各载荷单独作用时在该截面引起的位移的代数和或矢量和位移的代数和或矢量和q ,AF,AAwww 分解载荷分解载荷分别计算位移分别计算位移求位移之和求位移之和)( 8343 EIqlEIFl)( 33 EIFlwF,A)( 84 EIqlwq ,A? Aw问题问题 实际根据实际根据)()()(xMxMxMqF )(dd22xMxwEI )()( xwxwwqF 故故： )(dd22xMxwEIF )( xwwF )(dd22xMx

15、wEIq )( xwwq 上述线性微分方程的解，为以下微分方程解的组合上述线性微分方程的解，为以下微分方程解的组合小变形小变形,比例极限内比例极限内小变形小变形叠加法适用范围：小变形叠加法适用范围：小变形，比例极限内，比例极限内叠加原理叠加原理 逐段分析求和法逐段分析求和法分段变形叠加分段变形叠加 分解梁 分别计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移awB 1EIlFaaEIlFaw3321 EIFaw332 21www )( )(32 alEIFa 求位移之和代数和或矢量和例：外伸梁 EI=const常数求: wA 刚化AB段CBqAla刚化BC段CBqAACBq22qaM F=qaCBqAa

16、EIlqaawBIA3212 EIqawIIA84EIqaEIqlawwwIIAIAA8643Solution II:两段分 叠加法的运用叠加法的运用 典型梁的根本变形典型梁的根本变形恣意梁的变形恣意梁的变形载荷叠加载荷叠加分段变形叠加分段变形叠加加附加载荷加附加载荷简支梁、悬臂梁简支梁、悬臂梁三种典型载荷三种典型载荷例例 5-1 q(x)=q0cos(px/2l)，利用叠加法求，利用叠加法求 wB=? 解：解：)3(6)d(d2xlEIxxxqwB xlxEIxlxqd2cos6)-(320 xlxxlxEIqwlBd 2)cos-(360 20 EIlq4340324)-(2 ()()例例

17、 5-2 21wwCy awwBB 1)( 332 EIFaw)( 333t23 EIFaGIlFaEIFlCy 解：解：)( t aGIFalEIFl33 例例 5-3 求自在端位移求自在端位移d 挠曲轴与外力作用面不重合挠曲轴与外力作用面不重合zyII 普通情况普通情况 sinFFz 解：解： cosFFy zzyyEIFlEIlF3cos333 yyzzEIFlEIlF3sin333 22zy yz tan tanyzII 223sincos3 yzIIEFl AaCBaqBAaCaq/2AaCaq/2例例5-4：利用对称性求下面梁中点挠度与转角：利用对称性求下面梁中点挠度与转角 ( 2

18、a = l )反对称反对称, 挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0, 拐点拐点)对称对称, 转角为转角为0 EIlqwC3842541AaCaq/2反对称反对称, 挠度为挠度为0(弯矩为弯矩为0, 拐点拐点)aCq/2 CqlEIqlEI23312224384 EIqlwwwCCC7685421 EIqlCCC384321 例5-5：E常数,122IICw，C,求2I1IPABC刚化刚化AB段：段：仅思索仅思索BCBC段变形：段变形：1313EIPawC1212EIPaC 仅思索仅思索ABAB段变形：段变形：awwwBMBFBC ,2MBFBBC,2 BBC段刚化：段刚化：PaM PF ABCABC

19、PPaM PF BAB段的变形：段的变形：22,2EIPaFB 22,EIPaMB 23,3EIPawFB23,2EIPawMB)(2312EIPawC1245EIPaC 仅思索仅思索BCBC段变形：段变形：1212EIPaC 1313EIPawC22223CBEIPa 23237EIPawC左右C例例: 求求AB12lwC 2 EIqlwC84 EIql631 EIql832 EIql247321 AqlCBl6 6 简单静不定梁简单静不定梁 静不定度与多余约束静不定度与多余约束 简单静不定梁分析方法简单静不定梁分析方法 例题例题 静不定度与多余约束静不定度与多余约束多余约束多余约束 凡是多

20、于维持平衡所必需的约束凡是多于维持平衡所必需的约束多余反力多余反力 与多余约束相应的支反力或支反力偶矩与多余约束相应的支反力或支反力偶矩静不定度静不定度 支反力力偶数有效平衡方程数支反力力偶数有效平衡方程数静不定度多余约束数静不定度多余约束数4-3=1 度度 静不定静不定5-3 = 2 度度 静不定静不定 简单静不定梁分析方法简单静不定梁分析方法选选 Fby 为多余力为多余力EIlFEIFlwByB348533 0 Bw变形协调条件变形协调条件 物理方程物理方程0348533 EIlFEIFlBy补充方程补充方程 165FFBy 163 0,/FlMMAA 得得平衡方程平衡方程一度静不定一度静

21、不定1611 0,/FFFyAy 得得算例算例综合思索三方面综合思索三方面 求梁的支反力求梁的支反力 判别梁的静不定度 用多余力 替代多余约束的作用，得受力与原静不定梁一样的静定梁所谓相当系统 计算相当系统在多余约束处的位移，并根据变形协调条件建立补充方程 由补充方程确定多余力，由平衡方程求其他支反力相当系统相当系统 经过相当系统计算内力、位移与应力等 求解根据综合思索三方面求解根据综合思索三方面求解关键确定多余支反力求解关键确定多余支反力分析方法与步骤分析方法与步骤相当系统相当系统例例 6-1 求支反力求支反力BAM,AM,AF,AA BAM,BM,BF,BB EIlMEIlMEIlblFa

22、bBA636)(- EIlMEIlMEIlalFabBA366)( 0 0 解：解：1. 问题分析问题分析 程度反力忽略不程度反力忽略不计，计，2多余未知力多余未知力2. 解静不定解静不定 0 0 BA, 2222 lbFaM,lFabMBA 3232)2( )2(lblFaF,lalFbFByAy )( 6413485333R3 EIFlEIlFEIFlwB例例 6-2 悬臂梁悬臂梁 AB，用短梁，用短梁 DG 加固，试分析加固效加固，试分析加固效果果 解：解：1. 静不定分析静不定分析GCww EIFFwC48)2(5R EIlFEIlFwG243/2)(3R3R 45RFF 2. 加固效

23、果分析加固效果分析 /2maxFaM 与与 Fa 相比，减少相比，减少 50%与与 相比，减少相比，减少39.9%EIFl33 32/3NEIlFFwB EAlFEAlFlNN22 EAlFEIlFFN3N232 22N262AlIFAlF 例例 6-3 试求杆试求杆 BC 的轴力的轴力lwB 2 解：解：梁的轴梁的轴向变形向变形普通忽普通忽略不计略不计如计及如计及梁的轴梁的轴向变形，向变形，如何求如何求解解? ?例例6-4 直径为直径为d 的圆截面梁的圆截面梁,支座支座 B 下沉下沉 d，smax=?解：解：,B0 EIlFEIlMByBB2-2 EIlFEIlMwByBB3-232 236

24、 12lEIM,lEIFBBy zWMmaxmax IdlEI/262max - Bw23ldE 0 例例6-5：求支反力：求支反力qAB1. 静不定度：6-3=32. 建立相当系统建立相当系统qABRBMBHAHBRBRAMBMA小变形，轴向变形可忽略小变形，轴向变形可忽略 HA= HB=0。(两度静不定两度静不定)ABMAMB3. 建立变形协调条件建立变形协调条件4. 联立求解联立求解00BBw )1(0823423EIqlEIlMEIlRwwwwBBqBMBRBB)2(06232 EIqlEIlMEIlRBBqBMBRBB qABRBMB 此题也可以利用对称性直接求出此题也可以利用对称性直接求出RA和和RB RA= RB=ql/2例例6-6：求支反力：求支反力 lwwDB变形协调条件：变形协调条件：RRB B点位移按右图计算点位移按右图计算 ABRqaqa2/2ABqCDlaaECABqRDRE7 7 梁的刚度条件与合理设计梁的刚度条件与合理设计 梁的刚度条件梁的刚度条件 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计 例题例题 梁的刚度条件梁的刚度条件 maxw max最大位移控制最大位移控制指定截面的位移控制指定截面的位移控制 许用挠度许用挠度 许许用用转转角角 500750 ll 桥式起重机梁：桥