第1讲(矩阵的概念与基本运算)

1、第三章 矩阵主要内容：主要内容：l 3.1 3.1矩阵的概念及运算矩阵的概念及运算l 3.2 3.2逆矩阵逆矩阵l 3.3 3.3矩阵的分块矩阵的分块l 3.4 3.4初等矩阵初等矩阵l 2.2 2.2矩阵的秩矩阵的秩11112211211222221122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 1 1、线性方程组、线性方程组的解取决于的解取决于11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab，将系数与常数项按原位置排成，将系数与常数项按原位置排成对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究. . 系数系

2、数常数项常数项ijaib一、矩阵的引入一、矩阵的引入第第1节节 矩阵的概念矩阵的概念 定义定义mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 由由 个数个数 排成一个排成一个 行行 列的数表列的数表 nmijamn.),(,)(AaAaAijnmijnm简记为称为称为 行行 列矩阵，简称列矩阵，简称 矩阵，记作矩阵，记作nmmn二、矩阵的定义二、矩阵的定义ija称为矩阵的称为矩阵的元元. .A( , )i j元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.注：注： 、只有一行的矩阵称为只有一行的矩阵称为行矩阵行矩阵,只有一列的

3、矩阵称为只有一列的矩阵称为列矩阵列矩阵.、 行数与列数相等的矩阵称为行数与列数相等的矩阵称为阶方阵阶方阵.、若，且，若，且，(),()ijm nijs tAaBb,ms nt称称两矩阵同型两矩阵同型. .、称为称为方阵的行列式方阵的行列式.A定义定义 如果两个矩阵如果两个矩阵A,BA,B有：有： 1 1）相同的行数和相同的列数，）相同的行数和相同的列数， 2 2）对应位置上的元素均相等，）对应位置上的元素均相等，则称矩阵则称矩阵 A A与与 B B相等，记相等，记 A=BA=B。 . ?,?,05420ayxyaxxyx则例如三、几种特殊的矩阵三、几种特殊的矩阵、零矩阵零矩阵mn 个元素全为零

4、的矩阵称为个元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵. .：不同的零矩阵未必相等的不同的零矩阵未必相等的. .记作记作 或或 . .Om nO 、对角矩阵对角矩阵主对角线以外的元素全为零的方阵称为主对角线以外的元素全为零的方阵称为对角阵对角阵. . n 00000021OO不全为不全为0 0记作记作 12,.,ndiag 、单位矩阵单位矩阵主对角线上的元素全为主对角线上的元素全为1 1的对角阵称为的对角阵称为单位阵单位阵. .100010001OO全为全为1 1记作记作.E4 4、数量矩阵数量矩阵000000kkkOO记作记作.kE全为全为k主对角线上的元素全为主对角线上的元素全为k k的对角阵称为的

5、对角阵称为数量阵数量阵. .5 5、三角矩阵三角矩阵11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵上三角矩阵与下三角矩阵统称为上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵三角阵. .对称矩阵对称矩阵的的特点是：它的元素以特点是：它的元素以主对角线为对称轴主对角线为对称轴对对应相等应相等. . 0211223113101101如如6 6、对称矩阵、对称矩阵设设 为为 阶方阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，AnTAA ijjiaa 那么那么 称为称为对称矩阵对称矩阵. .A0121105225011210 ATAA ijjiaa 设设 为为 阶方

6、阵，若阶方阵，若 ，即，即 ，n那么那么 称为称为反对称矩阵反对称矩阵. .A反对称矩阵反对称矩阵的主要特点是的主要特点是: :主对角线上的元素为主对角线上的元素为0,0,其其余的元素关于余的元素关于主对角线主对角线互为相反数互为相反数. .如如反对称矩阵反对称矩阵矩阵与行列式的有何区别矩阵与行列式的有何区别? ?思考题：思考题： 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同. .解答：解答：一、

7、矩阵的加法一、矩阵的加法1 1、定义、定义注意注意: :只有只有同型矩阵同型矩阵才能进行才能进行加法加法运算运算. .()ijijm nABab (),()ijm nijm nAaBb，若若规定规定第第2节节 矩阵的运算矩阵的运算 2581710467035 312184912 2 2、运算规律、运算规律（设（设、均是同型矩阵）均是同型矩阵）（1 1） （交换律）（交换律）ABBA（2 2） （结合结合律）律）()()ABCABC（3 3）AOA （4 4）()AAO （5 5） （减法）（减法）()ABAB 二、数与矩阵的乘法二、数与矩阵的乘法1 1、定义、定义(),ijm nAaR ()i

8、jm nAAa 若若规定规定17105035 5355001525 2 2、运算规律、运算规律（设（设 均是均是 矩阵，矩阵， ）A B Cmn ,R ()()AA （1 1）()ABAB（3 3） ()AAA （2 2）（4 4）nAA 1231131.,;34 .015242ABAB 例例求求.3,245010321. 2AA求设例323122211211232221131211,bbbbbbBaaaaaaA三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法.单位价格和单位利润表示每种产品的矩阵表示每种产品的数量，矩阵三种产品，两工厂生产甲、乙、丙、例：某地有BA222112113223222212213123

9、21221121321322121211311321121111323122211211232221131211ccccbababababababababababababbbbbbaaaaaaBA则我们可理解成：定义定义 设矩阵设矩阵A A的列数与矩阵的列数与矩阵B B 的行数相同，则由元素的行数相同，则由元素构成的构成的m m行行n n列的矩阵，称为矩阵列的矩阵，称为矩阵A A与与B B的积，记为的积，记为C=AC=AB,B,或或ABAB . .1 12 2(1,2,;1,2, )ijijijilljca ba ba bim jn nllmnmijBAcC)( 2 2）矩阵）矩阵C C的行数

10、等于矩阵的行数等于矩阵A A的行数，矩阵的行数，矩阵C C的列数等于矩的列数等于矩阵阵B B的列数。的列数。 3 3）乘积）乘积C C的第的第i i行第行第j j列的元素列的元素C Cijij等于矩阵等于矩阵A A的第的第i i行的行的元素与矩阵元素与矩阵B B的第的第j j列的对应元素乘积之和。列的对应元素乘积之和。 由这个定义可知：由这个定义可知： 1 1）如果矩阵）如果矩阵A A的列数等于矩阵的列数等于矩阵B B的行数，则的行数，则A A与与B B可以相可以相乘。乘。 12,(1213),10ABAB BA 例4：求12312012 ,03 ;.12112ABAB 例3：求2424:,1

11、236,.ABAB BA 例5求2411:,361215,.20ABCAB AC 例6求3 3、矩阵相乘的三大特征、矩阵相乘的三大特征（1 1）无交换律）无交换律（2 2）无消去律）无消去律（3 3）若）若ABBA?AMAN MN ?ABO .AO orBO?4 4、运算规律、运算规律（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）A B C,R ()AB CACBC()ABCA BC （1 1）()()()ABA BAB（2 2）()A BCABAC（3 3）（4 4）EAAEA（5 5）ABA B 定义定义对于矩阵对于矩阵 ，若，若 ，称，称 与与 可交换可交换. .,A B

12、ABBA BA例例7 7设设 ，求，求 的所有可交换矩阵的所有可交换矩阵. .A102 1A 解解1234xxXxx 设设AXXA ，于是，于是即即1212343410102121xxxxxxxx 12132422xxxxxx建立方程组得建立方程组得1423,0,xxxxR13100.,( ,)xaXorXa bRxxba所以所以12234422xxxxxx 把矩阵把矩阵 的行列互换得到的新矩阵，叫做的行列互换得到的新矩阵，叫做 的的转置矩阵转置矩阵，记作，记作 . .A.Aor A A例例,854221 A1425 .28TA 9 6 ,B 9.6TB 四、矩阵的转置四、矩阵的转置1 1、定

13、义、定义2 2、相关性质相关性质（假定所有运算合法，（假定所有运算合法， 是矩阵，是矩阵， ）A BR TTAA （1 1）()TTTABAB（2 2） TTTABB A （4 4）（3 3） TTAA TAA （5 5）当当A是是n阶方阵时，阶方阵时， 方阵的幂方阵的幂：设设A A是是n n阶方阵，阶方阵，k k是是自然数自然数，k k个个A A连连乘称为乘称为A A的的k k次幂，记作次幂，记作A Ak k，即，即 kKAAAA 相关相关结论：结论： ,(),kklklklklkA AAAAAA 其中其中 为正整数为正整数五、方阵的幂五、方阵的幂,k l .)(kkkBAAB 由于矩阵乘法不满足交换律，对于两个同阶方由于矩阵乘法不满足交换律，对于两个同阶方阵阵A A，B B而言，而言，一般说来一般说来例例8 8101A 设设，计算，计算23,.AA21