离散傅里叶变换DFT的性质

1、离散傅里叶变换DFT的性质上节回顾DTFT连续采样周期化LN10102 /DFTIDFT: ( )( ) 0, 1, 11 ( )( ) 0, 1, 1 ( )( ):NknNnNknNnDjNNFTNX kx n WkNx nX kx nX k WnNNWe 1 我们为什么要讨论DFT的性质2 回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质3 DFT的隐含周期性、线性、对称性4 圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积5 其他特性讨论DFT的性质有何意义呢？1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的

2、复杂性。例如后面重点学习的FFT算法就利用了DFT的周期性和对称性。离散时间傅里叶变换对（DTFT）：21 ()2() jjnjjnnx nX eedX ex n e1、周期性 ( )( ), ()( ) ()( ) DFTNx nX kx nNx nnX kNX kk 假定有则有对所有的对所有的有没有对此产生疑惑呢？ 通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知，DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上有定义，时域为0,1N-1，频域为0-2。 对于 ，可理解为是 的主值序列，一旦对n的取值域不加限制时，xn以N为周期。x n px n ( )()()2( )()0 2 NDFT(

3、)NjjjjX kX eX eX kX eX e 由前可知，是对的采样，是以为周期的周期函数,即是的主值区 ， 上 点等间隔采样。显然，当k超出变换区间时，必然得到0,2 以外区间上的采样，且以 为周期重复出现。1122121 1221122 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )DFTDFTNNDFTNx nX kx nXkaaa x na x na X ka Xk 如果有 和则对任意常数 和 , 有2、线性1010()()() 01()()() 0122: ()() cos() sin22 ()() sin() cos12: ()() cosRIRINRRInNIRInRRx

4、nxnjxnnNXkXkjXkkNknknD F TXkxnxnNNknknXkxnxnNNID F TxnXkN 10102() sin122 ()() sin() cosNInNIRInknknXkNNknknxnXkXkNNN3、对称性*10( )()=X ( )()()( ) ,()( )( )0,122( )( )( )cos( )sinlNRRlkx nX NkkXkX NkX kX NkX kx nknknx nxnXkXkNNN 为实序列(1) 实序列(2)实偶序列1010( )() 01( )02( )( )cos 0112( )0( )( )cos 01INnNIkx nx

5、 NnnNXkknX kx nkNNknXkx nX knNNN ( )x nX k为实偶函数，则也为实偶函数101022: ( )( )cos( )sin22 ( )( )sin( )cosNRRInNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN （3）实奇序列1010( )() 01( )02( )( )sin 0112( )0( )( )sin 01RNnNRkx nx NnnNXkknX kjx nkNNknXkx njX knNNN ( )x nX k为实奇函数，则为虚奇函数101022: ( )( )cos( )sin22 ( )( )sin( )cosNRR

6、InNIRInknknDFTXkxnx nNNknknXkxnx nNN （4）纯虚序列10102( )( )sin( )( )2( )( )cosNRInINIInknXkx nNx njx nknXkx nN自行查阅并掌握 表7.1(P348) 中列出的所有性质( )( )0( )( )( )0( )lllRx nX kX kx nXkX k 如果是奇数，那么，则为实奇函数；另一方面，如果是偶数，那么，则为虚偶函数。4、序列的圆周对称性( )( )( )(n)( )( )()(n) ( ),01( )( )( )0,N( )= (,)()pplppplppNx nx nx nx n lx

7、nkx nx n kx n lkxnnNx nx nx nx n x n kNx n k 是的周期延拓，现将向右移位 个单位，对应的有限长序列就是的圆周移位其他通常，序列的圆周移位可表示成序号对 求余，可写成对 求余4444424( )(2)(0)( 2)(2)(1)( 1)(3)(2)(0)(0)(3)(1)(1)kNx nxnxxxxxxxxxxxx当和N点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位 序列关于零点对称，称为圆周偶序列: 对应于周期序列 为偶序列： 序列关于零点反对称，称为圆周奇序列： 对应于周期序列 为奇序列： 共轭偶序列和共轭奇序列()( ) 11x Nnx nnN( )

8、pxn( )( )()pppx nxnx N n ()( ) 11x Nnx nnN ( )( )()pppx nxnx N n ( )pxn5、两个DFT的乘法和圆周卷积3131331222/11012/220( )( )( ) 0, 1, , 1( )( ) 0, 1, , 1( )( ) 0,( )( )DFT 1, , 1 ) ( )(Njnk NnNjnk NnXkXX kx n ekNXkkx n ekNXkNx nx nkkx nXxNn 假定为长度为 的序列的，与和之间的关系？试着做个猜想 12/33012/1201112/2/2/12000112012()/01()( )1(

9、 )( )1 ( )( )1 ( )( )Njk m n lNNjkm NkNjkm NkNNNjkn Njkl Njkm NknlNknx mXk eNXk Xk eNx n exl eeNx nxlNe 10Nl21010()/31 , 1 1, 11 () , , ()( ,)0NkNkNjmkNkn lNNaaaaalmnpNmnpNaaexmx n x 此时为整数其他，120() 0, 1, , 1NNnmnmN 上式具有卷积和的形式，包含了序号 ，因而称为圆周卷积。()Nm n在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不

10、存在模运算。 例7.2.1 对下面两个序列进行圆周卷积：12( ) 2, 1, 2, 1 ( ) 1, 2, 3, 4x nx n13120( )( )() 0, 1, , 1NNnx mx n xm nmN可利用圆周序列图来计算注意:序列默认是以逆时针方向画在圆周上的，反转序列则是以顺时针方向画出。以m=0为例，计算出3(0)x3(0)246214x卷积的四个步骤： 1、反转序列 2、移位反转后的序列 3、将两个序列点点相乘 4、将乘积序列各值相加注：可自行查阅信号与系统P59-60比较与计算线性卷积的区别例7.2.2 通过DFT和IDFT来计算两个序列对应的圆周卷积序列3()x m12(

11、) 2, 1, 2, 1 ( ) 1, 2, 3, 4x nx n利用312( )( )( )X kX k Xk32/4/23/2110111132/4/23/22202222( )( )22(0)6 (1)0 (2)2 (3)0( )( )1234(0)10 (1)22 (2)2 (3)22 jnkj kj kjknjnkj kj kjknX kx n eeeeXXXXXkx n eeeeXXjXXj解解: 计算两个计算两个DFT的的乘积乘积: 计算计算 的的IDFT 3123333( )( )( )(0)60 (1)0 (2)4 (3)0XkX k XkXXXX 3( )Xk32/4113

12、34403333( )( )(604)(0)14 (1)16 (2)14 (3)16jnkjnkxnXk eexxxx6、序列的时域反转 ( )( ), ()()()()DFTNDFTNNNx nX kxnx NnXkX Nk 假如有则有7、序列的圆周时域移位2/ ( )( ), ()( )DFTNDFTNNjkl Nx nX kx nlX k e 假如有则有12/0112/2/0112/2/002( () () ()()()()()()( )Njkn NNNnlNjkn Njkn NNnn llNjkn Njkn NNnNjk mnx n lx N lDFT x n lx n lex n l

13、exnx mn l ex n lex N len e 12/112()/2/2/2/01)/12()00/ () () ( )( )()Njkn Nn lNNjk m l Njkl Njkm Njkl NNNl Nm N lNljk m l Nmmmx n l eDFT x n lx m eex m eXx m ek e 8、圆周频域移位（调制）2n/ ( )( ), ( )()DFTNDFTjlNNNx nX kx n eXkl 假如有则有9、复共轭特性* ( )( ), ( )()()DFTNDFTNNx nX kx nXkXNk 假如有则有Homework1：推导圆周频域移位性质和复共轭

14、性质：推导圆周频域移位性质和复共轭性质*1*0 ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )( ): ( )( )()DFTDFTNNDFTxyxyNNxyxyNnx nX ky nY krlRkX k Ykrlrlx n ynl 则有为循环互相关序列10、圆周相关性1212( )( ) ( )( )1 ( )( )( )( )DFTDFTNNDFTNx nX ky nY kx n x nX kXkN 如果有 则有11、序列的乘积证明:12/31211112/2/2/120001112() /122000( )( )( )11=( )()1( )()Njkn NnNNNjln Njmn

15、 Njkn NnllNNNjmlk n NlmnXkx n xn eXl eXm eeNNXlXmeN 21010()/31 , 1 1, 11 () , , 1 ( 0, X ( )NnNnNjm l knNnNNaaaaamaekX lNklpNklpNa 此时为整数其他，120)() k0, 1, , 1NNlXklN1*0112/*2/00112200 ( )( )(0)11( )()()()1( )( )( )() NxynNNjkl Njkl NxyxynnNNnnx n ynrrlRk eXk Yk eNNy nx nx nXkN证 ： 当11*00 ()(), ()() ()(