六节多元函数微分学几何应用

1、六节多元函数微分学几何应用一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线 的参数方程为：., )(),(),(上可导都在假设ttt )()()(tztytx)(t上一点，为设),(000zyxM，即它对应于参数0t )()()(000000tztytx. 0 )( ),( ),( 000不全为设ttt下面来求：. 点的切线在曲线MozyxMM 按定义，切线是割线的极限位置。因此，上任取点我们在曲线M附近的一点M，设它对应于参数 tt0，即)(),(),( 000ttttttMMM)()(),()(),()(000000ttttttttt的方程为割线MM)()()()()()(000000000ttt

2、zztttyytttxxQMM 令)()()()()()(000000000tttzztttyytttxx即t t t ),0(t即对上式取极限，得 000 zzyyxx)( 0t)( 0t)( 0t.:点的切线方程在曲线这就是MozyxMM 方向向量Q) )( ),( ),( (000tttT切线的方向向量也称为曲线的切向量。T过点 M 且与这点的切线垂直的平面0)( )( )( 000000zztyytxxt 由点法式得：点 处的法平面方程为),(000zyxM法平面：ozyxMM Q法平面T),(, )()(:. 2000zyxMxzxy空间曲线即 )()(xzxyxx ) ( 为参数x

3、 T) ) ( ), ( , 1 (xx00),(, 0),(0),(:. 3000zyxMzyxGzyxF空间曲线设此方程组确定了 )()(xzzxyy用隐函数求导法，求出dxdzdxdy , T) , , 1 (dxdzdxdy),(000|zyx),(000|zyx例1 求曲线 x=t, y=t2，z=t3在点(1,1,1) 处的切线及法平面方程.2321tztyx，632zyxT 解t对应于参数点) 1 , 1 , 1 (1111zyx )3 , 2 , 1 ( :) 1 , 1 , 1 (处的切线方程点123:法平面方程0) 1(3) 1(2) 1(1zyx即在点(1,2,1)处的切

4、线及法平面方程.1dd dd ddddxzxyxxzzxyy解设方程组06222zyxzyx例2 求曲线06222zyxzyx确定了 )()(xzzxyy等式两边对 x 求导，得0dd2dd22xzzxyyx即0dddd1xzxy解得dxdy1 1 1 1 zyzx=zyxzdxdz1 1 1 1 zyxy=zyyx) , , 1 (dxdzdxdy) 1 , 2, 1 (|) 1 , 2, 1 (|T=) 1, 0 , 1 (0 zx121zyx:)1 , 2 , 1(处处的的切切线线方方程程点点 10:法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即1二、曲面的切平面与法线.),(0

5、00的一点上是曲面zyxM在曲面 上，通过点 M任意引一条曲线 ，0),(:. 1zyxF的方程为曲面.)(),(),( ),(不全为零且点有连续的偏导数在设MFMFMFMzyxFzyx)()()(tztytx设 的参数方程为)( t，对应于参数点0000),(ttzyxM)( )( )( 000ttt、且不全为0. xyz M)( )( )( 000000tzztyytxx则处处的的切切线线方方程程为为：在在点点曲曲线线M 上在曲面曲线0)(),(),(tttF可导上式左端在点0tt 0|)(),(),(0tttttFdtd(*) ,),(),(000处有连续偏导数在点zyxzyxF存在且)

6、( ),( ),( 000ttt(链锁法则) xyz O由链锁法则，得0|)(),(),(tttttFdtd=) (xF) (yF) (zF(*)式变为)( ),(0000tzyxFx)( ),(0000tzyxFy)( ),(0000tzyxFz= 0(#)令),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx又)( ),( ),( (000tttT则(#)式可写为0Tn000,zyx0t) ( ) ( ) ( 000,zyx0t000,zyx0tnT 这表明：的切线的任意一条曲线在点上通过点曲面MM.都在同一个平面上.的切平面在点该平面称为曲面M切平面的法向量为),(),(

7、),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx nxyzT O切平面的方程为)(),(0000 xxzyxFx +)(),(0000yyzyxFy +)(),(0000zzzyxFz 0法线：.的直线且垂直于该点的切平面过点M法线的方程为 000zzyyxx),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz的切平面的法向量称为在点曲面M.的法向量在点曲面M),(:. 2yxfz 的方程为曲面),( ,000zyxM即0),( zyxf令zyxfzyxF),(),(则:的方程为曲面0),(zyxFn) ),(),(),( (000000000zyxFzyxFzyxFzy

8、x=) 1, , (yxff即n) 1),(),( (0000yxfyxfyx),(00yx),(00yx),(),(),(:. 3vuzvuyvux的方程为曲面),(,000zyxM).,(),(,00000vuzyxM对应于参数),(:yxzz 设这个方程组确定了用隐函数求导法xvxu,yvyu,由前两式求出再由第三式得xvvxuuxzyvvyuuyzn) 1,|,| (),(),(0000vuvuyzxz4、曲面的法向量的方向余弦 若用 表示曲面的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即 为锐角. 则法向量的方向余弦为:),(),(1),(cos00200200yxfyxfyxfyxx、

9、),(),(1),(cos00200200yxfyxfyxfyxy),(),(11cos002002yxfyxfyx例3 求球面 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.14222zyx解:),(zyxF令),(zyxFFFn 14222zyxxFx2yFy2zFz2，)2 ,2 ,2(zyx)3 , 2 , 1 (n)6 , 4 , 2(球面的切平面方程为处在点,)3 , 2 , 1 (0)3(6)2(4) 1(2 zyx01432zyx即321zyx法线方程为332211zyx即246例4 求旋转抛物面 在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.122yxz解: ) 1,(yxffn412zyx法线方程为0)4() 1() 1(2)2(4zyx1),(22yxyxf令xfx2yfy2，=) 1,2 ,2(yx) 1,