有限元法PPT学习教案

1、会计学1有限元法有限元法（5）伽辽金法简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。更简洁的形式：伽辽金法的一般表达式引入变分等效积分形式第1页/共50页8/9/20133静态线弹性有限元定解问题,()()0iij jiiijjiVSuf dVunT dS,0ij jif0ijjinTiu真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上，0iu虚应变高斯定律张量形式矩阵形式第2页/共50页等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。小结：伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。第3页/共50页第4

2、页/共50页第5页/共50页第6页/共50页n, niii: 第三类边界条件（Robin）. 第7页/共50页nuxyz = 0, u = f1(x, y)+ f2 (x, z)+ f3 (y, z) nutt c2 uxx= 0, u = f1(x+ct)+ f2 (x ct). nnc) 定解问题的解：满足边界条件和初始条件的通解. 第8页/共50页. nb） 双曲型方程没有像椭圆形方程那样的极值原理，解在内部可以有弱间断，边界条件不是封闭的。第9页/共50页式中f, u, T叫做泛函的容许函数：满足一定边界条件和连续性的所有函数有限元法的基本原理有限元法的基本原理曲线长度总势能温度场泛函

3、第10页/共50页 a)容许函数的变分有限元法的基本原理有限元法的基本原理第11页/共50页第12页/共50页i） 泛函的值由1个自变量的函数确定ii）泛函的值由有3个自变量的函数确定iii）泛函的值由有3个自变量的2个函数确定第13页/共50页d）变分运算第14页/共50页d) 欧拉方程 第15页/共50页有限元法的基本原理第16页/共50页此式即杆的平衡方程，它就是变分的欧拉方程。有限元法的基本原理i） 固定边界变分问题与基本边界条件两端约束的弹性杆问题：第17页/共50页ii ）非固定边界变分问题与自然边界条件边界条件：泛函：此式即杆的平衡方程( ) ( )bx babx baFFI u

4、uu dxq uuug xuEu u dxq u第18页/共50页一端约束（指定位移）的弹性杆解法1：Lagrange 乘子法构造新泛函 iii ）含有约束条件的变分问题*( )()bx bx ax aaFFIuuu dxq uuuuuu*( )( )() ()bx bx ax aabx bx ax aaIug xuEu u dxq uuuuuuEugudxEquuuEuxx Lagrange 乘子法与原定解问题完全等效，代价就是引入了新的求解变量第19页/共50页有限元法的基本原理*( )( ) bx bx aabx bx ax aaIug xuEu u dxq uk uuuuuEugudx

5、Equk uuEuxx 当k无穷大时，则满足第一类边界条件。不引入新的求解变量。第20页/共50页小结：1.定解问题（微分方程加定解条件）等价于相应泛函取极值。0I2. 泛函取极值就是有限元方法的理论基础，将微分形式变成了积分形式。3. 不是所有的定解问题都存在相应的泛函。4. 不存在泛函的定解问题，可以直接用更广义的加权余量法。第21页/共50页泛函的变分弹性长杆的定解问题0Eug0 x aux buEqx微分方程定解条件对应泛函第22页/共50页近似函数表示的微分方程的残差边界条件的残差其思想是使由近似函数表示的微分方程的残差和边界条件的残差的加权积分为零 2加权余量法 直接从微分方程出发

6、的一种积分方法。假设未知函数采用近似函数表达：1niiiuuN aNa有限元法的基本原理第23页/共50页伽辽金加权余量法弱形式与变分结果一致。()0bx bauwEw AdxqwAxx分部积分伽辽金加权余量法 3加权余量法弱形式：加权余量法弱形式： 泛函取极值变分等于零可以看出，第24页/共50页4加辽金加权余量法 第25页/共50页弱形式 1） 构造加权余量积分方程第26页/共50页b）单元的总体节点编号和局部节点编号，单元e=I， 总体节点编号：1，2，局部节点编号：1，2；单元e=III，总体节点编号：3，4，局部节点编号： 1，2。2） 离散化第27页/共50页a) 在自然坐标系中构

7、造单元近似解：b） 构造加权函数c） 单元坐标：3） 单元分析 加权函数、近似解试探函数、坐标插值函数的类型一致第28页/共50页d）单元平衡方程第29页/共50页a） 建立选择矩阵：4） 总体分析 第30页/共50页b) 组集单元刚度矩阵c) 组集等效节点载荷d） 解以节点为未知量的方程组 T12() ()22eeeeeAlAlAqxAqxF第31页/共50页第32页/共50页1）傅里叶定律 热传导方程1. 一维问题 热流密度与温度梯度成正比。q: 单位时间、单位面积流过的热量单位：W/(mK)第33页/共50页2）平衡方程 Q=cpmT比热容：比热容：cp1千克的物质的温度上升（或下降）1摄氏度所需的能量。单位：Ws/(kgK)扩散率的单位：m2/s第34页/共50页第35页/共50页本构关系第36页/共50页第37页/共50页3）三维各向同