数列通项公式的求法最全你值得拥有学习教案

1、数列通项公式的求法最全你值得数列通项公式的求法最全你值得(zh d)拥拥有有第一页，共30页。类型类型(lixng)一一 观察法：已知前几项，写通项观察法：已知前几项，写通项公式公式一、普通一、普通(ptng)数列：数列：121211 2 - - , - 32532 7 77 777 77773 ba b a（ ） ， ，（） ， ， ，（） ， ，12( 1)nnan 7(101)9nna ( 1)22nnababa 方法规律总结：方法规律总结：1.正负号用正负号用(-1)n或或(-1)n+1来调节来调节(tioji)。分式形式观察分。分式形式观察分母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分

2、母间的关母间关系和分子间关系的同时还要观察分子与分母间的关系，有时还要把约分后的分式还原后观察。系，有时还要把约分后的分式还原后观察。2.如如0.7，0.77,0.777类的数列，要用类的数列，要用“归九法归九法”3.两个循环的数列是两个循环的数列是0,1,0,1的变形。可以拆成一个常数列的变形。可以拆成一个常数列b,b,b,b与与0,a-b,0,a-b.的和，分别写通项然后相加再化简。的和，分别写通项然后相加再化简。第1页/共29页第二页，共30页。类型类型(lixng)二、前二、前n项和法项和法 已知前已知前n项和，求通项项和，求通项公式公式11 (1) (2)nnnSnaSSn 设设an

3、的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足Sn=n2+2n-1,求求an n的通项公式的通项公式.例例2：设数列设数列an满足满足a1=1, an=-SnSn-1(n2，nN*）求求an n的通项公式的通项公式.例例3：2 1 21 2nnann 1 1 1 2(1)nnann n 提示提示(tsh)：把：把an代换成代换成Sn-Sn-1设各项正数数列设各项正数数列an的前的前n项和为项和为Sn,且满足且满足2Sn= an+1/an，求求an n的通项公式的通项公式。( (有点难哦！有点难哦！) )练习：练习：1nann 第2页/共29页第三页，共30页。例例2：在在an中，已知中，已知a1=1

4、,an=an-1+n (n2),求通项求通项an.练：练： 111311,3 (2)2nnnnnaaaana n n已已知知中中,证,证明明：类型一、类型一、累加法累加法 形如形如 的递推式的递推式1( )nnaaf n11223343221 1 2 3 . 3 2 nnnnnnnnaanaanaanaanaaaa 解解：以以上上各各式式相相加加n1 a(234)(n+2)(n-1) =1+2 an 得得二、递推数列二、递推数列(shli)：条件条件(tiojin)：f（1）+ f（2）+ f（n-1）的和要可以求出才可用）的和要可以求出才可用第3页/共29页第四页，共30页。例例4： 12,

5、3,.nnnnnaaaaa 1 1已已知知中中，求求通通项项练：练： 122,2,.nnnnaaaaan 1 1已已知知中中，求求通通项项类型二、类型二、累乘法累乘法形如形如 的递推式的递推式1( )nnaf na123412312342322123211 3, 3, 3, 3 . 3 , 3 3 3333 2 3nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa 解解：以以上上各各式式相相乘乘得得1 2 3( -1)( -1)2( -1)2 2 3 2 3nn nn nna 条件条件(tiojin)：f（1）f（2） f（n-1）的积要可以求出才可用）的积要可以求出才可用第4页/共2

6、9页第五页，共30页。例例5： 111,21 .nnnnaaaaa 数数列列满满足足, 求, 求类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造等比数列分析：构造等比数列(dn b sh li)an+x，若可以，若可以观察观察x值更好值更好1 1、形如、形如1nnapaq通用方法通用方法(fngf)：待定：待定系数法系数法第5页/共29页第六页，共30页。2 2、形如、形如1nnapaAn B类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造分析：构造(guzo)等比数列等比数列an+kn+b，第6页/共29页第七页，共30页。3 3、形如

7、、形如21nnapaAnBnC类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析分析(fnx)：构造等比数列：构造等比数列an+xn2+yn+z，第7页/共29页第八页，共30页。4 4、形如、形如1nnnapaAqB类型三、形如类型三、形如 的递推式的递推式1( )nnapaf n分析：构造分析：构造(guzo)等比数列等比数列an+xqn+y，第8页/共29页第九页，共30页。例例6： 111,21nnnnnaaaaaa 数数 列列满满 足足 : :求求通通 项项 公公 式式取倒法构造取倒法构造(guzo)辅助数列辅助数列类型四、形如类型四、形如 的递推式的递推式1nn

8、npaaqar111n11n12111 221a11 2aannnnnnaaaaaa 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列111(1)221 21nnnnnaaan 第9页/共29页第十页，共30页。类型五、（类型五、（1）形如）形如 的递推式的递推式11nnnaAaB A例例7： 1113,33,nnnnaaaaa n n数数列列满满足足: :求求通通项项公公式式. .11111 33 133 133 -11333nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaannan 解解：是是以以为为首首项项，以以 为为公公差差的的等等差差数数列列（） 相除法相除法(chf)第1

9、0页/共29页第十一页，共30页。类型五、（类型五、（2）形如）形如 的递推式的递推式11nnnaAaB C相除法相除法(chf)11-3,35 2nnnaaaa n 1n 1求求变式：变式：第11页/共29页第十二页，共30页。类型五、（类型五、（3）形如）形如 的递推式的递推式11nnnnapaqaa例例8：1112,0,2.nnnnnnaaaaaaa已知且,求1111111 2 211 -211545 -1 (-2)-2222 45nnnnnnnnnaaaaaaaannnaaan 解解：是是以以为为首首项项，以以为为公公差差的的等等差差数数列列（）两边两边(lingbin)同除同除以以a

10、n+1an相除法相除法(chf)第12页/共29页第十三页，共30页。类型类型(lixng)六、（六、（1）形如）形如 的递推的递推式式1rnnapa分析分析(fnx)：取对数后构造等：取对数后构造等比数列比数列第13页/共29页第十四页，共30页。分析分析(fnx)：先转化后取对数再构造等比数列：先转化后取对数再构造等比数列类型六、（类型六、（2）形如）形如 递推式递推式1()rnnaxp ax 第14页/共29页第十五页，共30页。类型类型(lixng)七、特征根法、七、特征根法、不动点法不动点法（一）理论（一）理论(lln)部部分：分：21nnnapaqa第15页/共29页第十六页，共3

11、0页。类型类型(lixng)七、特征根法、不七、特征根法、不动点法动点法（一）理论（一）理论(lln)部分：部分：1nnnpaqarah第16页/共29页第十七页，共30页。类型类型(lixng)七、特征根法、七、特征根法、不动点法不动点法（二）特征（二）特征(tzhng)根法：根法：第17页/共29页第十八页，共30页。第18页/共29页第十九页，共30页。特征根解法特征根解法(ji f)如下：如下：第19页/共29页第二十页，共30页。试求斐波那契数列（兔子试求斐波那契数列（兔子(t zi)数列）：数列）：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 的通项公式的通项公式第20页/

12、共29页第二十一页，共30页。类型类型(lixng)七、特征根法、七、特征根法、不动点法不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：第21页/共29页第二十二页，共30页。类型类型(lixng)七、特征根法、七、特征根法、不动点法不动点法（三）不动点法：（三）不动点法：第22页/共29页第二十三页，共30页。不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助不动点法理论纯字母推导比较难，看一个具体的例题，帮助(bngzh)理解理解第23页/共29页第二十四页，共30页。特征根法对待定系数特征根法对待定系数(xsh)的妙用：的妙用：第24页/共29页第二十五页，共30页。类型八、其他类型八、其他(

13、qt)方法方法（一）开方（一）开方(ki fng)、平方法、平方法 求递推数列的通项的主要思路是通过转化求递推数列的通项的主要思路是通过转化, 构造新的熟知数列构造新的熟知数列,使问题使问题化陌生为熟悉化陌生为熟悉.我们我们(w men)要根据不同的递推关系式要根据不同的递推关系式,采取不同的变形采取不同的变形手段手段,从而达到转化的目的从而达到转化的目的. 第25页/共29页第二十六页，共30页。类型类型(lixng)八、其他方法八、其他方法（二）裂项叠加法（二）裂项叠加法第26页/共29页第二十七页，共30页。类型类型(lixng)八、其他方法八、其他方法（三）换元法（三）换元法第27页/共29页第二十八页，共30页。类型类型方法方法1、已知前几项、已知前几项观察法观察法2、已知前、已知前n项和项和Sn前前n项和法项和法3、形如、形如 的递推式的递推式累加法累加法4、形如、形如 的递推式的递推式累乘法累乘法5、形如、形如 的递推式的递推式待定系数法待定系数法6、形如、形如 的递推式的递推式取倒法取倒法7、形如、形如 的递推式的递推式相除法相除法8、形如、形如 的递推式的递推式对数法对数法9、形如、形如 的递