61函数一节教学案例 (2)

1、函数函数 “万物皆变万物皆变”，一行星在宇宙中的位，一行星在宇宙中的位置随时间而变化，人体细胞的个数随年龄置随时间而变化，人体细胞的个数随年龄而变化，气温随海拔而变化而变化，气温随海拔而变化这种一个这种一个量随一个量的变化而变化的现象大量存在。量随一个量的变化而变化的现象大量存在。为了更深刻地认识千变万化的世界，人们为了更深刻地认识千变万化的世界，人们经过归纳总结，得出一个重要的数学工经过归纳总结，得出一个重要的数学工具具函数，用它描述变化中的数量关系，函数，用它描述变化中的数量关系，应用极为广泛。应用极为广泛。 函数是刻画变量之间的关系的常用模型，函数是刻画变量之间的关系的常用模型，其中最为

2、简单的是一次函数。什么是函数？其中最为简单的是一次函数。什么是函数？他对应的图像有什么特点？用函数能解决他对应的图像有什么特点？用函数能解决现实生活中的那些问题？现实生活中的那些问题？ 你想了解这些吗？你想了解这些吗？ 让我们一起来走进函数世让我们一起来走进函数世 界吧！界吧！1.1.函数函数你去过游乐园吗？你去过游乐园吗？你坐过摩天轮吗？你坐过摩天轮吗？情境情境1 1如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？你离开地面的高度是如何变化的？ 当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在当人坐在摩天轮上时，人的高度随时间在变化，那么变化有规律变

3、化，那么变化有规律吗？吗？摩天轮上一点的摩天轮上一点的高度高度h h与旋转时间与旋转时间t t之间有一定的关之间有一定的关系，系，右右图就反映图就反映了时间了时间t(t(分）与分）与摩天轮上一点的摩天轮上一点的高度高度h h（米（米) )之间之间的关系的关系. . 你能从上图观你能从上图观察出，有几个变化察出，有几个变化的量吗？的量吗？（2）对于给定的时间）对于给定的时间t，相应的高度，相应的高度h确定吗？确定吗？（1）根据上图填表）根据上图填表t/分分012345h/米米31137453711答：答：2个变化的量，个变化的量，时间、高度时间、高度 瓶子或罐头盒等圆柱形的物体，常常如下瓶子或罐

4、头盒等圆柱形的物体，常常如下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？数是如何变化的？情境情境2 2填写下表填写下表层数层数n12345物体总物体总数数y1361015 一定质量的气体在体积不变时，假若温度一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到降低到-273-273，则气体的压强为零，则气体的压强为零. .因此，因此，物理学把物理学把-273-273作为热力学温度的零度作为热力学温度的零度. .热热力学温度力学温度T(K)T(K)与摄氏温度与摄氏温度t()t()之间有如下之间有如下数量关系：数量关系：T=t+273,T0.T=t+273,T0.

5、 （1 1）当）当t t分别等于分别等于-43-43，-27-27，0 0，1818时，相时，相应的热力学温度应的热力学温度T T是多少？是多少？ （2 2）给定一个大于）给定一个大于-273 -273 的的t t值，你能求值，你能求出相应的出相应的T T值吗？值吗？情境情境3 3（1）层数层数n12345物体总物体总数数y1361015（2）（3） T=t+273,T0.问题问题1 1：这三个实例中，都出现了几个变量？：这三个实例中，都出现了几个变量？问题问题2 2：这些变量之间有什么样的关系？：这些变量之间有什么样的关系？问题问题3 3：在这三个实例中，变量间的关系分别：在这三个实例中，变

6、量间的关系分别 是以什么形式来呈现的？是以什么形式来呈现的？2 2个变量个变量给定其中一个变量（自变量）的值，给定其中一个变量（自变量）的值，相应地就确定了另一个变量（因变量）相应地就确定了另一个变量（因变量）的值的值. .图像、列表、解析式图像、列表、解析式 一般地，在某个变化过程中，有一般地，在某个变化过程中，有两个两个变量变量x x和和y y，如果给定，如果给定一个一个x x值值，相应地就确，相应地就确定了定了一个一个y y值值，那么我们称，那么我们称y y是是x x的函数的函数，其，其中中x x是自变量，是自变量，y y是因变量是因变量. .关键词：两个变量 ,一个x值确定一个y值请指

7、出上述请指出上述3个实例的自变量、因变量个实例的自变量、因变量（1）层数层数n12345物体总物体总数数y1361015（2）（3） T=t+273,T0.议一议议一议 在上面我们研究了三个问题，在这三个问在上面我们研究了三个问题，在这三个问题中有哪些共同点？又有哪些不同点？题中有哪些共同点？又有哪些不同点？相同点：相同点：都研究了两个变量，并且其中一都研究了两个变量，并且其中一个变量是另一个变量的函数个变量是另一个变量的函数.不同点：不同点：在第一个问题中，是以在第一个问题中，是以图象图象的形的形式表示两个变量之间的关系，第二个问题式表示两个变量之间的关系，第二个问题中是以中是以表格表格的形

8、式表示两个变量之间的关的形式表示两个变量之间的关系，第三个问题是以系，第三个问题是以代数表达式代数表达式的形式表的形式表示两个变量之间的关系示两个变量之间的关系. 函数常用的三种表示方法：函数常用的三种表示方法：（1）图象法）图象法 （2）列表法）列表法 （3）解析法）解析法 1 1、图象法、图象法：用图象表示两个变量之间的函数关系。用图象表示两个变量之间的函数关系。它的优点是能够形象地显示出数据的变化规律，为它的优点是能够形象地显示出数据的变化规律，为研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似研究函数的性质提供方便，但所画出的图象是近似的、局部的，所以由图象确定的函数往往不够准确。的、局部

9、的，所以由图象确定的函数往往不够准确。 2 2、列表法：、列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表用表格列出自变量与函数的对应值，表示函数两个变量之间的关系。示函数两个变量之间的关系。它的优点是能明显地它的优点是能明显地显示出自变量的值和与之对应的函数值，但它只能显示出自变量的值和与之对应的函数值，但它只能把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，而不把部分自变量的值和与之对应的函数值列出，而不能反映出函数变化的全貌。能反映出函数变化的全貌。 3 3、解析法：、解析法：用自变量用自变量x的各种数学运算构成的式子的各种数学运算构成的式子表示函数表示函数y的方法叫做解析法。的方法叫做解析法。它的优

10、点是简明扼要、它的优点是简明扼要、规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所规范准确，便于理解函数的性质，但并非适用于所有的函数。有的函数。指出下列关系式中的变量与常量指出下列关系式中的变量与常量（1 1）球的表面积（）球的表面积（cmcm2 2）与球半径（）与球半径（cm)cm)的的关系式是关系式是RR2 2（2 2）以固定的速度）以固定的速度V V0 0（米秒）向上抛一个（米秒）向上抛一个球，小球的高度（米）与小球运动的时间球，小球的高度（米）与小球运动的时间（秒）之间的关系式是（秒）之间的关系式是V V0 0t-t-. .t t2 2常量与变量的概念：常量与变量的概念：常量：常量：在某

11、一变化过程中在某一变化过程中, ,始终保持不变的量始终保持不变的量变量：变量：在某一变化过程中在某一变化过程中, ,可以取不同数值的量可以取不同数值的量随堂练习随堂练习 课本p771、下列各题中分别有几个变量？你能将其、下列各题中分别有几个变量？你能将其 中某个变量看成另一个变量的函数吗？中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 若能，指出自变量的取值范围。若能，指出自变量的取值范围。（1） （3）在国内投寄质量为）在国内投寄质量为100g以内平信应付邮以内平信应付邮资如下表：资如下表： 课本p771、下列各题中分别有几个变量？你能将其、下列各题中分别有几个变量？你能将其 中某个变量看成另一个变量的

12、函数吗？中某个变量看成另一个变量的函数吗？ 若能，指出自变量的取值范围。若能，指出自变量的取值范围。随堂练习随堂练习信件质量信件质量m/克克0m2020m4040m6060m8080m100邮资邮资y/元元1.202.403.604.806.00 在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍将滑行仍将滑行S米，一般地有经验公式米，一般地有经验公式 ，其中，其中v表示刹车前汽车的速度（单位：千米表示刹车前汽车的速度（单位：千米/时）时）.（1）公式中有几个变化的量？）公式中有几个变化的量？计算当计算当v分别为分别为50，60，100时，相应的滑行距离时，相应的滑行距

13、离s是多少？是多少？2300vs （2）给定一个）给定一个v值，你都能求值，你都能求出相应的出相应的s值吗？值吗？随堂练习随堂练习xy4211、下列各题中分别有几个变量？你能写出、下列各题中分别有几个变量？你能写出 某个变量是另一个变量的函数的解析式吗？某个变量是另一个变量的函数的解析式吗？ （2）已知菱形）已知菱形ABCD的对的对角线角线AC长为长为4，BD的长的长x在变化，则菱形的面积为在变化，则菱形的面积为随堂练习随堂练习课堂自测课堂自测 （1 1）指出下列变化关系中，哪些）指出下列变化关系中，哪些y y是是x x的函的函数？哪些不是？说出你的理由。数？哪些不是？说出你的理由。 xy=2

14、 ( )xy=2 ( ) x x2 2+y+y2 2=10 ( )=10 ( ) x+y=5 ( )x+y=5 ( ) y=3x+1 ( )y=3x+1 ( ) y=xy=x2 2-4x+5 ( )-4x+5 ( )课堂自测课堂自测 （2）写出下列问题中的函数关系式，并指出）写出下列问题中的函数关系式，并指出其中的常量与变量。其中的常量与变量。 等腰三角形的顶角度数等腰三角形的顶角度数y与底角度数与底角度数x的关的关系式。系式。 时速为时速为110千米的火车行驶的路程千米的火车行驶的路程y（千米）（千米）与行驶的时间与行驶的时间x（小时）之间的关系式。（小时）之间的关系式。 底边长为底边长为1

15、0的三角形的面积的三角形的面积y与高与高x之间的之间的关系式。关系式。 某种弹簧原长某种弹簧原长20厘米，每挂重物厘米，每挂重物1千克，千克，伸长伸长0.2厘米，挂上重物后的长度厘米，挂上重物后的长度y（厘米）（厘米）与所挂上的重物与所挂上的重物x（千克）之间的关系式。（千克）之间的关系式。 某种饮水机盛满某种饮水机盛满20升水，打开阀门每分升水，打开阀门每分钟可流出钟可流出0.2升水，饮水机中剩余水量升水，饮水机中剩余水量y（升）与放水时间（升）与放水时间x（分）之间的关系式。（分）之间的关系式。下列各式中，都是自变量，则是不是下列各式中，都是自变量，则是不是的函数，为什么？的函数，为什么？

16、. x2 +3 . y2300 x xyx x（）. （） 小明骑车从家到学校速度是15千米/时，你能表示出他走过的路程s与时间t之间的变化关系吗？st0S=15t 路程s随时间t的变化的图象是什么？S是t的函数吗？S是是t的函数的函数 如果A，B间路程为200千米，一辆汽车从A地到B地行驶的速度v与行驶时间t是怎样的变化关系？vt0速度v随时间t的变化的图象是什么？V是t的函数吗？200vtV是是t的函数的函数 若正方形的边长为x,则面积y与边长x之间的关系是什么？ 面积y随边长x的变化的图象是什么？yxo面积问题y=x2xy是x的函数吗？y是是x的函数的函数挑战自我挑战自我1、小亮每天从家去学校上学行走的路程为、小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分米，某天他从家去上学时以每分30米的速度行走了米的速度行走了450米，为了不迟到他加快了速度，以每分米，为了不迟到他加快了速度，以每分45米的米的速度行走完剩下的路程，那么小亮行走过的路程速度行走完剩下