中考数学——圆的综合的综合压轴题专题复习及答案

1、一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图，已知4ABC中，AC=BG以BC为直径的。交AB于E,过点E作EG，AC于G,交BC的延长线于F.(1)求证：AE=BE(2)求证：FE是。的切线；(3)若FE=4,FC=2,求。的半径及CG的长.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)百【解析】(1)证明：连接CE,如图1所示： BC是直径，/BEC=90；CE!AB;又AOBC,AE=BE.(2)证明：连接OE,如图2所示： .BE=AE,OB=OC,.OE是4ABC的中位线，.OE/AC,AC=2OE=6.又EG，AC,.FEIOE,，FE是。的切线.(3)解：.EF是。的切

2、线，FH=FC?FB.设FC=x,贝U有2FB=16,FB=8,.BC=FBFC=8-2=6,.OB=OC=3,即。的半径为3;.OE=3.CG丁T-2T3,解得：CGJ.CGFCAA瓦一而 .OE/AC,AFCCGAFOE,.点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识.2.如图，已知4ABC中，AB=AC,/A=30°,AB=16,以AB为直径的。与BC边相交于点D,与AC交于点F,过点D作DE±AC于点E.(1)求证：DE是。的切线；(2)求CE的长；(3)过点B作BG/DF,交。O

3、于点G,求弧BG的长.【答案】(1)证明见解析(2)8-4百(3)4兀【解析】【分析】(1)如图1,连接AD,OD,由AB为。O的直径，可得AD±BC,再卞据AB=AC,可得BD=DC,再卞据OA=OB,则可得OD/AC,继而可得D已OD,问题得证；(2)如图2,连接BF,根据已知可推导得出DE=1bF,CE=EF根据/A=30°,AB=16,可2得BF=8,继而得DE=4,由DE为。的切线，可得ED?=EF?AE即42=CE?(16-CE),继而可求得CE长；(3)如图3,连接OG,连接AD,由BG/DF,可得/CBG4CDF=30,再根据AB=AC可推导得出ZOBG=4

4、5,由OG=OB,可得ZOGB=45,从而可得/BOG=90,根据弧长公式即可求得BG的长度.【详解】(1)如图1,连接AD,OD；.AB为。的直径，/ADB=90；即ADXBC,.AB=AC,BD=DC,.OA=OB,.OD/AC,.DEXAC,DEXOD,/ODE=ZDEA=90；.DE为。O的切线；(2)如图2,连接BF,.AB为。的直径， ./AFB=90,。 .BF/DE, .CD=BD,v1一 .DE=-BF,CE=EF2 /A=30；AB=16,.BF=8,.DE=4,.DE为。O的切线，ED2=EF?AE.42=CE?(16-CE),.CE=8-4石，CE=8+4V3(不合题意

5、舍去);(3)如图3,连接OG,连接AD,1.BG/DF,/CBG=ZCDF=30,°.AB=AC,/ABC=ZC=75；/OBG=75-30=45:.OG=OB,/OGB=ZOBG=45:b/BOG=90；本题考查了圆的综合题，涉及了切线的判定、三角形中位线定理、等，正确添加辅助线、熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键圆周角定理、弧长公式3.如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA,PB,PC.将PAB绕点B顺时针旋转90°到P'CB的位置.(1)设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求PAB旋转到P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分

6、)的面积；(2)若PA=2,PB=4,ZAPB=135°,求PC的长.TV【答案】(1)S阴影=4(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：(1)依题意，将/P'CB时针旋转90。可与4PAB重合，此时阴影部分面积二扇形BAC的面积-扇形BPP的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90。，可据此求出阴影部分的面积.(2)连接PP；根据旋转的性质可知：BP=BP；旋转角ZPBP'=90°,则4PBP是等腰直角三角形，/BP'C=/BPA=135,/PP'C=/BP'C-ZBP'P=135°-45=90

7、°,可推出PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长.试题解析：（1）,将4PAB绕点B顺时针旋转90°到AP'C的位置,SapaefSap'cej,E22s阴影=s扇形BAC-S扇形BPP=斗（a2-b2）；（2）连接PP,根据旋转的性质可知：APBCPB.BP=BP',=P'C=PA=2PBP'=90°PBP是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32;又/BPC=BPA=135,.1./pp'cep-abpP=1355°=90；即APP'是直角三角形.P

8、C=引考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质.4.在。中，点C是Q上的一个动点（不与点A,B重合），/ACB=120,点I是/ABC的内心，CI的延长线交。0于点D,连结AD,BD.D（1）求证：AD=BD.（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.（3）若。的半径为2,点E,F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI,理由见解析（3）逅9【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分/ACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据/ACB=120,/ACD=/BCD,可求出/B

9、AD的度数，再根据AD=BD,可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明/BID=/IBD,得出ID=BD,再本艮据AB=BD,即可证得结论；(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E,F是弧AB?的三等分点，ABD是等边三角形，可证得随之运动形成的路径长.详解：(1)证明：二.点I是/ABC的内心.CI平分/ACB/ACD=ZBCD弧AD=MBD.AD=BD(2)AB=DIDAIi=/AIiD,然后利用弧长的公式可求出点I弧BD=MBD/DAB=ZBCD=60

10、°.AD=BD.ABD是等边三角形，.AB=BD,/ABD=/C.I是4ABC的内心BI平分/ABC/CBI=ZABIZBID=ZC+ZCBI,/IBD=/ABI+/ABD/BID=ZIBD.ID=BD.AB=BD.AB=DI(3)解：如图，连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DIi为半径的弧 /ACB=120，弧AD=MBD /AED/ACB*X120=60°Ji-a:圆的半径为2,DE是直径.DE=4,/EAD=90°，AD=sin/AEDXd£X4谒 点E,F是弧AB?的三等分点，ABD是等边三角形，/ADB=60&#

11、176; 弧AB的度数为120；弧AM、弧BF的度数都为为40°/ADM=20=/FAB/DAIi=ZFAB+ZDAB=80°/AIiD=180°-ZADM-/DAIi=180-20-80=80°/DAIi=ZAUD.AD=IiD=2,Prrr一23r口324几弧I1I2的长为：一二二-V-1809点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透5.如图.在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上，AP=10cm,点E从点

12、P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH使它与4ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t(s)(0vtv20).(1)当点H落在AC边上时，求t的值；(2)设正方形EFGH与4ABC重叠部分的面积为S.试求S关于t的函数表达式；以点C为圆心，1t为半径作OC,当。C与GH所在的直线相切时，求此时S的值.29t2?(0t2)72_.【答案】(1)t=2s或10s;(2)S=-t50t50(2t10);100cm2.t240t400

13、?(10t20)【解析】试题分析：(1)如图1中，当0vtW5时，由题意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2;如图2中，当5vtv20时，AE=HE,2t-10=10-(2t10)+t,t=10;(2)分四种切线讨论a、如图3中，当0vtW2时，重叠部分是正方形EFGHS=(3t)2=9t2.b、如图4中，当2vtW5时，重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中，当5<t<10时，重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中，当10vtv20时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可；分两种情形分别列出方程即可解决问题.AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2如图2中，当5v

14、tv20时，AE=HE,2t-10=10-(2t10)+t,t=10.综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上.2=9t22(5t-10)272cct2+50t-50.S=(20-t)2-(30-3t)2272cc一t2+50t-50.2如图6中，当10vtv20时，重叠部分是正方形EFGHS=(20-t)2=t240t+400.29t2?(0t2)72综上所述：S=1250t50(2t10).22t240t400?(10t20)当5<t<20时,如图7中，当0vtW5时，L+3t=15,解得：t=竺，此时S=100cm2,271-t+20-t=15,解得：t=10,此时S=

15、100.2综上所述：当OC与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题.6.如图，已知在4ABC中，/A=90：(1)请用圆规和直尺作出OP,使圆心P在AC边上，且与AB,BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明).(2)若/B=60°,AB=3,求。P的面积.【答案】(1)作图见解析；(2)3兀【解析】【分析】(1)与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作/ABC的角平分线，角平分线与AC

16、的交点就是点P的位置.(2)根据角平分线的性质和30。角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积.【详解】/ABP=30,°/A=90;BP=2APRtAABP中,AB=3,由勾股定理可得：AP二百，.Sop=3兀7.如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E点F是BD上一点，连接EF,分别交AB、BD于点G、H,且EF=BD.求证：EF/BC；(2)若EH=4,HF=2,求BE的长.A2【答案】(1)见解析；(2)233【解析】【分析】(1)根据EF=BD可得ef=BD，进而得到BE二DF，根

17、据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据荏同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而求出/BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据/DFH=90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)EF=BD,EF=BDBE=DF/D=/DEF又BD=BC,/D=/C,/DEF=/CEF/BC(2) .AB是直径，BC为切线,ABXBC又EF/BC,.ABEF,弧BF=MBE,1GF=GE=a（HF+EH）=3,HG=1DB平分/

18、EDF,又BF/CD,/FBD=/FDB=/BDE=/BFH,-.HB=HF=2HG1cos/BHG=,/BHG=60.HB2/FDB-/BDE=30°，/DFH=90；DE为直径，DE=4点,且弧BE所对圆心角=60°.1=2=弧BE=-X45/3=a/363【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键8.AB是。O直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P,如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD,交PB的延长线于D,已知AB5,BC：CA=4：3

19、.(1)求证：ACCD=PCBC;(2)当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】(1)证明见解析；(2)CD=14Y2；(3)当PC为。直径时，4PCD的最大面积50.3【解析】【分析】(1)由圆周角定理可得/PCD=/ACB=90,可证ABJPCD,可得再型,即可得CPCD证.(2)由题意可求BC=4,AC=3,由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC?CD=PC?B(CT求CD的值；14当点P在ab上运动时，S.ipcdPCCD，由(1)可得：CDPC,可得23c1一4一2-2

20、SpcdPC-PCPC,当PC最大时，PCD的面积最大，而PC为直径时最233大，故可求解.【详解】证明：（1）/ACB=90 PCXCD,/PCD=90°/PCD=/ACB,且/CAB=ZCPB .ABCAPCD.ACBCCPCD .AC?CD=PC?BC(2)AB=5,BC:CA=4:3,ZACB=90°.BC=4,AC=3,当点P运动到AB的中点时，过点B作BE,PC于点E点P是AB的中点，/PCB=45；且BC=42-.CE=BE=一BC=2.2/CAB=ZCPBBCtan/CAB=AC-=tan/CAB=3PEPE=2PC=PE+C曰3-2+2.2=7-222.A

21、C?CD=PC?BC八72,-.3>CD=X42142CD=31（3）当点P在AB上运动时，Sapcd=->PC>CD,2由（1）可得：CD=4PC31 一4一2Sapcd=PCPC=PC,2 33当PC最大时，APCD的面积最大，2250当PC为。直径时，PCD的最大面积=-x2=33【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC的长是本题的关键.9.如图所示，ABC内接于圆O,CDAB于D；（1）如图1,当AB为直径，求证：OBCACD;（2）如图2,当AB为非直径的弦，连接OB,则（1）的结论是否成立？若成立请证明,不成立说

22、明由；（3）如图3,在（2）的条件下，作AEBC于E,交CD于点F,连接ED,且ADBD2ED,若DE3,OB5,求CF的长度.图I图2图3【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）5【解析】【分析】（1）根据圆周角定理求出/ACB=90,求出/ADC=90,再根据三角形内角和定理求出即可；(2)根据圆周角定理求出/BOC=2ZA,求出ZOBC=90-/A和/ACD=90-/A即可;(3)分别延长AE、CD交。于H、K,连接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延长CG交AK于M,延长KO交。O于N,连接CN、AN,求出关于a的方程，再求出a即可.(1)证明：.AB为直径,ACB90,CDAB

23、于D,ADC90,OBCA90,AACDOBCACD;(2)成立，证明：连接OC,OCOB,_1“OBC180BOC2ADC90,ACD90A,OBCACD;11802A902(3)分别延长AE、CD交。于H、K,连接HK、CH、AK,AEBC,CDBA,AECADC90,BCDCFE90,BAHDFA90,CFEDFA,BCDBAH, 根据圆周角定理得：BAHBCH,BCDBAHBCH,，由三角形内角和定理得：CHECFE,CHCF,EHEF,同理DFDK,DE3,6,HK2DE6,在AD上取DGBD,延长CG交AK于M,则AGADBD2DEBCGC,MCKBCKBAK,CMK90,延长KO

24、交。O于N,连接CN、AN,则NAK90CMK, CM/AN,NCKADK90, CN/AG,四边形CGAN是平行四边形，AGCN6,作OTCK于T,则T为CK的中点，-O为KN的中点，八1.OTCN3,2OTC90,OC5,由勾股定理得：CT4,CK2CT8,作直径HS,连接KSHK6,HS10,，由勾股定理得：KS8,tanHSK-tanHAK,4,1,tanEAB-tanBCD3，设BDa,CD3a,1ADBD2EDa6,DK-AD3CDDKCK,C13aa28,3,一9解得：a5DK135CFCK2DK261455本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大.10.如图，AB为。的直径，DA、DC分别切。O于点A,C,且A