课程四高中数学新课程中可选内容的分析与思考

1、课程四：高中数学新课程中可选内容的分析与思考 第一课 作者： 高中数学课程专家    评论数/浏览数： 480 / 1476    发表日期： 2011-07-25 12:13:49  给作者发送信息 | 推荐此文章 | 添加到收藏夹课程四：高中数学新课程中可选内容的分析与思考第一课时    对“选择性”的思考和认识角色姓名单    位主持人张思明北京大学附属中学 特级教师评论嘉宾王尚志首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组负责人评论嘉宾张怡慈首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组

2、负责人特邀嘉宾檀晋轩北京第十九中学 高级教师特邀嘉宾邵文武北京第八中学 硕士主持人：各位老师大家好！欢迎大家参加高中数学新课程远程研修。今天我们非常荣幸的请到了两位嘉宾，我身边的这一位是首都师范大学教授张饴慈教授，那边那位是首都师范大学的教授、博士生导师王尚志。他们两位都是参加了我们高中数学新课程标准的研制以及参加了高中新课程标准教材的编写，都是负责人之一。那么我想他们两个的参加，为我们研讨提供了非常好的理论和实践的保证。我们这一讲的主题是对高中数学新课程可选内容的分析和思考。在这一讲里头我们要涉及高中数学新课程增加了很多选学的内容，如何选择这些内容？选择了以后，我们要做哪些分析？怎么样处理在

3、选择中的一些问题？这里头我们也会给老师们提供一些案例，也要加上一些分析，特别是我们这一部分内容，对很多老师都有特别新或者比较生疏的感觉，怎么来处理这些矛盾？怎么来提高自己对这些选择性内容的认识和识别？我想这是一个很重要的问题！我们来看这样一个采访，看看老师们是怎样看的：各位老师好！在我们一起座谈的过程中，我们也感受到了高中新课程增加了很多新的内容，特别是选三选四有很多新的模块，作为一个老师，在他自己的学习生涯里头，不可能或者说很难把这些内容都学过。但是我们面临进入新课程以后，每个老师都有这种选择，要选择一部分内容去教，也要先去学。我想问大家，如果给了你这个机会你希望选择哪些内容？毕：我喜欢选数

4、学史，我觉得这个数学史很容易激发学生学习数学的兴趣，使他明白数学是怎么来的，每一个知识点，每一个过程都是怎么样得到的，也会培养他一种科学的精神。李：如果我去选，我可能更会选择一些与学生生活更为相关，或者是更能体现数学价值的一些内容。比如说信息安全与密码、象布尔代数与开关电路，这些内容更容易去激发学生学习数学的这种兴趣，也更有利于学生去认识数学在生活当中应用价值和指导意义。郗：经历过多年的教学以后，大学学的内容遗忘的也比较多。因此我在看这些个选修内容的时候，我觉得对我来说可能都是比较新的、陌生的，但是我觉着这一轮的课程改革，对每一个年轻教师来说，都存在着一个机遇和挑战的问题。这个机会我想也是促进

5、教师专业化发展的一个途径，所以虽然他们都是新的，但是我从中还是选择了一个。但是在学的过程当中，我发现其实一开始感觉难，但是后来觉得也不是特别难，只要自己能够去钻研，在教学过程当中不断地去摸索，实际上还是可行的。刘：我是比较年轻的教师，我们在年轻教师队伍当中，有一些是高学历的教师，以前很多老师认为这样高学历的老师到中学来教书，是不是就没有用武之地，我觉得这个新课程的改革恰好给了我们一个很好的一个展现的舞台。在这里我们通过研究生、甚至是博士生这个阶段所学的内容，在中学当中有一些简单的介绍。这个时候就可以利用我们专业上的一些优势，把这样的课程开设起来，然后让有这种能力的学生对咱们数学知识更高层次上的

6、内容有所了解，这可以激发学生对数学的兴趣。比如说欧拉公式与闭曲线分类，这些可能很多老师在大学阶段是没有学到的，而我们在研究生阶段学过这部分内容，所以开设起来可能更容易一些，这个时候就充分发挥了年轻教师的一些优势。马：当一看到选三选四这16个专题的时候，很容易望文生畏，比如说信息安全与密码、开关电子与布尔代数，大家会提出这样的质疑，说这些课程有的在大学的数学系都不能开出来，我们作为中学老师怎么可能讲给学生听呢？在这里我想说一下这16个专题，并不是简单地把大学的内容的下放，而是利用学生初三的那个认知的基础上来编写的这些相关的教材，如果我要去中学讲这个选修课的话，我想根据现在咱们经济生活的这个形势，

7、大家比较喜欢投资，比较喜欢炒股，所以我想给学生开设风险与决策这门课，可能学生会比较感兴趣。这门课学生有可能他学到的知识，并不能直接运用于咱们现在的经济生活，但是他能够通过学这门课使学生产生对于数学的兴趣，学生对数学感兴趣了，以后的数学学习可以说就会省很多的劲，很多学生也就因此开窍了。陈：我觉得对于我来说，作为一个年轻老师，所有的选修课都应该要开，有些课虽然说原来大学学得也不是很深甚至没学过，但是我们有前面的大学的数学做基础，可以进一步地学习，然后去解决这些问题。对于我个人的爱好来说，我偏向于开初等数论初步和三等分角及数域的扩充、初等数论。主要是原来我给学生讲数学计算的时候，涉及过这里面的一些东

8、西，觉得这里面它虽然涉及的知识点不是特别多，但是它有很多想法，能够渗透一些数学的智慧在里边，对于三等分角及数域扩充，因为这个原来我上大学的时候这块也挺感兴趣，而且觉得这里面有很多能够体会数学的内容的一些东西，所以我喜欢开这两门课。主持人：大家都看到了，在这个采访中，老师们都有很多的想法，特别是表现出了一种青年教师的一种朝气。很多老师都说我自己一定要努力，尽快适应高中新课程，在这个过程中跟课程一起成长，我觉得这种心态和这种要求非常值得我们赞赏。我们也可以请嘉宾帮我们分析一下，在新课程中增加了这么多的内容，是出于怎样的考虑？王尚志：我先来说一下，就是首先谈一下选择性的问题。这次高中课程改革的一个最

9、大的一个突破，就是在选择性上，这个选择性包括这么几个层面，一个就是领域的划分，不同领域的选择；另一个就是某一个学科里都提供了一个比较广泛的一个选择空间，那么这个选择性的作用，我想大家都比较清楚，随着时代的发展，使我们的社会对于人选择能力提出了越来越高的要求，过去都是包分配的，现在是要自己找工作的。因此要选择适合于自己的工作，能够发挥自己优势的工作，那么这样的选择能力，不是一蹴而就的，需要我们从高中阶段就开始培养和树立选择的能力和一种选择的意识，或者我们更进一步说叫做把握人生的能力。所以我想这一件事情，是一个非常重要的一个突破。作为数学课程标准，在选择性上也做了一些探讨，关于选修一和选修二系列的

10、内容，我们已经做了介绍，现在就着重谈一下选修三、选修四系列的设定的一个基本情况。当初我们都参加了课程标准的研制。我想这个选择性内容的选择，经历了这么一个过程，首先大家都知道我们国家的著名的数学家华罗庚先生、段学富先生以及现在著名的数学家姜伯驹先生等等，他们都为中学生在60年代的时候写出了一批非常好的小册子，比如说从祖冲之的圆周率谈起、对称与群、杨辉三角、一笔划问题等等。那么这些实际上影响了一代人的成长，我个人也是在这样的，读这样一些书的过程中成长起来的。我们前后届都是这样一个过程，我们谈论起这些书对于我们影响的时候，都感受到这个书对我们开阔眼界，提高素养起了很重要的作用。另外一个方面，我们当时

11、借鉴了俄国和欧洲一些国家为他们的学生开设的选课，应该说他们开出来的选课是非常丰富的。我们都知道俄国有一个特殊的一些学校叫做物理学校。他们就为学生开设出了很多和近代数学、近代物理学有关的许许多多的选择课程，以此来开拓学生的眼界，促进学生的发展。那么在欧洲，象在芬兰和其他一些欧洲的大国也都开出了一些相应的选择课程，所有这些都是我们构建选择课程的基础。我们广泛的征求我们国家数学界的数学家、应用数学家、还有大学数学老师的意见。张怡慈：我们现在这一次跟60年代华先生那一代他们还不太一样，就是当时他们是主要针对一些对数学特别有兴趣的人开设的，而我们需要对广大的高中生开设的，比如说包括应用数学方面的和更广一

12、些，甚至数学史方面这些内容。我们开了很大的一个单子，征求意见，然后再让这些数学家们来发表意见，对每一个同意开还是不同意开，为什么同意开，做了这样一个广泛的调查，最后我们初步确定了是现在这样的一些。然后我们就在中学不同层次的学校做了试验。王尚志：对，我们开设了这些课程，向这些学生征求了一些意见，也有一些中学老师和我们一起去开了这个课程，并且做了调整，最后又在我们标准内部，又报告了这些内容，然后经过了一个反复的讨论，最后又经过审查委员会的审查，他们也提出了他们的修改意见。所以大体上经历了这么一个过程。从现在来看，可能我们最近又听到了新的意见，那么教育部希望采取一个分布推进的一个策略来逐步的拓展选择

13、的空间，比如说现在希望在中学大概有十个选择课程，包括几何论证选讲、不等式选讲、坐标系参数方程、优选法与实验设计、初等数论、矩阵与变换、风险与决策、数学史选讲、对称与群、球面几何大概这十个。对于其他的想经过一段时间，再逐步的拓展。现在也有这么一个想法，也可能会逐步的再拓展个别的也有可能做一些调换。我想这个是比较客观的，也是很对的一个做法。而且对于一些学校来说，也不要求这些学校一下子把所有这些课程都开齐，也是有一个逐步的过程；对于一个老师来说，也不要求他一下子把所有的课都开齐，也是有一个逐步的过程。就是我想无论是教研室，无论是学校，都可以订立一个计划逐步的开展选修的课程。目前在实验区陆续的在扩大选

14、修的范围，比如说广东他们对于选修课程采取了文科是一选一，理科是二选一；宁夏回族自治区理科是六选一等等。那么北京又提出了新的举措，希望在示范学校能够开出选修课程的60%，并且要求示范学校一定要带这个头，比如说像二中、四中、人大附中、北大附中，都在订立自己学校开设选修课程的计划，并且分别要落实到人，我想有一批中青年老师开设选修课程的积极性非常高，拿四中来说，这已经成为他们学校发展的一个传统，我想其他的学校也都设立了不同性质的校本课程。我想他们会把选修课程和校本的开发有机的结合起来，不断地拓展开设选修课的空间，另外一点就是选修课程的开设，对于教师的专业成长的确也是一个非常好的载体，我觉得开和不开还是

15、不一样的。主持人：我们现在的很多老师也是这样的，比如我们这个课程组的老师，很多老师都是通过开选修课以后，就形成自己的特色品牌，像我们一会儿来做教材分析的檀晋轩老师，他不仅开了而且参与了教材的编写。我们还有很多青年老师，在学校里头刚分配来一年、两年，但是他对新的这些内容非常熟悉，把这个选修课作为自己在学校的一个品牌创立起来，同时也通过这个研修形成了自己的一些教学风格，比如说像这个矩阵变换，讲数学史的老师，他文理交融，能很好的发挥自己的特长，发挥自己个性的一些特长领域。王尚志：所以在开设选修课的过程中，我们还面临这样一个挑战，就是不考的开不开，我想以数学史选讲为例，那么很多老师确实有这样的障碍，认

16、为这个高考不考，我们还需不需要开设。但是也有一部分老师，做了非常好的尝试，他们通过试一试，愿意开设这门课程。现在很多学校都开出数学史选讲这门课程，我觉得这是一个很大的发展，我听李文林老师说最近他们参加数学史教学研讨会的人数突然的增加了非常多。很多中学老师都参加了他们的会议，并且介绍自己在开设数学史选讲的一些经验和体会。我们在下一讲希望邀请李文林老师来参与我们的活动，我想开设数学史选讲虽然不会考，但它会起到非常好的作用，激发学生的学习热情，激发学生的学习兴趣，体会数学的学习本质。张怡慈：有一些选修课，当然功利的看不是高考的问题，但是我想这些课的开设，对学生的能力培养还有很大的好处。比如像对称与群

17、，福州的八中它就还没有进入这个课程它已经就开了，北京四中也已经开了。他们老师和学生反映，都是非常非常好的。从培养一个人来说，我想这一次选择性的设立，无论对学生还是对老师都是有非常好的一个作用。当然具体的操作的话，将来可以有修订修改。王尚志：我觉得这是非常好的一个方向。比如说我举一个例子，首师大附中，虽然还没有进入这个新课程，但是他们一个刚毕业的老师就开设了矩阵与变换，效果非常好。开设课老师跟我说，她说我发现有些过去对数学没有兴趣的同学，通过上这样的一个选修课，变得对数学有兴趣了，学习成绩也发生了一定的变化。而这个老师恰恰是毕业时间不长的一个老师，我们还会邀请她来参加我们的讨论。所以我想开设选修

18、课的过程也可以看作是一个老师成长的过程。主持人：两位老师对开设选修课的必要性和可能性、可行性都做了分析。我想很多老师都关心我们实验区对于选修课的评价，怎么考？用什么方案去考？这方面有哪些举措？我们想请课程中心的马芳华老师给我们大家做一个介绍。马芳华：请见附件：41高中新课程实验省市数学高考方案马芳华.ppt主持人：刚才马芳华老师把实验区里的一些典型省份的高考的对于选修课的这种考法，做了一个初步的介绍。当然我们想象随着实验区的扩大，更多的省市会拿出更积极的方案，我们也从这个方案中看到这种态势，您说呢？王尚志：是的！我想随着时间的推进，选择的空间会逐步的扩大。我们也衷心的希望高考的命题者能够和我们

19、一线的老师一起来研讨，如何在高考中出好选修课专题的考试题。这样能够更加积极的推动选修课的开设。我想这是一个非常重要的，也是我们积极期待的一件事情。主持人：我们很多老师也都认为选修课自己上大学的时候没有学过，所以看着这个“选“就觉得和”难“联系在一起，其实未必是这样。我们下面将通过一些具体的案例，也来解剖两个具体的麻雀。我们就选了两个选修课的重点内容，就是选的频率比较高的内容，一个是矩阵和变换，还有一个是数学史。我们想听一听一线的老师在参与这些教学设计和教学实践的时候，他们对这两个选修内容的分析和他们的体会。下面请北京的檀晋轩和邵文武两位老师，来做的矩阵单元的整体教学分析。檀：对于矩阵与变换，邵

20、老师帮我们来分析一下矩阵与变换在高等数学中具有怎样的地位和作用。邵：应该说矩阵的学习在代数学习课程中占有举足轻重的地位。因为现在从大学的课程安排来看，无论是工科学生还是理科学生，都要学习线性代数的知识。特别在现在一些高等院校中，一些文科院系也开展了高等数学，那么线性代数也是其中一个严重内容之一。因此实际上所有学生如果升入大学以后很多都要接触到线性代数。那么矩阵就是其中一个研究内容之一。所以我们现在把这个课程想引入高中课程，另外一个作为抽象的数学对象之一，矩阵实际上是很抽象的，但把矩阵研究清楚之后，学生如果继续想学习数学里边一些知识，那矩阵又将作为一个具体的实例出现，所以说它具有广泛的应用性，还

21、有一个基础性作用，是其他学科一些基础知识不能替代的。檀：正因为矩阵在高等数学中具有这样的地位和作用，因此新课程标准中，就把矩阵作为一个内容引入到高中的课程中来，那么一方面是希望学生能够在中学阶段就极早的接触和了解一部分高等数学的知识和内容，是通过课程改革使学生能够开拓数学视野。邵：既然这样看的话，檀老师你怎么认为如果在高中开设这门课程和在大学开设这门课有哪些不同，应该怎么去处理。檀：我想是不一样的！在大学中矩阵主要是以抽象的代数的角度，那么把矩阵作为一个代数的运算对象从抽象一般的矩阵出发来研究矩阵的运算，以及它相关的一些运算性质。而在高中阶段，我们只限于二阶方阵。对具体的二阶方阵研究，主要是研

22、究它与平面向量的乘法以及二阶方阵自己的乘法。那么又由于二阶方阵与平面向量乘法具有非常明显的几何意义，因此我们在中学阶段应该突出它这几何意义，并且从几何意义的角度来讲。希望学生能够从几何上更加直观的去感受矩阵的相关运算性质。邵：说到这里我们想对比一下，矩阵在高中有一个认识，在大学同样有另外一个认识。但现在这门课程既然在高中开设的话，那我们要认识清楚到底怎么来开设？实际上这门课程设置主要目的之一还是想讲矩阵，是想讲矩阵的相关运算和性质，但是因为其本身非常抽象，作为高中来讲它无论在知识，还是接受能力等发面都有一些欠缺。这样课标要求我们从线性变换角度来讲矩阵，所以说实际上通过二阶方阵的几何背景来了解矩

23、阵，因此自始至终我们如果要讲矩阵的话，都应该把矩阵看成一种运算，但是把几何变换看成一种背景。从这个角度去理解，这样说的话就有一个问题，我们在讲授这门课的时候，不能把它认为是一门几何课程。这个和我们现在另外一个分支是不同的，比如说解析几何，解析几何是用代数的方法来研究几何。矩阵与变换，我们是想研究代数的知识，而是通过几何背景来介绍和学习。檀：邵老师主要提出来的是矩阵和向量在教学中的一个定位，和它在整体的教学中的一个突出的主线。实际上作为大学的一个非常抽象的内容，它引入到高中作为一个专题来进行教学的话，对于高中的学生是有一定的困难。这个困难我想可能来自于几个方面：一个方面首先作为一种非常新的运算对

24、象，它的运算定义的形式以及它的很多的性质，是学生初次遇到。比方说对于乘法的不交换性，学生从未见到过，因此学生在接受这个问题的过程中，他首先有非常大的困惑；另外对于这一门课程它本身，对于在变换中的不变性。比如说在矩阵的特征向量和特征值这个问题上，从概念的理解以及它相关的运用被学生掌握起来都是非常困难的。那么邵老师对这个方面有什么样的一些设想？邵：要想就是解决这个问题的话，因为矩阵本身具有一些自己的难点，所以我们讲的时候，首先一个进行处理的方法是要分散难点。比如说应该在多种场合对同一个知识点进行渗透，或者说先给出一些铺垫。比如说在最开始研究几何变换的时候，就可以给出特殊向量中一些简单的例子，让学生

25、从感性上加以认识，但是并不给出具体的定义，也就是说通过具体在研究反射变换、伸缩变换这样一些具体的矩阵变换过程中，可以提出一些个相关的问题，使学生去初步通过运算去感受在这运算下的一些不变性质，或者说把他们作为其中一些特殊的例题或者例子出现，让学生先认识。这样在你真正讲这个定义的时候，学生已经有了一个认识，然后通过一些大量的感性认识，再引导学生进行抽象概括，这样讲起来可能会更好一些。还有一个比如说我们最后讲特征向量到底怎么应用，我可以先讲应用，说这个向量如果讲完以后它具有这样的性质。在运算过程中我可以简化很多运算，让学生先从它的具体的实际意义来理解，理解以后再反过来讲它其他东西，比如说怎么样求特征

26、向量，这样可能会更清楚一点。便于学生把这个难点克服。檀：当然另外我们还可以对大量的复杂的矩阵运算，借助一些相关的运算工具，比如一些手持的计算工具，以及计算机中的Excel等等一些程序，我们都可以完成一些复杂的运算。这样的话在学生初步掌握了运算的规律基础上，他可以通过这种结果去观察和深入研究运算中所蕴涵的一些性质和运算的规律。邵：因为信息技术现在，也是课标的一个要求。我们可以把这部分加进去更加体现出几何直观性，来了解矩阵相关知识。檀：实质上对于这个专题的内容而言，并没有太大的难度，初中毕业的学生就可以能够开始掌握。所以高一开设是完全可以的，但是如果要是在高一开设的话，势必要补充适当的向量、平面向

27、量的相关知识，因此要拿出一定的课时在之前对学生，在平面向量中给予适当的铺垫。邵：如果这个课要是在高二开的话，可能效果会更好一点，这是我们个人认为，当然不是说非得强求。因为这个时候学生所需基本知识已经具备了。比如说向量我已经讲过了，另外学生经过一年的高中学习，数学能力要比高一学生强得多，这样接受起来可能更容易一些。同时如果在高二开设这门课程的话，它实际还可以帮助学生理解另外一些概念，比如说我们在这里要求，把矩阵看成一种映射，是平面点到平面的话，这样可以加强对什么叫映射。给出一个具体实例，还比如说在这里边实际有一个逆矩阵，就可以和函数里边的反函数相对，反函数虽说课标里已经降低要求，但你给出具体实例

28、，理解起来可能更容易一些。当然还有一些其他拓展，这样的话可能就是会更好一些，效果是不一样的。矩阵作为一个新的课程内容，是在以前的学习过程，或者说要求是从来没有的。作为一种现代社会的研究对象，是第一次把它下放高中，而这个实际上并不是第一次，那我们现在已经把微积分的一些知识，还有概率统计的一些知识下放到高中了。同样那门课从现在讲课效果来看的话，已经取得了一定的成果，或者一定进步。而我相信如果老师能够把这部分处理比较好的话，矩阵这门知识同样可以讲的好，而现在根据我们了解的信息的话，在一些省市实际上这门课开的情况确实不错。檀：北京也有很多的学校早已经在新课程进入之前，已经尝试着开设了这门课程。邵：还有

29、一个问题就是刚才跟一个老师了解的话，就是老师可能在备课过程中要遇到一些困难。因为这门课是新的，但是学生接受起来是比较容易的。这样的话可能对学生从成功感的感觉来说，可能会更好一些。所以我们希望老师能把这门课开好。主持人：好！ 看了两位老师做的矩阵单元分析。我想请张教授来分析一下，这个矩阵单元的内容你觉得应该怎么看待把握？张怡慈：我想就我们中学的矩阵的定位，把它再说一下。我想可能我们要分六个层面来理解这一部分，就它的层次来说，首先第一个层次就是我们要认识到矩阵它把平面上每一个点变到了另外一个点，另一个点当然可以跟它是一样的，并且知道是怎么变的，然后从这就提高到，我们矩阵它把平面上每一个点变到了平面

30、上另一个点。王尚志：对于矩阵是平面到平面上的一个变换，希望老师不要一蹴而就，这是需要一个比较长时间的积累，才能帮助学生形成这样一个意识。因为在义务教育阶段，我们常常谈的是图形的运动，一个图形变到另一个图形。另外一个方面实际上它是一个变换下完成的这样一个运动，所以我想老师应该特别注意这一点，就是要强调变成整个平面的点。第二个层次的话，我们讲的是几个常见的矩阵表示的变换。这有两个层次，第一就是加深对前面矩阵变换的理解；第二我们把过去常讲的压伸、旋转、反射等等这些变换，通过在这一段里头让学生对它有一个理解。知道我们矩阵可以表示这样一些变换，通过对这些变换的理解来掌握第一部分矩阵与变换的问题。我们在这

31、一部分，就是通过几何的图形平面的点来体会变换。我们希望学生、我们的老师都能够认识到。王尚志：在讲这个层次的时候，有两个角度，一个是张老师刚才强调的几何的角度，特别是常常有的老师愿意选择在第一象限的一个正方形，在这个变换下变成一个什么样的图形。那么第二个角度，也需要从代数上来体会，第一个坐标变了没有？第二个坐标变了没有？第一个坐标变了多少？第二个坐标变了多少？第一个坐标的变化？是由第一个坐标产生的？还是由第一个和第二个坐标混合产生的？等等。我想这一些都是我们老师在教学的过程中应该给予关注的。而且我们要在这一部分的最后，把我们的变换要总结起来，实际上我们希望要认识到这个矩阵是一个线性变化，要通过实

32、例对矩阵是一个线性变换进行认识，并不是所有的变换都在这表示这个，线变化是能把直线变成直线。张怡慈：第三个层次，我们要讨论矩阵和矩阵之间的关系，也就是变换和变换之间的关系，也就是在数学上表示成矩阵的乘法。我们要让学生们清楚矩阵乘矩阵还是一个矩阵，它表示的是连续实施两次变换。面对从代数的角度来认识这样一个变换，在这里，我们知道这个变换乘法跟我们过去学的乘法有很大的不同：第一次出现了没有交换律的乘法，这一点也是对于学生认识理解运算有好处的。因为过去总觉得交换律是一个显然的事情，一直到向量。到这第一次出现了乘法不适合交换律。王尚志：也可以从几何角度来认识，这个矩阵为什么乘法会没有交换律，也就是选转后压

33、缩和先压缩后旋转结果是不一样的。张怡慈：第四个层次，我们要讲逆变换，也就是逆矩阵，也就是这个变回来的变换是一个什么样的变换？我们还是用我们前面第二层面讲的，常见的压伸、反射、旋转来讲逆变换，那么在逆变换里头我们在前面铺垫了一个投影变换，在这里头我们用这个投影变换来说明有的矩阵没有逆变换，为什么没有逆变换，就是它把很多点变到了一个点，没有一一对应的性质。通过这样的例子，来认识这个逆变换，另外我们也把逆变换一些性质，先做压缩再旋转，回来的时候一定是后做的要先做，先做的要后做，这是逆变换的性质。第五个层次是线性方程组与矩阵的关系。我们可以把它梳理一下，线性方程组是一个代数的问题，最早在数学上出现方程

34、组，都是解决牛羊分配问题等等。那么我们在学了高中的几何以后，我们知道从解析几何角度，可以认识线性方程组，从直线相交平行重合的角度，还可以从向量基本定理来认识方程组，那么现在我们从矩阵的角度，就是说我们给了一个变换，和一个变换结果，问是有没有一个东西，在这个变化下变到它，是谁变到了它。这一个观点在数学上，是一个非常重要的观点。把方程看成一个变换的这样一个观点，是一个非常重要的观点。求解方程组，是不是求一个已知向量的原象，所以就变成这样一个认识。最后我们是讲特征值与特征向量。也就是我们还是通过一些具体的例子，比如说通过压伸变换，来看到有一些向量在这个变化下基本上没变，或者它根本就没有动，或者它只是

35、拉伸了一下，就是它还是和原来的向量，是共线的。我们把这样的向量，通过这样的例子，然后把它提炼出来，把它称为它的变换特征向量和特征值。然后我们要讲一讲它的作用、它的意义。在这一方面来讲，我想这是我们最重要的几个层面。也就是我们老师在给学生讲的时候，要把层次描述清楚。王尚志：但是对于老师来说，我想知道这些还不够。老师还应该多了解一点东西，我想老师应该有机会复习一下在大学里学习的线性代数的课程。我就想在张老师的基础上，给老师简单的介绍一下大学的线性代数课程和我们中学的矩阵与变换的课程之间的联系和区别。我们知道在大学线性代数的内容是主要依托于对这几个对象的研究。一个是行列式、一个是矩阵、一个是向量空间

36、，当然还可以拓展成为一个线性空间、一个是线性变换、一个是线性方程组。那么对这五个内容，在我们线性代数的课程中希望去发掘它们之间的内在联系，就用我的老师的一句话来说，它的本质上是一致的，这是丁时孙丁先生说过的一句话，我觉得是很有道理的。比如说我们可以用行列式去讨论矩阵的秩，我们用行列式可以去讨论向量的线性相关和线性无关的问题，我们又可以用矩阵去表示线性变换，我们又可以用行列式去讨论线性方程组的根，我们又可以用矩阵去研究线性方程组的解，我们又可以用向量去表示线性方程组的解，反回来说我们又可以用线性方程组去讨论行列式的性质、矩阵的性质、向量空间的性质以及线性变换的性质，它们之间有着内在的联系。而我们

37、高中的矩阵与变换的课程，是依赖于二阶矩阵，把这样一些基本的思想在我们二阶矩阵的载体上做一个具体的体现，这是一个非常基本的一个联系。张怡慈：另外还有一些，比方说我们现在讲的常见的这些矩阵变换压伸也好，切变也好，它实际上就是我们代数里讲的一行乘以常数加到另一行，所以就很容易看到的话，如果你能把这个初等变换和我们常见变换联系起来，就很容易发现任何一个矩阵变换都可以分解成一系列这样的变换乘积，对于一些老师，他要复习一些大学学的东西，他能对这个东西有一定深刻的认识。为什么我们要讲这几个初等变换，它不仅仅是最常见的，而且是最基本的。王尚志：就是这个基的概念渗透在线性方程组里的每一个环节，所以这个是一个根本

38、的东西。那么中学的矩阵与变换的另外一个重要的特点是，它强调代数与几何之间的联系，把矩阵看作一个表示我们在初中所学过的最基本的变换的一个代数的表达形式，并且去发掘这种代数的表达形式它的几何意义是什么，矩阵的乘积的几何意义是什么，逆矩阵的几何意义是什么等等。我们把理解矩阵的几何意义当作贯穿我们整个矩阵与变换课程的一个基本脉络，我想这也是一个非常重要的一点。第三点就是变换的作用，刚才张老师也强调了变换是一个映射，函数是特殊的映射，我们要通过不同的层面，加深我们对映射的认识，矩阵是一个非常好的载体，到了我们在线性代数里学的所谓线性变换，对于有限空间的线性变换，都可以用矩阵清晰的表达出来。所以这一些特点

39、，是我们在高中课程，开设矩阵与变换的基本特点。所以我们希望无论是在教学过程中还是在评价的过程中，都希望把这一些基本的东西作为我们主要的内容，来进行处理。就是说我们这一部分内容，要跟我们过去学的高中的一些相关的概念，老师要有意识的做一些联系。张怡慈：比如刚才王老师讲的，变换实际上就是映射，映射是我们高一就学的东西，那么现在我们有一个很好的载体。还有比如说矩阵的乘法，实际上是映射以后再映射，实际上相当于我们的复合函数，虽然我们现在高中不太强调复合函数，但是对于老师来说，他应该知道，实际上是一个复合函数表示成一种运算。第三象逆变换的问题，实际上就是反函数的概念，一一对应，这是反函数的基本思想，反函数

40、也是一个逆映射，象这些一样，包括跟方程组的关系等等，就跟我们中学学的其他一些知识有一紧密的联系。这样的话，我们也听到老师这样的反映，说开完了矩阵与变换的课程，有一点对于线性代数有一个豁然开朗的感觉。我想这也是我们开设这个课程的一个出发点。主持人：刚才两位老师对于我们矩阵做了一个初步的介绍。我们下一讲还要对矩阵的具体内容，具体的一些重点、难点，做更进一步的分析。我想老师们在第一讲里头，对于我们高中选择性，应该有一个新的认识。我们从刚才的分析中，看到了选择性设立的初衷。面对选择性，我们老师的态度。我想我们在后面，希望老师通过进一步的思考，去除畏难情绪，也把选择性作为提升自己专业素质的一种突破口。那

41、么我们这一讲就到这里，期待下一讲和大家再见。谢谢大家 ！第二课：以矩阵为代表，做功能分析和教学设计角色姓名单    位主持人张思明北京大学附属中学 特级教师评论嘉宾王尚志首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组负责人评论嘉宾张怡慈首都师范大学 教授 博导 高中课标研制组负责人参与教师郗玲玲首师大附中  硕士参与教师刘雪莲知春里中学 硕士特邀嘉宾檀晋轩北京第十九中学 高级教师特邀嘉宾邵文武北京第八中学 博士参与教师何志奇江苏省 特级教师 主持人：各位老师大家好！在上一讲中我们分析了高中数学里，可供选择的内容的一些思考。在这一讲里，我们继续以矩阵和

42、变换为例，进行进一步的分析，那么我们在这里面想先请两位老师，就是北京19中的檀晋轩老师和八一中学的邵文武老师，他们合作对矩阵变换中的重点和难点进行一个初步的分析。邵：现在我们来具体谈一下这门课程中它的重点和难点是什么？我们如何把握重点和突破相关难点？在课标里面对矩阵的要求做了非常明确的规定，比如说要求我们首先理解矩阵和向量乘法的几何意义，在此基础之上要求学生理解矩阵是线性变换的一种。这样的话借助于线性变换，我们再借助几何直观，就能够让学生理解矩阵乘法意义和逆矩阵的意义。此外还要求学生从几何变换角度，理解特征向量和特征值的相关知识，并且会初步应用。这个是课标里边对矩阵与变换重点内容要求。下面请檀

43、老师谈一下它的相关一些难点如何来进行突破。檀：矩阵这个内容对中学生而言，首先它作为一种新的运算对象，从它的对象的表示形式以及运算的定义上来说，对学生都是非常新颖的，从运算的规律性看，学生也是首次遇到在乘法运算中不符合交换率的这样的一种运算。因此这个在学生第一次接触到之后，会感到一些陌生，会感到一些不适应。那么这个就需要学生有一个慢慢的熟悉过程。另外在矩阵与变换这个专题内容中，有一个非常大的难点，就是特征向量和特征值。这个内容中有两个难点，第一首先是学生对于特征向量和特征值本质的理解，这是一个非常大的难点；那么另外一个特征向量和特征值运算求解的过程也是非常复杂的。因此在解决这两个难点上，我个人理

44、解首先可以采取一种分散难点的办法来处理这个专题。比方说在前面介绍一些具体的矩阵变换过程，比方对阵变换伸压变换等等。一些个具体的矩阵过程中，可以让学生初步通过具体的矩阵和具体的点，具体的向量来初步体会，它在运算过程中这种不变的性质。在讲到矩阵的特征值和特征向量的过程中，也可以先以矩阵特征值，特征向量的作用，用具体的向量和具体的矩阵先让学生初步了解它的基本功能和作用，然后再涉及到如何来求特征值和特征向量。可能这样安排之后，学生会慢慢适应到这个过程中来。这里我再补充一点，如果说老师想在教授过程中克服这些难点的话，还可以再从另外角度去看，就是现在社会上有几种版本的不同教材，最好能把几种版本的书籍放在一

45、起进行对比，看一看他写的相对比较好的地方，这样集中处理可能效果会更好一点。主持人：通过两位老师的分析，我们看到了他们对矩阵和变换的重点和难点的思考，我想请两位老师来分析或者点评一下，他们的思考是怎么得到的，应该怎么去抓住它的重点和难点？王尚志：我想我们在做中学课程的教学设计的时候，是不是应该注意这么几个维度。首先老师应该站在数学的立场上，了解一下我们数学关于矩阵与变换的一个本质是什么？它在整个数学中的一个作用是什么？在一定层面上要对我们学过的线性代数有一个复习，有一个了解。反映在上一节课我们讲到的行列式、矩阵、向量空间，包括线性空间、线性变换、线性方程组，他们之间有些什么内在的联系，这样的一个

46、思考，对于我们数学从数学上抓住本质，也就是说为我们做重难点分析，奠定了一个好的基础。我想在这个基础上，我们应该对于我们中学所开设的矩阵与变换的定位做一个思考，不是说数学上的东西都要在高中阶段去讲，而是我们要清楚这些重要的数学东西，在高中阶段我们应该怎么样去理解它的一个定位，怎么样处理这件事情，它要求的是什么？重点是什么？难点是什么？再做进一步的思考，我想这是第二个维度；第三个我想在这两个维度都有一定思考的基础上，再去分析教材，因为我们知道教材是教材的编写者对于数学理解和标准认识的一种呈现方式，完全可能还有其他的呈现方式，所以如果你有了对数学的思考，对标准的理解，你再去认识教材的呈现方式，才能够

47、更好的理解教材编写者的意图；第四个维度，要对你的学生做一个分析，比如说矩阵与变换，我们是不是要问你的学生是高一的学生，是高二的学生，他们学过二维向量还是没有学过二维向量？学过三维向量还是没有学过三维向量？他们对于向量的理解到一个什么样的程度？所有这些都是你去分析重难点的基础。那么我想在这个基础上，才能形成我们对于重难点的分析，才能体现出我们这一个单元，哪些地方是重要的，哪些地方是对于学生来说学习上是有一定困难的？我们将用什么样的办法去克服这些重点，去把这些困难的地方变得容易了，让学生比较自然的顺畅的去理解这些东西。我想一个单元设计要做这样分析。在这个基础上去分析它的重、难点，对于一节课来说，也

48、应该做这样的分析，我想具体的张老师再谈一谈对他的一些看法。张怡慈：我想呢关于重点和难点，他们谈的都还是比较到位的。就是说，我们这个重难点一定是在结合我们这个标准来谈这个问题，而不是泛泛的。比如说求一个矩阵的逆矩阵，这个问题在线性代数里是一个重要的问题，但是在我们这里，我们没有把求一个矩阵逆矩阵，作为我们的重点来处理。我们只是要知道这个逆矩阵表示的是一个逆矩阵，特别是在写方程组时，对一个二阶的来说，它也并不是一个很简单的一个方法，但是它的思想非常非常重要。但是求逆矩阵这种方法，在真正到了大学线性代数的时候，它又是一个很重要的一个问题。就象刚才王老师讲的，数学上的重点和难点，跟我们标准里边重点和难

49、点，这是一不太一样的问题。对这里头的重点的，我想就是我们前头刚才讲的六点都很清楚。王尚志：但是逆矩阵是个难点，对于我们这个中学生，就观念上的理解是个难点，就是一一对应，不是说知道定义就能理解，需要通过大量的实例不断的加深对一一对应的理解。张怡慈：所以在中学里头，我想比如说，开始我们讲矩阵是一个变换这是我们的重点，几个常见的几何变换，这是我们的重点，矩阵的乘法、逆矩阵，刚才说的是非常重要的难点。但是我们在这里，通过压缩变换的逆矩阵是什么？逆时针旋转的这个逆矩阵是什么？反射的这个逆矩阵身什么？通过具体的这些东西来理解。我们不写一个抽象的 这样一个矩阵来讲逆矩阵，它本身的这个几何意义已经是很多次复合

50、，这些东西就不可能在这里作为一个重点。虽然我们讲了这样一般的矩阵的逆矩阵求法，或者就要求会求逆矩阵，但是我们没有把这个东西作为理解起来的难点。同样象特征根、特征向量，既是重点又是难点。这是一个不太好理解的概念。特别是对求来说，所以我们想在这里头想如何处理，比如怎么分散难点，怎么先讲它的背景它的意义，讲它的应用，而把这个求作为一个对于不同的学生可以有不同的要求等等，来处理这样一个问题。所以象这样的问题，我想就是说还是要一点一点的来理解，就是根据学生的程度，因为矩阵变换前边部分有很多学生觉得很容易，哗哗就过去了，操作起来很容易，但是它思想上很深刻。所以还要把它的思想上理解清楚。王尚志：就是关于数学

51、上的把握呢，张老师做了一个报告，我们把它放在后面，有兴趣的老师呢，可以听一听这个报告。主持人：我想两位老师呢对于这个矩阵的重点和难点，做了进一步的分析和点评，特别是王老师从教学设计本身的这个过程，把这个过程的宏程序，给大家做了一个介绍。张老师呢，对这个矩阵的这个重点和难点的这个思考的角度，也做了进一步的分析。对这些重点和难点我们怎么去解决它呢，下面我们就想请两位老师来做这一个示范。我们特别有幸的请到了我们这个第一轮教改实验区江苏省的一些老师来参与这个工作，我们请他们中间的一个优秀的代表何志奇老师给我们来做这个矩阵里面的重点、难点上突破的一些思考，和他的一些教学设计。何志奇：关于变换的复合与矩阵

52、的乘法这一个专题。我想我们主要是要弄清楚两个内容。第一个内容就是这一个内容的教学目标怎么来定位；第二个，编者的编写意图，我们应该来怎样理解，他的教学建议应该怎样来实施。我们先看第一个，教育目标：我认为可以从五个角度来理解。1 熟练掌握二阶矩阵与二阶矩阵的乘法；2 理解二个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个二阶矩阵，从几何变换的角度来看，它表示的是原来两个矩阵对应的连续二次变换；3 通过几何变换使学生理解一般情况下矩阵乘法不满足交换律；4 会验证矩阵的乘法满足结合律；5 从几何变换的角度了解矩阵乘法不满足消去律。关于编写意图与教学建议，我认为可以从这样几点来理解。1 要使学生理解矩阵乘法的代数运算规则

53、和几何意义，使学生熟练掌握二阶矩阵乘法运算的规则，对学有余力的同学，当然也可以指导他们阅读高阶矩阵的乘法。这部分内容涉及运算可能显得比较枯燥的，因此我们可以结合EXCEL中的矩阵运算功能来开展教学，以提高学生的兴趣；2 矩阵乘法不满足交换律，这可能是学生第一次遇到乘法不满足交换律的情况，因此，教师应该抓住这个认知冲突，积极引导学生开展自主探究活动，先不要急着让他来知道这个结果，先让学生来看一看，乘一乘，看看是不是满足，这样处理比较好一点。在适当的时候应该让学生知道有些特殊的几何变换是满足交换律的。比如连续的两次旋转变换它完全可以变换程序的；3 对于矩阵乘法满足结合律，学生完全可以自己证明，我们

54、教师不必要包办代替；4 在本节中只需要学生从几何的角度了解到矩阵乘法不满足消去律就可以了；5 转移矩阵每列的元素的和应该是1，否则做乘法时容易出问题；6 在高等代数当中，矩阵的初等变换它是有三种：一行（或列）乘以k（kR）倍；两行（或列）互换；一行（或列）乘以k倍以后加到另一行（或列）。但是对二阶矩阵来说，上述初等变换它分别对应着一些特殊的以行变换为例的一些特殊的矩阵。分别对应着伸压变换、反射变换、切变变换。又因为n阶矩阵可逆的充分必要条件使它能充分表示成一些初等矩阵的乘积。所以一一对应的平面几何变换都可以看做是伸压、反射、切变变换等等的一次或多次复合的变换。我们从这样几个角度来理解这个内容就

55、可以了。主持人：何老师为我们做了精采的教学设计的片断。在北京我们有很多学校都提前开设了矩阵和变换这样的课程，对这些课程他们也有自己的思考。我们来看看北京的几位老师对于他们这个矩阵中的重点和难点内容所做的教学设计。刘雪莲的说课见附件：42变换的合成与矩阵乘法刘雪莲.ppt郗玲玲的说课见附件：42 逆变换与逆矩阵郗玲玲.ppt何志奇：关于特征值与特征向量，这一节内容的教育目标和它们的教学建议，我想作这样几点说明。教学目标：1 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；2 会求二阶矩阵的特征值与特征向量；3 利用矩阵A的特征值，特征向量给出 的简单表示。教学建议：我认为可

56、以从三点来考虑。1 从几何变换的角度讨论矩阵的特征向量定义以及特征向量作为不变量的意义，不应只从形式上来理解。这里教材引入了特征多项式的概念，只是作为求解特征值的一个工具使用。我们还是强调不需要展开讨论对于一些基本的线性变换比如反射、伸压、切变等变换，要能从直观上说出其特征向量，可将直观观察特征值与特征向量和利用特征多项式求解特征值与特征向量，结合起来考虑，互相印证。这其实也是教学研究的一种常用思路和方法。那就是用形的直观探索解题的道路，而用数的严谨求解问题的解决；2 利用矩阵A的特征值、特征向量给出 简单那的表示，了解它的几何意义，并知道它的简单应用。比如在它的应用当中，一些有关种群问题的研

57、究，就会很好的体现和利用这个工具；3 特征值和特征向量的概念，对于学生来说比较难理解。我们教师教学的时候一定要结合具体再具体的几何变换来进行处理，否则的话，它的难点比较难攻克。    刘雪莲的可逆矩阵与线性方程组说课见附件：42可逆矩阵与线性方程组刘雪莲.ppt主持人：这些设计里头，我们已经把特征值特、征向量、矩阵的复合逆矩阵、矩阵和方程组的关系，这几个前面分析到的重点难点都做了一个说明，我想我们在座的老师也可以有自己的理解，也可以有自己的设计。我们给大家的不一定是最好的，或者是最成熟最成功的。但是我们希望通过这些案例，引起大家进一步的思考，用什么样的方式把我们矩

58、阵和变换的内容更好的展现给我们的学生。您看呢？我觉得这几个课讲的都是不错的，但是我想如何突出重点，如何把难点加以分散，这的确是我们需要思考的一个问题。比如说何老师上的特征值、特征向量，我觉得何老师呢有这样一个思考，先从具体的地方出发，我想还可以把这个地方再加强一点，比如说我们要压缩矩阵，那么我们给学生展示一下，然后我们问这样的问题，在这个矩阵变换下，哪一些向量变了？哪一些向量没变？它们的变化有什么特点？那么我想学生会比较容易的发现，就是以原点为起点，以（0，1），（1，0）为终点的这个X轴上的这个单位向量，它在这个向X轴压缩的这个矩阵变换下没有变，原来是多少、原来是什么样子，现在还是什么样子。

59、而对角线这个问题，就发生了变化，长度也变了，角度也变了。但是这个Y轴上的这个单位向量发生了压缩这么一个特殊的变化，那么在这个基础上，我们就可以用一般的形式，把这样的一些所谓特殊的向量给予特殊的描述，比如说不变的向量，就是矩阵A作用在 上还是 ，那么它就是不变的向量。压缩的向量，就是A作用在 上面，得到了一个和 共线的向量，如果我们用这样一个具体的矩阵，多花一点时间把它分析清楚，就会给学生一个直观的感觉。我们在这个基础上就可以更好的处理我们第二阶段的任务，就是如何来求特征根、特征向量。我想怎么分散难点，特别是在我们这个选课中，是一个具有挑战性的问题。希望我们的老师呢能够认真的思考。张怡慈：另外，比方象特征根、特征向量这个问题虽然我们把这个概念让他知道了，但是他很难体会到它有什么用处，有什么好处。也可以有一种处理，给了特征我先来讲它有什么好处，我甚至可以讲一些应用