模糊数学方法建模-数学教学中心

1、模糊数学方法建模§ 1模糊综合评判及其应用一、模糊综合评判在我们的日常生活和工作中，无论是产品质量的评级，科技成果的鉴定，还是干部、学生的评优等等，都属于评判的范畴。如果考虑的因素只有一个，评判就很简单，只要给对象一个评价分数，按分数的高低，就可将评判的对象排出优劣的次序。但是一个事物往往具有多种属性，评价事物必须同时考虑各种因素，这就是综合评判问题。所谓综合评判，就是对受到多种因素制约的事物或对象，作出一个总的评价。综合评判最简单的方法有两种方式：一种是总分法，设评判对象有m 个因素，我们对每一个因素给出一个评分si ，计算出评判对象取得的分数总和mS sii 1按 S 的大小给评

2、判对象排出名次。例如体育比赛中五项全能的评判，就是采用这种方法。另一种是采用加权的方法，根据不同因素的重要程度，赋以一定的权重，令ai 表示对第 i 个m因素的权重，并规定ai1 ，于是用i1mS ai sii 1按 S 的大小给评判对象排出名次。以上两种方法所得结果都用一个总分值表示，在处理简单问题时容易做到，而多数情况下评判是难以用一个简单的数值表示的，这时就应该采用模糊综合评判。由于在很多问题上，我们对事物的评价常常带有模糊性，因此，应用模糊数学的方法进行综合评判将会取得更好的实际效果。模糊综合评判的数学模型可分为一级模型和多级模型两类，这里仅介绍一级模型。应用一级模型进行综合评判，一般

3、可归纳为以下几个步骤：（1）建立评判对象的因素集Uu1 ,u2 , un 。因素就是对象的各种属性或性能，在不同场合，也称为参数指标或质量指标，它们综合地反映出对象的质量，人们就是根据这些因素给对象评价。（2）建立评判集VV1 ,V2 ,Vm 。例如对工业产品，评判集就是等级的集合。（3）建立单因素评判。即建立一个从U 到 F (V ) 的模糊映射f : UF(V),ui Uuif (ui )ri1ri 2rim(0 rij1, 1 i n, 1j m)V1V2Vm由 f可诱导出模糊关系R ，得到单因素评判矩阵r11r12r1mRr21r 22r2 mrn1rn 2rnm（4）确定权重。由于对

4、U 中各因素有不同的侧重，需要对每个因素赋予不同的权重，它可表示n为 U 上的一个模糊子集A a1 , a2 ,an ，并且规定ai1。i1（5）综合评判。在 R 与 A 求出之后，则综合评判为BA R ，记 B b1 ,b2 , , bm ，它是 V上的模糊子集。其中nb j(airij) ( j 1,2, m)i 1m如果评判结果b j1 ，应将它归一化。j 1在模糊综合评判的上述步骤中，建立单因素评判矩阵R 和确定权重分配A ，是两项关键性的工作，没有统一的格式可以遵循，一般采用统计实验或专家评分等方法求出。二、应用实例例1对教师教学质量的综合评判。设因素集U u1 , u2 ,u3 ,

5、 u4 , u5 这里 u1 为教材熟练， u2 为逻辑性强， u3 为启发性强， u4为语言生动， u5 为板书整齐。设评价集V V1 ,V2 ,V3,V4 这里 V1 为很好， V2 为较好， V3 为一般， V4 为不好。通过调查统计得出对某教师讲课各因素的评语比例如下：V1V2V3V4u10.450.250.20.1u20.50.40.10u30.30.40.20.1u40.40.40.10.1u50.30.50.10.1因而得出单因素评判矩阵0.450.250.20.10.50.40.10R0.30.40.20.10.40.40.10.10.30.50.10.1假定确定权重分配为A(

6、0.3,0.2, 0.2 , 0.2, 0.1)得出综合评判如下BAR(0.3 , 0.25 , 0.2 , 0.1)对结果进行归一化B0.3, 0.25 ,0.2, 0.1(0.35 , 0.29 , 0.24 , 0.12)0.850.850.850.85评判结果表明， 对该教师的课堂教学认为“很好” 的占 35%，“较好” 的占 29%，“一般” 的占 24%，“不好”的占 12% ，根据最大隶属原则，结论是“很好”例 2 评判某地区是否适宜种植橡胶。给定三个对橡胶生长影响较大的气候因素作为因素集，即 Uu1 , u2 ,u3 。这里u1 为年平均气温，u2 为年极端最低气温，u3 为年

7、平均风速。 再给定评价集VV1 ,V2 ,V3 ,V4 ，这里V1 为很适宜， V2 为较适宜， V3 为适宜， V4 为不适宜。根据历年的资料和经验，选定类似戒上型的隶属函数，即对于年平均气温u11,u1231 (u1 )12 , 0u1 231 a1 (u123)其中 a1 为参数，一般取 a1 0.0625。对于年极端最低温度 u21 ,u282 (u2 )12,4u2 81 a2 (8 u2 )其中 a2 为参数，一般取 a20.0833 。对于年平均风速u31 ,u313 (u3 )12 ,u311 a3 (u3 1)其中 a2 为参数，一般取 a30.8 /82 。将某地区自 19

8、60 年至 1978 年间每年对三个气候因素实测的数据,分别代入上面三个隶属函数公式，求出当年该因素的隶属度列于下表：年份年平均气温年最低气温年平均风速19600.890.670.5519610.910.670.5519620.850.750.5019630.930.620.5019640.890.680.5519650.920.710.7119660.940.690.6619670.800.570.6019680.880.650.7119690.850.670.6619700.850.720.8319710.800.620.6019720.910.640.6019730.930.590.71

9、19740.850.580.7119750.910.610.6619760.810.710.6619770.880.610.7819780.920.700.83对隶属度的大小给予分类，即规定（1）当0.9 时，为“很适宜” ；（ 2）当 0.90.8 时，为“较适宜” ；（ 3）当 0.80.7 时，为“适宜” ；（4）当0.7 时，为“不适宜” 。以单因素 u1为例，该地区在 19 年中“很适宜”的年份有8 年，占总数的42%，“较适宜”的年份有 11 年，占58%，其他两种均无，占0%，于是得到对 u1 而言 V 上的模糊集u10.420.5800V1V2V3(0.42 , 0.58 ,

10、0 , 0)V4同理可得相对其它两个因素的模糊集u2(0 , 0 , 0.26 , 0.74) ， u3 (0 , 0.11 , 0.26 , 0.63) 。从而建立了单因素评判矩阵0.420.5800R000.260.7400.110.260.63根据三个气候因素的作用，给定权重分配为A(0.19, 0.80, 0.01)得出综合评判如下BA R(0.19 , 0.19 , 0.26 , 0.74)对结果进行归一化B(0.14 , 0.14 , 0.19 , 0.53)根据最大隶属原则，结论是判定该地区种植橡胶为“不适宜”。例 3污水处理厂运行管理效果的综合评判。为了评价污水处理厂经营管理的

11、优劣，给定 5 个评判因素 U u1 , u2 ,u3 ,u4 , u5 。这里 u1为每天处理污水量（千吨/日）， u2 为五日生化需氧量BOD5 去除率（百分比） ， u3 为浮物 SS 去除率（百分比）， u4 为气水比（处理一吨污水消耗的空气量）（立方米 /吨）， u5 为单耗（用去一公斤BOD5 所耗电的度数） 。给出评价集 VV1 ,V2 ,V3 ,V4 ,V5 。这里 V1 为很好， V2 为好， V3 为中等， V4 为差， V5 为很差。根据实际情况进行定级，以u1 为例，当 u118 时，定为“很好” ；18u117 时定为“好”等等，对各因素定级的划分见下表。很好好中等差

12、很差每天处理污水量18 以上17181617151615 以下五日生化需氧量 BOD5 去除率93 以上89938589808580 以下浮物 SS 去除率93 以上89938589808580 以下气水比7 以下788991010 以上单耗0.9 以下0.91.01.01.11.11.21.2 以上对某污水处理厂多年运行的大量实测数据经技术处理后，按每一旬得出各因素的平均值，见下表。u1u2u3u4u5u1u2u3u 4u511.680.381.98.900.9015.993.888.47.771.3011.180.178.57.800.9715.795.595.07.511.0012.09

13、1.088.07.200.8316.895.994.38.121.0512.490.284.87.400.8016.094.292.08.841.0212.089.987.47.200.7417.490.890.09.150.9413.091.490.27.300.7316.391.191.67.801.0614.995.491.37.700.7915.492.990.39.280.9513.994.392.77.290.8416.194.195.06.640.8114.195.192.28.220.7518.794.695.86.540.6617.395.992.57.740.8916.69

14、5.694.97.000.9417.495.993.86.690.7916.096.191.07.561.1317.391.489.36.220.6817.595.793.36.801.0818.487.683.67.150.6713.996.894.78.201.2415.881.482.46.690.8216.695.889.64.891.2513.787.887.57.390.7115.997.294.82.050.7916.687.684.48.300.8716.196.894.13.460.9815.594.789.87.880.9814.896.294.46.520.9515.99

15、4.592.87.241.1114.497.296.67.090.74根据上表建立单因素评判矩阵R ，例如对因素 u4 而言，总共36 次统计中它属于V1 的次数为10，占总数的 28% ，因而 r410.28 ，其余类似可求，于是得到0.060.140.250.190.360.640.200.080.080R0.440.280.110.140.030.280.500.170.0600.500.200.140.060.10这是根据以往数据建立的评判矩阵，对今后每旬的运行效果的评价，还须求出权重分配A ，各个因素对A 的隶属度，用如下隶属函数公式计算：（1） u1 对 A 的隶属函数1,u1 1

16、812 (u1 18)2,16.5u1 181(u1 )29(u1 15) 2,15u116.590, u115（2） u2 对 A 的隶属函数2 (u2 )（3） u3 对 A 的隶属函数3 (u3 )（4） u4对 A 的隶属函数4 (u 4 )1,u2932 u29321,86.5u2931322u280,80u286.5130,u2 801,u393u9323,86.5u3931 21322 u380,80u386.5130,u3801,u47u47212,7u48.5322u4310,8.5u4100,u4101,u50.921 2u50.9,0.9u5 1.050.3（5） u5 对 A 的隶属函数5 (u5 )2u51.2,1.05 u51.220.30,u51.2于是权重分配确定为 A( 1 (u1 ) ,2 (u2 ) ,3 (u3 ) ,4 (u4 ) ,5 (u5 ) 。根据 BA R ，即可得出当前运行效果的综合评判。例如该厂某月上旬的各项因素平均数据为：u1 =13.9 ， u 2 =96.8% ， u3 =94.7% ， u4 =8.2，u5 =