黄金分割与数学(1)

1、活动一：观察探索活动一：观察探索 以下以下3 3张图片，哪张构图最美？说说你的看法张图片，哪张构图最美？说说你的看法 1.在构图美的图片中在构图美的图片中 (1)量一量量一量(精确到精确到0.1cm)： AB , AC , BC . (2)算一算算一算(精确到精确到0.001） ， .CBAABACACBC构图美的图片构图美的图片ACBCABAC2.2.在构图不美的图片中在构图不美的图片中 (1(1)量一量量一量(精确到精确到0.1cm)： AB , AC , BC . (2)(2)算一算算一算( (精确到精确到0.001） ， . .ACBABBCBCACBCACABBC构图不美的图片构图不

2、美的图片文件名 如图，点如图，点C 把线段把线段 AB 分成两条线段分成两条线段 AC 和和 BC ,如果如果 ， ,那么称线段那么称线段 AB 被点被点 C 黄金分割黄金分割，点，点C叫做线段叫做线段AB的的黄金分割点黄金分割点, AC与与AB的比叫做的比叫做黄金比黄金比 .ABACACBC ACB原长较长较长较短即活动二：理解定义活动二：理解定义 定义：如图，点定义：如图，点C 把线段把线段 AB 分成两条线段分成两条线段 AC 和和 BC ,如果如果 , 那么称线段那么称线段 AB 被点被点 C 黄金分割黄金分割，点，点C叫做叫做线段线段AB的的黄金分割点黄金分割点， AC与与AB的比叫

3、做的比叫做黄金比黄金比 .设设 AB=1，AC = x，则，则 BC= ，由由 列方程得：列方程得： ，化为整式方程：化为整式方程： ，利用一元二次方程知识可以解出利用一元二次方程知识可以解出x1 ，x2 , = (精确到精确到0.001)活动三：探索黄金比活动三：探索黄金比ABACACBC1xABACACBC11xxxx2x10215 舍去）(215 215 0.618ABAC ACB0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 84754

4、08807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 846788521 254487784 6074998871 2400765217 0575179788

5、 3416625624 940758912 1042762177 111777801 1704666599 1466979873 176135610 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 71599

6、34323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 524060275 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 512224845 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 267575620 3536139362 1076738937

7、6455606060 5922. 黄金比是一个无理数黄金比是一个无理数 黄金分割是一个数学比例关黄金分割是一个数学比例关系系.由公元前六世纪由公元前六世纪古希腊数学家古希腊数学家毕达哥拉斯毕达哥拉斯发现，以严格的比例发现，以严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值富的美学价值.黄金比一般黄金比一般 用希用希腊字母腊字母 表示表示. 即即= 0.618215 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 已知线段已知线段AB=10,C为其黄金分割点，求为其黄金分割点，求AC的长的长.解：解：5515)555(10BCABAC第一种情况：当第一种情况：当 ACBC 时，如图：时，如图

8、： ACB第二种情况：当第二种情况：当 ACBC 时，如图：时，如图： ACB55510215215ABAC555) 15(510215215ABBC215 ABAC215 ABBC1.1.作图法确定一条线段的黄金分割点作图法确定一条线段的黄金分割点ABAC2.如果如果AB=a,点点 C 是线段是线段 AB 的黄金分割点吗的黄金分割点吗?活动四：确定黄金分割点活动四：确定黄金分割点已知线段已知线段AB，按照如下方法作图：，按照如下方法作图：()经过点经过点B作作BDAB，使，使BD= AB.()连接连接AD，在，在AD上截取上截取DE=DB.()在在AB上截取上截取AC=AE.211515 2

9、15 3.你能用一张正方形的纸片折出其中一边的黄金分割点吗你能用一张正方形的纸片折出其中一边的黄金分割点吗?2115 = =468468? ? 1.上海上海东方明珠塔，塔东方明珠塔，塔高高约约468米米.在设计的最初，在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型，设计师将塔身设计为直线型，后来，为了使平直单调的塔后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩身变得丰富多彩,更协调、美更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球的黄金分割点处设计一个球体，请你计算这个球体距离体，请你计算这个球体距离地面的高度（精确到地面的高度（精确到1米米）解：解：4680.618289

10、（米）（米）答：这个球体距离地面约答：这个球体距离地面约289米米.活动五：黄金分割应用举例活动五：黄金分割应用举例 2.如图，是丰田汽车的标志，请你测量这个标志的如图，是丰田汽车的标志，请你测量这个标志的宽宽CD和长和长AB，并计算宽与长的比，你发现了什么？并计算宽与长的比，你发现了什么？ABCD宽与长的比为黄金比的矩形称为宽与长的比为黄金比的矩形称为黄金矩形黄金矩形.巴黎圣母院巴黎圣母院联合国总部大厦联合国总部大厦古希腊巴特农神庙古希腊巴特农神庙 黄金矩形在古典及现代建筑中都有广泛的应用比如：黄金矩形在古典及现代建筑中都有广泛的应用比如：黄金分割与建筑黄金分割与建筑摄影构图通常运用的三分法

11、就是黄金分割的演变，摄影构图通常运用的三分法就是黄金分割的演变， 把把长方形画面的长、宽各分成三等分，整个画面呈井字形分长方形画面的长、宽各分成三等分，整个画面呈井字形分割，井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心）的最割，井字形分割的交叉点便是画面主体（视觉中心）的最佳位置，是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点佳位置，是最容易诱导人们视觉兴趣的视觉美点 经典的黄金分割，松鼠的前面留出空地，若有所思经典的黄金分割，松鼠的前面留出空地，若有所思的神态跃然纸上，令人忍俊不禁的神态跃然纸上，令人忍俊不禁 黄金分割与摄影黄金分割与摄影雕塑维纳斯 很多美术家认为：如很多美术家认为：如果人的上、下身之比是黄

12、果人的上、下身之比是黄金分割数，那么可以增加金分割数，那么可以增加美感美感. .其实人们也普遍感其实人们也普遍感觉，人的俊美觉，人的俊美, ,体现在头体现在头部及躯干是否符合黄金分部及躯干是否符合黄金分割割. . 美神维纳斯，她身体美神维纳斯，她身体的各个部位都暗藏比例的各个部位都暗藏比例0.6180.618，虽然雕像残缺，虽然雕像残缺，却能仍让人叹服她不可言却能仍让人叹服她不可言喻的美喻的美黄金分割与人体黄金分割与人体 著名画家达著名画家达 芬奇的旷世名芬奇的旷世名作作蒙娜丽莎蒙娜丽莎的构图完美的体的构图完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应现了黄金分割在油画艺术上的应用用黄金分割与绘画黄金分

13、割与绘画 我们国旗中的五角星是一个非常完美的图形，我们国旗中的五角星是一个非常完美的图形，它里面也存在着黄金分割它里面也存在着黄金分割.DEFGHMN黄金分割与图案设计黄金分割与图案设计 打开地图，你就会发现那些好打开地图，你就会发现那些好茶产地大多位于北纬茶产地大多位于北纬3030度左右度左右特特别是红茶中的极品别是红茶中的极品“祁红祁红”，产地，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上在安徽的祁门，也恰好在此纬度上这不免让人联想起许多与这不免让人联想起许多与北纬北纬3030度度有关的地方有关的地方奇石异峰，名川秀奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等水的黄山，庐山，九寨沟等等中中国三大淡水湖

14、也恰好在国三大淡水湖也恰好在这黄金分割这黄金分割的纬度的纬度上上！黄金分割存在于生活的方方面面，等待着你去发现黄金分割存在于生活的方方面面，等待着你去发现黄金分割与地理黄金分割与地理1 1这节课我们学到了哪些知识？这节课我们学到了哪些知识？活动六：回顾与反思活动六：回顾与反思2 2我们在研究这些问题时，经历了以下过程：我们在研究这些问题时，经历了以下过程：3我们在研究这些问题时，运用了哪些数学思想方法？我们在研究这些问题时，运用了哪些数学思想方法？黄金分割的概念、黄金比的大小、黄金分割点的作法黄金分割的概念、黄金比的大小、黄金分割点的作法和黄金分割的应用等和黄金分割的应用等.观察发现观察发现探

15、索交流探索交流归纳概括归纳概括综合应用综合应用方程思想、分类讨论思想、方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、模型思想数形结合思想、模型思想.在人的躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割在人的躯干与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比值越接近于点，即比值越接近于0.618，越给人以美感，越给人以美感，A女士原女士原本身体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比为本身体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比为0.60，她的身高为她的身高为1.60m，她应选择多高的高跟鞋看起来更，她应选择多高的高跟鞋看起来更美美 ？课后作业课后作业如图如图,已知线段已知线段AB,以以AB为边作正为边作正 方方形形AB

16、CD;取取AD的中点的中点E,连接连接EB;延延长长DA至至F,使使EF=EB;以线段以线段AF为边为边作正方形作正方形AFGH.求证：点求证：点H就是线段就是线段AB的黄金分割的黄金分割点点.AGHFECDB1.2. 同学们，十四、五岁正是求学的黄金时同学们，十四、五岁正是求学的黄金时期，我们一定要倍加珍惜这个黄金时期，勤期，我们一定要倍加珍惜这个黄金时期，勤奋刻苦，善于探索，勇于创新，共同创造美奋刻苦，善于探索，勇于创新，共同创造美好的未来！好的未来！ 教师寄语教师寄语 数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：数学上最优化问题的解决方法大致分为两类：间接最优化方法和直接最优化方法间接最优化

17、方法和直接最优化方法. .间接最优化方间接最优化方法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学法是把研究对象用数学方程表示出来，再用数学方法求最优解方法求最优解. .但在许多情况下，对象本身处理不但在许多情况下，对象本身处理不清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就清楚，间接最优化方法就无法使用，于是人们就通过大量试验来寻找最优解通过大量试验来寻找最优解. .如何安排试验，较快如何安排试验，较快较省地求得最优解，这就是直接最优化方法较省地求得最优解，这就是直接最优化方法. .如果如果将实验点定在区间的将实验点定在区间的0.6180.618左右，那么实验的次数左右，那么实验的次数将大大减少将大大

18、减少. .实验统计表明，对于一个因素问题，实验统计表明，对于一个因素问题，用用“0.6180.618法法”做做1616次实验，就可以取得次实验，就可以取得“对分法对分法”做做25002500次试验所达的效果次试验所达的效果.20.20世纪世纪5050、6060年代华罗年代华罗庚在全国推广庚在全国推广“0.6180.618法法”，在生产中获得大量应，在生产中获得大量应用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳用，特别在工程设计方面应用最多，成效最佳. .1.1.黄金分割与优选法黄金分割与优选法【课外阅读材料课外阅读材料】 医学与医学与0.618有着千丝万缕的联系，它可解释人有着千丝万缕的联系，它可解释人为什么在环境为什么在环境22至至24时感觉最舒适时感觉最舒适.因为人的体温因为人的体温为为37与与0.618的乘积为的乘积为22.8，而且这一温度中肌，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状体的新陈代谢、生理节奏