2024年全国统一高考数学试卷(理科)(甲卷)

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10 D．﹣22．（5分）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}3．（5分）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5 B． C．﹣2 D．4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2 B． C．1 D．25．（5分）已知双曲线的两个焦点分别为F1（0，4），F2（0，﹣4），点（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．3 C．2 D．6．（5分）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．7．（5分）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A． B． C． D．8．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．1﹣9．（5分）已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3” B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3” C．“⊥”的充分条件是“x＝0” D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”10．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（）A． B． C． D．12．（5分）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．15．（5分）已知a＞1，，则a＝．16．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．19．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，，，M为CD的中点．（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）P（4，0），过P的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．

2024年全国统一高考数学试卷（理科）（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10 D．﹣2【考点】共轭复数；复数的运算．【答案】A【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数的四则运算，即可求解．【解答】解：因为z＝5+i，则，故，所以i（+z）＝10i．故选：A．2．（5分）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【答案】D【分析】先求出集合B，再结合集合的运算，即可求解．【解答】解：因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}＝{1，4，9，16，25，81}，所以∁A（A∩B）＝{2，3，5}．故选：D．3．（5分）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5 B． C．﹣2 D．【考点】简单线性规划．【答案】D【分析】先求出平面区域的边界点，结合z的几何意义检验取得最小值时点的坐标，代入即可求解．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：将约束条件两两联立可得3个交点：C（0，﹣1），A，B，由z＝x﹣5y得y＝﹣，则﹣可看作直线y＝﹣在y轴上的截距，经检验可知，当直线经过点A（，1）时，z最小，代入目标函数可得：．故选：D．4．（5分）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2 B． C．1 D．2【考点】等差数列的前n项和．【答案】B【分析】根据已知条件，先求出公差，再结合等差数列的性质，即可求解．【解答】解：S5＝S10，则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，解得a8＝0，又因为a5＝1，所以公差，故a1＝a8．故选：B．5．（5分）已知双曲线的两个焦点分别为F1（0，4），F2（0，﹣4），点（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．3 C．2 D．【考点】求双曲线的离心率．【答案】C【分析】由已知结合双曲线的定义及性质即可求解．【解答】解：因为F1（0，4），F2（0，﹣4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，所以|F1F2|＝8，|PF2|＝＝10，|PF1|＝6，所以．故选：C．6．（5分）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A． B． C． D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【答案】A【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出切线的斜率，再结合切点，求出切线方程，即可求解．【解答】解：f（x）＝，则f'（x）＝，故f'（0）＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线为y＝3x+1，令x＝0，解得y＝1，令y＝0，解得x＝﹣，故所求三角形的面积为．故选：A．7．（5分）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象与图象的变换；利用导数研究函数的单调性．【答案】B【分析】先结合偶函数的性质，排除AC，再结合特殊值，即可求解．【解答】解：f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+（e﹣x﹣ex）sin（﹣x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx＝f（x），故f（x）为偶函数，故AC错误；f（1）＝﹣1+（e1﹣e﹣1）sin1＞﹣1+（）sin＝﹣1﹣﹣＞0，故D错误，B正确．故选：B．8．（5分）已知，则＝（）A． B． C． D．1﹣【考点】求两角和与差的三角函数值．【答案】B【分析】先求出tanα，再结合正切的两角和公式，即可求解．【解答】解：，则，所以，故．故选：B．9．（5分）已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3” B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3” C．“⊥”的充分条件是“x＝0” D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”【考点】充分条件与必要条件；平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积判断两个平面向量的垂直关系．【答案】C【分析】根据已知条件，结合向量垂直、共线的性质，即可求解．【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2），若，则x（x+1）+2x＝0，解得x＝0或﹣3，故“⊥”的充分条件是“x＝0”，故A错误，C正确；若，则2（x+1）＝x2，解得x＝，故BD错误．故选：C．10．（5分）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系．【答案】A【分析】根据已知条件，结合空间中线与面之间的关系，即可求解．【解答】解：①若n⊂α，因为m∥n，m⊂β，则n∥β，若n⊂β，因为m∥n，m⊂α，则n∥α，若n不在α也不在β内，因为m∥n，m⊂α，m⊂β，所以n∥α且n∥β，故①正确；②若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，也有可能相交，故②错误；③过直线n分别作平面，与α，β分别相交于直线a，直线b，因为n∥α，过直线n的平面与平面α相交于直线a，所以n∥a，同理可得n∥b，所以a∥b，因为a⊂α，b⊂β，则a∥β，因为a⊂α，α∩β＝m，则a∥m，又因为n∥a，则m∥n，故③正确；④n与α和β所成的角相等，则m和n不一定垂直，故④错误；综上只有①③正确．故选：A．11．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则sinA+sinC＝（）A． B． C． D．【考点】正弦定理；余弦定理．【答案】C【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解．【解答】解：因为，，所以由正弦定理可得，，由余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2ac•cosB＝a2+c2﹣ac＝，即，，所以（sinA+sinC）2＝sin2A+sin2C，．故选：C．12．（5分）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】直线与圆的位置关系．【答案】C【分析】由已知结合等差数列的性质可知，直线过定点（1，﹣2），然后结合两点间距离公式即可求解．【解答】解：因为a，b，c成等差数列，所以a﹣2b+c＝0，所以直线ax+by+c＝0恒过P（1，﹣2），因为P（1，﹣2）在圆C：x2+（y+2）2＝5内，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|PC|＝1，．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式的展开式中，各项系数的最大值是5．【考点】二项式定理．【答案】见试题解答内容【分析】根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．【解答】解：由于，，，，则展开式中系数最大的项一定在下面的5项：＝，＝，＝，＝5，＝，故系数的最大值为．故答案为：5．14．（5分）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．【考点】圆台的体积．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合圆台的体积公式即可求解．【解答】解：因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝＝＝．故答案为：．15．（5分）已知a＞1，，则a＝64．【考点】对数的运算性质．【答案】见试题解答内容【分析】由已知结合对数的运算性质即可求解．【解答】解：因为，所以（log2a+1）（log2a﹣6）＝0，而a＞1，故log2a＝6，即a＝64．故答案为：64．16．（5分）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．【考点】用样本估计总体的集中趋势参数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【答案】见试题解答内容【分析】先求出从6个小球中取出3个所有可能的结果数，然后求出m与n差的绝对值不超过0.5的结果数，结合古典概率公式即可求解．【解答】解：记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有种可能，令可得：|a+b﹣2c|≤3，根据对称性：c＝1或6时，均有2种可能；c＝2或5时，均有10种可能；c＝3或4时，均有16种可能；故满足条件的共有56种可能，．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p+1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：K2＝，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）由题意求得，比较和p+1.65，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030零假设H0：根据α＝0.05的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，X2＝＝4.6875＞3.841，有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；零假设H0：根据α＝0.01的独立性检验，认为甲、乙两车间产品的优级品率不存在差异，4.6875＜6.635，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．（2）由题意得＝＝0.64，p+1.65＝0.5+1.65×≈0.57，所以＞p+1.65，故有优化提升．18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．【考点】错位相减法．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由已知和与项的递推关系进行转化，然后结合等比数列的通项公式即可求解；（2）先求出bn，然后结合错位相减求和即可求解．【解答】解：（1）因为4Sn＝3an+4，所以4Sn+1＝3an+1+4，两式相减可得4an+1＝3an+1﹣3an，即an+1＝﹣3an，又因为4S1＝3a1+4，所以a1＝4，故数列{an}是首项为4，公比为﹣3的等比数列，所以；（2），所以，3•33+⋯+n•3n），两式相减可得：﹣4n）3n﹣2，所以．19．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰梯形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4，，，M为CD的中点．（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行．【答案】见试题解答内容【分析】（1）易证四边形EFCM为平行四边形，由线面平行的判定定理即可证明；（2）取DM的中点O，连结OA，OE，则OA⊥DM，OE⊥DM，OA⊥OE，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角即可．【解答】（1）证明：由题意得：EF∥CM，EF＝CM，所以四边形EFCM为平行四边形，所以EM∥CF，而EM⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，所以EM∥平面BCF．（2）解：取DM的中点O，连结OA，OE，由已知得，△EMD是边长为2的等边三角形，△ADM是以AD＝AM＝为腰的等腰三角形，则OE⊥DM，OA⊥DM，OA＝3，OE＝，故OA⊥OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，3），E（，0，0），M（0，1，0），B（0，2，3），＝（，0，﹣3），＝（﹣，1，0），＝（0，1，3），设平面AEM的法向量为＝（x，y，z），则，即，取z＝1，则＝（，3，1），同理，平面BEM的一个法向量为＝（，3，﹣1），所以cos＝＝，sin＝，故二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的最值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）当a＝﹣2时，f（x）＝（1+2x）ln（1+x）﹣x，x＞﹣1，f′（x）＝2ln（1+x）+，利用导数判断f（x）的单调性，进而可求f（x）的极值；（2）f′（x）＝﹣aln（1+x）﹣，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣﹣，x≥0时，f（x）≥0，且f（0）＝0，f′（0）＝0，所以g′（0）＝﹣1﹣2a≥0，由此求出a的取值范围即可．【解答】解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝（1+2x）ln（1+x）﹣x，x＞﹣1，f′（x）＝2ln（1+x）+，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣1，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故f（x）的极小值为f（0）＝0，无极大值；（2）由f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x，得f′（x）＝﹣aln（1+x）﹣，令g（x）＝f′（x），则g′（x）＝﹣﹣，当x≥0时，f（x）≥0，且f（0）＝0，f′（0）＝0，所以g′（0）＝﹣1﹣2a≥0，，当时，g′（x）≥＝≥0，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）＝f′（x）≥g（0）＝0，故f（x）在[0，+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）＝0恒成立，即a的取值范围为．21．（12分）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2）P（4，0），过P的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程；椭圆的几何特征．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义，以及勾股定理，求出a，再结合椭圆的性质，求出b，即可求解；（2）结合向量的坐标运算，推得，再结合点A，B两点位于椭圆上，求出等式，再结合直线NB与MF交于Q，即可求解．【解答】解：（1）设椭圆C的左焦点为F1，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴，则|F1F|＝2，，由勾股定理可知，，故2a＝|MF1|+|MF|＝4，解得a2＝4，b2＝a2﹣1＝3，故椭圆C的方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），，则，即①，又由可得②，结合①②可得，5λ﹣2λx2+3＝0，P（4，0）