教育部北师大基础教育研究中心数学工作室初中数学教材编写

1、教育部北师大基础教育研究中心教育部北师大基础教育研究中心数学工作室初中数学教材编写组成员数学工作室初中数学教材编写组成员九江市同文中学九江市同文中学 高级教师高级教师高高 峻峻电话：电话：1360702223013607022230邮箱：邮箱：北师大九年级上册北师大九年级上册平行四边形的判定平行四边形的判定问题问题1 1怎样的四边形是平行四边形呢怎样的四边形是平行四边形呢?两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形问题问题2 2平行四边形具有什么样的性质呢平行四边形具有什么样的性质呢?边边平行四边形的对边平行平行四边形的对边平行平行四边形的对边相等平行四边形的

2、对边相等角角平行四边形的对角相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的邻角互补对角线对角线平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分平行四边形平行四边形的性质的性质我们知道了平行四边形的性质，那么，有我们知道了平行四边形的性质，那么，有哪些方法可以判断一个四边形是平行四边哪些方法可以判断一个四边形是平行四边形呢？形呢？（1）根据定义：）根据定义：两组对边分别平行的四两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形边形叫做平行四边形因为因为AB/CD,AD/BC;所以四边形所以四边形ABCD是平行四边形。是平行四边形。BDCA问题问题3 3根据平行四边形性质得到如下猜想根据平行四边

3、形性质得到如下猜想:猜想猜想1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.猜想猜想2:两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形.猜想猜想3:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.猜想猜想4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.问题问题4 4你能利用公理和已有的定理你能利用公理和已有的定理证明这些猜想吗证明这些猜想吗?得到平行四边形的判定得到平行四边形的判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形.w求证求证: :两组

4、对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形. .BDCAw已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=CD,BC=DA.,AB=CD,BC=DA.w求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .w分析分析: :要证明四边形要证明四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .可可转化证明两组对边分转化证明两组对边分别平行别平行, ,从而作辅助线从而作辅助线, ,用全等三角形来证明用全等三角形来证明相应的角相等相应的角相等. .证明证明: :连接连接AC.AC. AB=CD,BC=DA,AC=CA,AB=CD,B

5、C=DA,AC=CA, ABCABCCDA(SSS).CDA(SSS).1=2, 3=4.1=2, 3=4.ABCD,CBAD.ABCD,CBAD.四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .1234得到平行四边形的判定得到平行四边形的判定:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.w求证求证: :一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中ABABCD,AB=CD.CD,AB=CD.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行

6、四边形. .w分析分析: :要证明四边形要证明四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .可可转化证明两组对边分转化证明两组对边分别相等别相等, ,从而作辅助线从而作辅助线, ,用全等三角形来证明用全等三角形来证明相应的边相等相应的边相等. .证明证明: :连接连接AC.AC. ABCD,ABCD, 1=2.1=2.AB=CD,AC=CA,AB=CD,AC=CA,ABCABCCDA(SAS).CDA(SAS).四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .BC=DA.BC=DA.BDCA12你还你还有不有不同的同的证法证法吗吗? ?得到平行四边形的判定得到平行四边形的判定:

7、对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形.定理定理: :对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中, , 对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,CO=AO,BO=DO.O,CO=AO,BO=DO.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .证明证明: :CO=AO,BO=DO,1=2,CO=AO,BO=DO,1=2,AODAODCOB(SAS).COB(SAS).3=4.3=4.ADCB.ADCB.同理同理,ABCD.,ABCD.

8、四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .BDCAOw分析分析: :要证明四边要证明四边形形ABCDABCD是平行四边是平行四边形形. .可转化证明两组可转化证明两组对边分别平行对边分别平行, ,从而从而用全等三角形来证用全等三角形来证明相应的角相等明相应的角相等. .你还有几你还有几种不同的种不同的证法证法? ?4321得到平行四边形的判定得到平行四边形的判定:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的.定理定理: :两组对角分别相等的四边形是平行四边形的两组对角分别相等的四边形是平行四边形的. .已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形

9、ABCDABCD中中,A=C,B=D.,A=C,B=D.求证求证: :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .w分析分析: :要证明四边形要证明四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .可可转化证明两组对边分转化证明两组对边分别平行别平行. .从而转化为相从而转化为相关的角关系来证明关的角关系来证明. .证明证明: A=C,B=D,: A=C,B=D,A+C+B+D=360A+C+B+D=3600 0. .A+B=180A+B=1800 0. .ADBC.ADBC.BDCA 2A+2B=3602A+2B=3600 0. .同理同理,ABCD.,ABCD.四边形四边形

10、ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 通过以上的证明通过以上的证明,我们得到的关于平行四边我们得到的关于平行四边形判定的猜想是正确的形判定的猜想是正确的,于是有了如下判定定理于是有了如下判定定理:v判定定理判定定理1:两组对边分别相等的四边形是平两组对边分别相等的四边形是平行四边形行四边形.v判定定理判定定理2:两组对角分别相等的四边形是平两组对角分别相等的四边形是平行四边形行四边形.v判定定理判定定理3:两组对角线互相平分的四边形是两组对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形.v判定定理判定定理4:一组对边平行且相等的四边形是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形.想

11、一想v小明有一个猜想小明有一个猜想:v有一组对边平行有一组对边平行,另一组对边相等的四边形是另一组对边相等的四边形是平行四边形平行四边形.v你能证明他的猜想是否成立你能证明他的猜想是否成立?v小红也有一个猜想小红也有一个猜想:v有一组对边相等有一组对边相等,一组对角相等的四边形是平一组对角相等的四边形是平行四边形行四边形.v你能证明她的猜想是否成立你能证明她的猜想是否成立?已知已知: :如图如图. .求证求证: :四边形四边形MNOPMNOP是平行四边形是平行四边形. .分析分析: :这是一道综合性题目这是一道综合性题目, ,利利用勾股定理用勾股定理, ,方程和平行四边形方程和平行四边形的判定

12、进行计算性推理可获证的判定进行计算性推理可获证. .证明证明: :OMNP45x-311-xx-5.453222xx. 8x.5 POMN.3 ONPM四边形四边形MNPOMNPO是平行四边形是平行四边形. .例题选讲例题选讲MON=90已知已知: :如图如图, ,在在ABCDABCD中中,BF=DE.,BF=DE.求证求证: :四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形是平行四边形. .分析分析: :由已知的平行由已知的平行四边形和四边形和BF=DEBF=DE可知可知,CE=AF,CE=AF,则转化为利则转化为利用一组对边平行且用一组对边平行且相等来证明相等来证明. .证明证明: :DCAB,

13、DC=ABDCAB,DC=AB DE=CF DE=CFCE=AFCE=AF四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形是平行四边形. .四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形ABCDEF你还有几种不同的证法你还有几种不同的证法随堂练习随堂练习w定理定理: :两组对边分别相等的四边形是平行两组对边分别相等的四边形是平行四边形四边形. .w定理定理: :一组对边平行且相等的四边形是平行一组对边平行且相等的四边形是平行四边形四边形. .回顾 思考wAB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .BDCAwABCD,AB=CD,ABCD,AB=CD,w四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .平行四边形的判定平行四边形的判定平行四边形的判定平行四边形的判定定理定理: :对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平