第1章 数学模型简介

1、第第一一章章 数学模型简介数学模型简介1.1 什么是数学模型什么是数学模型1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义1.3 数学建模简单示例数学建模简单示例1.4 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型物理模型地图、电路图、分子结构图地图、电路图、分子结构图 符号模型符号模型模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的进行简缩、抽象、提炼出来的原型

2、原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人们需要的特征中人们需要的特征.1.1 什么是数学模型什么是数学模型 “航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速为答：船速为20km/h. .甲乙两地相距甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少，问船的速度是多少?x=20y =5求解求解航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）作出简化假设（船速

3、、水速为常数） 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速）分别表示船速和水速） 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）时间）列出数学式子（二元一次方程） 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5） 回答原问题（船速回答原问题（船速为为20km/h）数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作

4、出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学表述数学表述. .建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展电子计算机的出现及飞速发展. 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域在一般工程技术领域, 数学建模

5、仍然大有用武之地数学建模仍然大有用武之地. 在高新技术领域在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具数学建模几乎是必不可少的工具. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术技术”. 数学数学“由研究到工业领域的由研究到工业领域的技术转化技术转化，对加强，对加强经济竞争力具有重要意义经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模计算和建模重新成为中心课题，它们是数学重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径科学技术转化的主要途径” .数学建模的重要意义数学建模

6、的重要意义数学建模的具体应用数学建模的具体应用 分析与设计分析与设计 预报与决策预报与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模简单示数学建模简单示例例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面. 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少

7、三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地只脚同时着地.模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性.xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置. 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数.四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正

8、方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给

9、出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法3）由）由 f, g 的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数据连续函数的基本性质的基本性质, 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0.2）令）令 h( )= f( )g( ), 则则 h(0)0 和和 h( /2)0.4）因为）因为 f( ) g( )=0, 所以所以 f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键：建模的关键： 假设条件中哪些是本质的假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子考察四脚连线呈长方形的椅子 .

10、用用 表示椅子的位置表示椅子的位置椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样变化？变化？ 用用 f( ), g( )表示椅脚与地面的距离表示椅脚与地面的距离证明过程的粗糙之处：证明过程的粗糙之处：1.3.2 商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任在河的任一岸一岸, , 一旦随从的人数一旦随从的人数比商人多比商人多, , 就杀人越货就杀人越货. .乘船渡河的方案由商人决定乘船渡河的方案由商人决定. .商人们怎样才能安全过河商人们怎样才能安全过河?问题分析问题分析

11、多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人员船上的人员. .要求要求在安全的前提下在安全的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有限步使全体人员过河经有限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,sk=(xk , yk) 过程的状态过程的状态S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=

12、1,2S 允许状态集合允许状态集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk) 过程的决策过程的决策D 允许决策集合允许决策集合uk, vk=0, 1, 2; k=1,2,sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律状态转移律D=(u , v) u+v=1, 2, u, v=0, 1, 2 状态因决策而改变状态因决策而改变模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上机编程上机 图解法图解法状态状态s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 移动移动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右

13、上移右上移.s1sn+1d1, ,d11给出安全渡河方案给出安全渡河方案d1d11允许状态允许状态S=(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2求求dk D(k=1,2, ,n), 使使sk S, 并按并按转移律转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).模型构成模型构成商人和随从人数增加或小船容量加大商人和随从人数增加或小船容量加大;商人们怎样安全过河商人们怎样安全过河智力游戏智力游戏多步决策过程多步决策过程( (数学模型数学模型) )易于推广易于推广:规格化方法规格化方法考虑考虑4名商人各带一随从

14、的情况名商人各带一随从的情况.多步决策模型多步决策模型: 恰当地设置状态和决策恰当地设置状态和决策, 确定状态确定状态转移律及目标转移律及目标(目标函数目标函数).便于求解便于求解 (计算机编程等计算机编程等). 数学建模的基本方法数学建模的基本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律.将对象看作将对象看作“黑箱黑箱”,通过对量测数据的通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究实例

15、研究 (Case Studies)来学习来学习. .以下建模主要指机理分析以下建模主要指机理分析. .二者结合二者结合用机理分析建立模型结构用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的基本方法和步骤数学建模的基本方法和步骤 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型准备模型准备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型应用模型应用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征形成一个形成一个比较清晰比较清晰的的“问题问题”模模型型假假设设针对问题

16、特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出作出合理合理的、的、简化简化的假设的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题发挥发挥想像力想像力使用使用类比法类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析.模型模型分析分析模型模型检验检验与实际现象、数据比较，与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检

17、验模型的合理性、适用性.模型应用模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译翻译”成数学问成数学问题题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答将数学语言表述的解答“翻译翻译”回实际对回实际对象象.用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的信息检验得到的解答.实践现现实实世世界界数数学学世世界界理论实践1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模