自动控制原理第二章.控制系统数学模型

1、第二章 控制系统的数学模型o 2-1 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型o 2-2 控制系统的复域数学模型控制系统的复域数学模型o 2-3 控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图 所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。 1) 相似性相似性：不同系统，具有相同的数学模型。 2) 简化性和准确性简化性和准确性：忽略次要因素，简化之。 3) 动态模型：动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。 4) 静态模型：静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。（分析方法不同，各有所长）

2、1)时域：时域：微分方程、差分方程、状态方程 其它模型的基础 直观 求解繁琐 2)复频域：复频域：传递函数、结构图 微分方程拉氏变换后的结果 3)频域：频域：频率特性数学模型数学模型时域模型时域模型频域模型频域模型复数复数域域状态空状态空间模型间模型微分方程微分方程差分方程差分方程状态方程状态方程频率频率特性特性方框图方框图信号流图信号流图传递函数传递函数状态空间状态空间方程方程数学模型的几种表示方式数学模型的几种表示方式 数学模型建立方法： 1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方 程，合在一起。 2) 实验法：施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方 法，得到数学模型。 补

3、充补充 数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换定义拉氏变换定义 设函数设函数f(t)f(t)满足满足 t0t0 t0时，时，f(t)f(t)分段连续分段连续 则则f(t)f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作的拉氏变换存在，其表达式记作 0( )stf t edt 0( )( )( )stF sL f tf t edt数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换（2）拉氏拉氏变换基本定理变换基本定理1 1221122( )( )( )( )L a f ta f ta F sa F s( )()atL ef tF sa ()( )sL f teF s位移定理

4、位移定理0lim( )lim( )tsftsFs 终值定理终值定理延迟定理延迟定理线性定理线性定理数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换o 初值定理初值定理o 微分定理微分定理 o 积分定理积分定理 0lim( )lim( )tsf tsF s( )()(0 )d ftLsFsfd t222( )( )(0)(0)d f tLs F ssffdt1( )(0)( )FsfLft dtss1222( )(0)(0)( )F sffLf t dtsss数学工具拉普拉斯变换与反变换数学工具拉普拉斯变换与反变换 拉氏反变换拉氏反变换 F(sF(s) )化成下列因式分解形式化成下列因式

5、分解形式 a. a. F(sF(s) )中具有不同的极点时，可展开为中具有不同的极点时，可展开为 )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()(1212( )np tp tp tnf ta ea ea e例例1 1求求 23( )32sF sss的的Laplace逆变换逆变换 解：解： 12233( )32(1)(2)12aassF sssssss其中：其中：113(1)2(1)(2)ssasss223(2)1(1)(2)ssasss 21( )12F sss因此因此 11221( )

6、 ( )212ttf tLF sLeessb. b. F(sF(s) )含有共扼复数极点时，可展开为含有共扼复数极点时，可展开为 312123( )( )( )()()nnaaa saB sF sA sspspspsp112212121212( )()()( )( )()()( )spspspspB sa saspspA sB sa saspspA s进一步求解进一步求解a a1 1、a a2 2例例2 2：求：求 321( )sF ssss的的LaplaceLaplace逆变换逆变换解：解： 3123221( )1aa sasF sssssss 213131()()2222sssjsj 将将

7、F F( (s s) ) 乘乘 21ss 并令并令 1322sj 13131222221211() 1313()2222sjsjsa sasjaaja 12111223322aaa 1210aa 解得：解得： 32011(1)ssass ss 222133()11232( )113()()22ssF ssssss 11122333( ) ( )cossin1232ttf tLF setet c. c. F(sF(s) )含有多重极点时，可展开为含有多重极点时，可展开为 11111111( )()()()()()nrrrrrrnabbbaF sspspspspsp11( )() ( )rrspB

8、 sbspA s111( )() ( )rrspdB sbspds A s111( )() !( )jrrjspjdB sbspjdsA s111111( )() (1)!( )rrsprdB sbsprdsA s其余各极点的留数确定方法与上同。其余各极点的留数确定方法与上同。例例3 3：求：求 2325( )(2)ssF ss的的LaplaceLaplace逆变换逆变换解：解： 232133225( )(2)(2)(2)(2)aaassF sssss223332332222312322525(2)5,(2)2(2)(2)25(2)12!(2)sssssdssasassdssdssasdss

9、3222521( )(2)(2)(2)5( )(21)2tF ssssf ttte2-1 时域数学模型1.线性元件的微分方程线性元件的微分方程 在实际中，大多控制系统在一定条件下，都可用线性微在实际中，大多控制系统在一定条件下，都可用线性微分方程来描述。分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：1 1）由实际情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。）由实际情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。2 2）从输入端开始，按信号传递顺序，依各变量所遵循的物）从输入端开始，按信号传递顺序，依各变量所遵循的物 理、化学定理，列写动态方程，一般为微分方程。理

10、、化学定理，列写动态方程，一般为微分方程。3 3）消中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。）消中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。4 4）标准化。）标准化。例2-1 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)解：解：若弹簧恢复力若弹簧恢复力F F2 2(t)(t)和阻尼器阻力和阻尼器阻力F F1 1(t)(t)与外力与外力F(tF(t) )不能平不能平 衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。 根据牛顿定理

11、有根据牛顿定理有: :2221)()()()(dttydmtFtFtF)()()()(21tkytFdttdyftF式中式中 f f 阻尼系数阻尼系数, k , k 弹性系数弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：由以上所列方程中消去中间变量：有令kKmkfkmT1,2,)()()(2)(222tKFtydttdyTdttydT22( )( )1( )( )m d y tf dy ty tF tkdtkdtk 例2-2 电阻电感电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。 R C ur(t) uc(t) L解：（1）确定输入量为ur(t)，输

12、出量为uc(t)，中间变量为i(t)。 rcuuRidtdiL （4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式: dtduCic （5）将上式代入原始方程，消去中间变量得 R C ur(t) uc(t) L （2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。 （3）由KVL写原始方程：i(t)（6）整理成标准形，令T1 = L/R，T2 = RC，则方程化为rcccuudtduTdtudTT 22221线性微分方程的一般特征 观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmm

13、mmmm 11110rcccuudtduRCdtudLC 22式中，c(t) 输出变量，r(t) 输入变量。 （1）方程系数为实常数，由系统自身参数决定； （2）左、右端阶次nm。因实际物理系统均有惯性或储能元件； （3）方程两端各项的量纲应一致。这可检查微分方程正确与否。cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110 rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111022( )d ydymfkyF tdtdt221rd qdqLRqudtdtCrcccuudtduRCdtudLC 22：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。 上面两个

14、例题介绍的系统，就是相似系统。例2-1例2-2令uc=q/C当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。2.线性系统的基本特性线性系统的基本特性o 线性系统的重要性质重要性质：可应用叠加原理叠加原理o 叠加原理：叠加原理：具有叠加性、均匀性3. 3.线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解o 建立控制系统数学模型的目的之一就是用数建立控制系统数学模型的目的之一就是用数学方法学方法定量定量研究控制系统的工作特性。研究控制系统的工作特性。 当线性微分方程列写后，只要给定输入量和初当线性微分方程列写后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解

15、，进而了解输出始条件，便可对微分方程求解，进而了解输出量随时间变化的特性。量随时间变化的特性。线性定常微分方程的求解方法：线性定常微分方程的求解方法： 经典法、拉氏变换法。经典法、拉氏变换法。列列出出方方程程求求解解方方程程求求解解微微分分方方程程初初条条输输入入量量经典法经典法拉氏变换法拉氏变换法拉氏变换法求解微分方程特点：拉氏变换法求解微分方程特点： 将将微分微分表达式转换成表达式转换成线性代数线性代数关系式关系式例：例： 在例在例1中，若已知中，若已知L=1H,C=1F, R=1,且电容上初始电压且电容上初始电压 uc(0)=0.1V,初始电流为初始电流为i(0)=0.1A ,电源电压电

16、源电压ui(t)=1V 。试求电。试求电路突然接通电源时，电容电压路突然接通电源时，电容电压uo(0) 的变化规律。的变化规律。o 解：解： 根据复数阻抗得到的微分方程。根据复数阻抗得到的微分方程。o 设回路电流为设回路电流为i(ti(t) )，o 由基尔霍夫定理可写出回路方程为由基尔霍夫定理可写出回路方程为o o 消中间变量消中间变量i(ti(t) )，得描述网络输入输出关系的，得描述网络输入输出关系的微分方程为微分方程为 ：+-+-uiu0ci(t)RLdttiCtututRidttiCdttdiLi)(1)()()()(1)(020002( )( )( )( )id utdutLCRCu

17、tutdtdto 令令 o o 式中式中 是是 在在t t0 0时的值，即：时的值，即：o 对式中各项求拉氏反变换，并代入已知数据，经整理对式中各项求拉氏反变换，并代入已知数据，经整理后有：后有：o o 由于电路是突然接通的，故由于电路是突然接通的，故u ui i(t (t) )可视为可视为阶跃输入量阶跃输入量，即，即u ui i(t (t) ) 1(t)1(t)即：即：00022/00002( )( )(0),( )( )(0)(0),du tLsUsudtd u tLs Ussuudt0(0)u0( )/du tdt00( ) ( ),( )( ),iiU sL u tU sL u t00

18、00( )11(0)( )(0)ttdu tui tidtCC022( )0.10.2( )11iU ssUsssss ( ) ( )1/iiU sL u ts20002( )( )( )( )id utdutLCRCutu tdtdto 若输入电压是单位脉冲量若输入电压是单位脉冲量 (t)(t)，相当于电路突然接通又，相当于电路突然接通又断开的情况，此时，断开的情况，此时，U Ui i(s (s)=L)=L (t)=1(t)=1o 网络的输出则称为网络的输出则称为单位脉冲响应单位脉冲响应，即为，即为 ： 10220.500.5010.10.2( )(1)111.15sin(0.866120

19、)0.2sin(0.86630 )ttsuts ssssetet10220.500.5010.10.2( )111.15sin(0.866120 )0.2sin(0.86630 )ttsutssssetet求拉氏反变换，便可得网络方程的解，即求拉氏反变换，便可得网络方程的解，即:o 利用拉氏变换的初值和终值定理，可以直接从式中了利用拉氏变换的初值和终值定理，可以直接从式中了解网络中电压的解网络中电压的初始值初始值和和终值终值。o 当当u ui i(t (t) )1(t)1(t)时，时， u uO O(t (t) )的初始值为的初始值为o u uO O(t (t) )的终值为的终值为o 其结果与

20、从式子下式中求得的数值一致。其结果与从式子下式中求得的数值一致。000022(0)( )( )10.10.20.1(1)1limlimlimtssuutsUsssVs ssss 0000220()( )( )10.10.21(1)1limlimlimtssuutsUsssVs ssss 10220.500.5010.10.2( )(1)111.15sin(0.866120 )0.2sin(0.86630 ) (6)ttsuts ssssetet 用拉氏变换法求解线性微分方程的过程可以用拉氏变换法求解线性微分方程的过程可以归纳为如下：归纳为如下： 1. 1.考虑初始条件，对微分方程中每项分别进行

21、拉氏变换，将考虑初始条件，对微分方程中每项分别进行拉氏变换，将微分方程转变为变量微分方程转变为变量s s的代数方程；的代数方程； 2. 2.由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 3.对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得输出量的时域表对输出量拉氏变换函数求拉氏反变换，得输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。达式，即为所求微分方程的解。 实际的物理系统往往有：间隙、死区、饱和等非线性现象。实际的物理系统往往有：间隙、死区、饱和等非线性现象。 因此，在工程允许范围内，对所研究系统进行因此，在工程允许范围内，对所研究系统进行线性化处理线性化处理

22、，然后用然后用线性理论线性理论进行分析进行分析4. 4.非线性微分方程的线性化非线性微分方程的线性化将非线性元件线性化有二种方法：将非线性元件线性化有二种方法： 1 1. .在一定条件下，忽略非线性因素影响，将它们视为在一定条件下，忽略非线性因素影响，将它们视为线性元件。线性元件。如：电阻、电容、电感在一定条件下忽略周围环境(温度、湿度、压力等)对其的影响；电动机忽略摩擦、死区等非线性因素；线性放大器忽略死区、饱和的影响。 2. 2.切线法或小偏差法，切线法或小偏差法，如晶体管放大电路的小信号分析法 。适用具有连续变化的非线性特性函数，其实质是在一个很小的范围内，将非线性用一段直线来代替。关于

23、小偏差线性化关于小偏差线性化：必须有明确平衡工作点，线性化模型必须有明确平衡工作点，线性化模型在工作点不能作泰勒展开的系统，不可能在工作点不能作泰勒展开的系统，不可能在该工作点邻域有效；在该工作点邻域有效；线性化的精确度与工作范围和系统的非线线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关；性程度有关；作线性化处理。作线性化处理。o 数学上，线性微分方程的解由数学上，线性微分方程的解由特解特解和齐次微分方程和齐次微分方程的的通解通解组成。组成。o 通解由微分方程的特征根所决定，代表自由运动。通解由微分方程的特征根所决定，代表自由运动。如果如果n n阶微分方程的特征根是阶微分方程的特征根是 ， 且

24、无重根，则且无重根，则把函数把函数 称为该微分方程所描述运动的称为该微分方程所描述运动的模态模态，也叫振型。也叫振型。 齐次微分方程的齐次微分方程的通解通解则是它们的线性组合，即则是它们的线性组合，即o 式中系数由初始条件决定。式中系数由初始条件决定。12n , ,12,nttteee12012( )ntttny tcec ec e5. 5. 系统的运动模态系统的运动模态(model)(model) o 如果特征根中有多重根如果特征根中有多重根 则模态会具有则模态会具有 的函数；的函数；o 如果特征根中有共轭复根如果特征根中有共轭复根 则其共轭复模态则其共轭复模态 可以写成实函数模态可以写成实

25、函数模态 与与 12012( )ntttny tc ec ec e2,tttet ej()(),jtjteetetsintetcoso 可见，输入输出象函数之比只与本电路结构参数可见，输入输出象函数之比只与本电路结构参数R R、C C有有关。它可用来关。它可用来表征电路本身的特性表征电路本身的特性，称为，称为传递函数。传递函数。( )1 ( )1Ui sUo sRCs控制系统复数域数学模型引言控制系统复数域数学模型引言右图是由右图是由RCRC组成的四端口无源网络：组成的四端口无源网络：)()(1)(tUdttiCtRiidttdUCtidttiCtUo)()()(1)(0R RC CU Ui

26、iU U0 0v据电学基本定律列方程组：据电学基本定律列方程组：v消去中间变量消去中间变量i(t)i(t)，得：，得：v进行拉氏变换得：进行拉氏变换得：( )1 ( )1 Ui sUo sRCs( )( )( )ooidu tRCu tu tdt用复阻抗求解RC无源网络R RC CU Ui iU U0 0( )( )( )( ) /( )( )( ) (1)( )( ) ( )1 ( )1 RI sUo sUi sI sCsUo sI sCsUo sRCsUo sUi sUi sUo sRCs2-2 2-2 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 控制系统的控制系统的微分方程微分方程

27、是在时间域描述系统动态性能的是在时间域描述系统动态性能的数学模型。在给定的初始条件下，求解微分方程可以得到数学模型。在给定的初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。系统的输出响应。 优：优：比较直观比较直观 缺：缺：系统的结构改变或参数发生变化时，需要重新列写、系统的结构改变或参数发生变化时，需要重新列写、 求解微分方程。求解微分方程。o 用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到系统用拉氏变换法求解微分方程时，可以得到系统在在复数域复数域上的数学模型上的数学模型传递函数传递函数。o 传递函数传递函数不仅可以不仅可以表征表征系统的动态性能，而且可系统的动态性能，而且可以研究系统结构或参数发生

28、变化对以研究系统结构或参数发生变化对性能的影响性能的影响。o 传递函数是经典控制理论的重要概念，传递函数是经典控制理论的重要概念，频域分频域分析法和根轨迹分析法析法和根轨迹分析法就是以此为基础建立起来的。就是以此为基础建立起来的。（1 1）传递函数的定义）传递函数的定义 传递函数传递函数：线性定常系统在：线性定常系统在零初始条件下零初始条件下，系统，系统输输出量的拉氏变换出量的拉氏变换与与输入量的拉氏变换输入量的拉氏变换之比，叫做系之比，叫做系统的传递函数。统的传递函数。 ( )( )( )C sG sR s1.传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质( )( )C sR s零初始条件输出信号

29、的拉氏变换传递函数输入信号的拉氏变换o 式中式中c c( (t t) ) 输出量，输出量，r(t)r(t) 输入量，输入量，a ai i和和b bj j是与系统结构和参数有关是与系统结构和参数有关的常系数。的常系数。o 设设零初始条件零初始条件，对上式求拉氏变换，并令，对上式求拉氏变换，并令C(s)C(s)Lc(t)Lc(t)，R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得代数方程为：，可得代数方程为：1111011 ( ) ( )nnnnmmmmsa sasa C sb sbsbsbR s设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述： 111110

30、111( )( )( )( ) ( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmdddc tac tac ta c tdtdtdtdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt a0于是，由定义得系统传递函数为：于是，由定义得系统传递函数为：式中：式中：10111011.( )( )( )( ).( )mmmmnnnnb sbsbsbC sM sG sR sa sa sasaN s-+=+10111011( ).( ).mmmmnnnnM sb sbsbsbN sa sa sasa-=+=+零初始条件含义为：零初始条件含义为：1) 1) 输入量输入量在在t t = 0= 0+ +时开始作

31、用于系统，因此时开始作用于系统，因此t t = 0= 0- -时系统的输入时系统的输入量及各阶导数均为零；量及各阶导数均为零；2) 2) 输入量输入量在作用于系统之前，系统相对静止，因此系统输出量在作用于系统之前，系统相对静止，因此系统输出量及其各阶导数在及其各阶导数在t t = 0= 0时的值也均为零。时的值也均为零。解：已知解：已知RLCRLC网络的微分方程表示为：网络的微分方程表示为：21( )( )oiLCsRCsU sU s22( )( )( )( )oooid u tdu tLCRCu tu tdtdt 例例1：求：求RLC无源网络的传递函数。无源网络的传递函数。 在零初始条件下，

32、对上式各项进行拉氏变换，可得在零初始条件下，对上式各项进行拉氏变换，可得到到s的代数方程为：的代数方程为： 由由传递函数的定义传递函数的定义可得到系统的传递函数为：可得到系统的传递函数为：2( )1( )( )1oiUsG sU sLCsRCs 作为一种数学模型，传递函数只适用于作为一种数学模型，传递函数只适用于线性系统线性系统，因拉氏变换是一种线性积分运算。因拉氏变换是一种线性积分运算。 传递函数只表示单输入和单输出传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关之间的关系，对多输入多输出系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用系统，可用传递函数传递函数阵阵表示。表示。 （2）传递函数的性质

33、传递函数的性质 (a)(a)传递函数是传递函数是s s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质；质；所有系数都是实数且所有系数都是实数且 。 (b) (b)传递函数描述了零初始条件下输入和输出间的关系，表传递函数描述了零初始条件下输入和输出间的关系，表达了系统内在的固有特性，达了系统内在的固有特性，只与系统本身的特性参数有只与系统本身的特性参数有关关，与系统的输入量或输入函数无关。，与系统的输入量或输入函数无关。 (c) (c)传递函数与微分方程有互通性：传递函数与微分方程有互通性： (d) (d)传递函数的拉氏反变换是脉冲响应。传递函数的拉氏反变换是脉冲

34、响应。mn( )L( )1R st111( )L( )L( ) ( )L( )g tC sG s R sG s( )L( )G sg t对于对于非零初始条件下系统的响应非零初始条件下系统的响应该如何来求解呢？该如何来求解呢？ 这就要用到传递函数和微分方程的相通性，在这就要用到传递函数和微分方程的相通性，在传递函数中用微分算子传递函数中用微分算子 来置换来置换s，得到微分，得到微分方程；方程； 然后考虑初始条件，用拉氏变换法来求解非零然后考虑初始条件，用拉氏变换法来求解非零初始条件下的解。初始条件下的解。/d dto 2 2 传递函数的极点和零点传递函数的极点和零点 ,1,2,.,jpjn012

35、10121()()()()( )*()()()()miminnjjszb szszszG sKa spspspspn为传递函数的为传递函数的零零点点n为传递函数的为传递函数的极极点点,1,2,.,iz im221111221111() (1)(21)(1)( ) (1)(21)(1)()miiinjjjSZssssG sTsT sTst sSPmbnan传递函数也可以写成时间常数的形式传递函数也可以写成时间常数的形式01210121()()()()( )*()()()()miminnjjszb szszszG sKa spspspspo 零点距极点的距离越远，该极点产生的模态所占比重零点距极点

36、的距离越远，该极点产生的模态所占比重越大。反之越小。越大。反之越小。o 如果零极点重合，该极点所产生的模态为零，因为分如果零极点重合，该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。子分母相互抵消。 p p2 2p p1 1z z1 1z z2 2图图2 2- -7 7 传传递递函函数数的的零零极极点点图图o 极点极点是微分方程的是微分方程的特征根特征根，因此，决定了所描述系统，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。自由运动的模态。o 传递函数的传递函数的零点零点并不形成自由运动的模态，但他们却并不形成自由运动的模态，但他们却影响各模态响应中所占的比重，因而也影响响应曲线影响各模态响应中所占的比

37、重，因而也影响响应曲线的形状。的形状。3 3 传递函数的极点和零点对输出的影响传递函数的极点和零点对输出的影响 自由运动的模态为：自由运动的模态为：( )6(3)( )( )(1)(2)C ssG sR sss13,z 121,2pp 2,ttee(1)(1)传递函数的极点传递函数的极点例例3 3： 设某系统传递函数为：设某系统传递函数为：分析分析: : (a)(a)零点为：零点为：极点为：极点为：（b）考虑输入为： ， 即 系统的零初始条件响应为： 512( )tr trr e12( )5rrR sss111222112512(312 )(36(3)( )L( )L(1)(2) 52 )9t

38、ttrrr errrrsec tC sssr ess 式中：前两项和输入函数具有相同的模态，后两项包含了极 点形成的自由模态，这是系统固有的成分，但是系数 和输入函数有关。 因此，传递函数的极点可以受输入函数的激发，在输出响应中形成自由运动的模态。51251212122(312 ) ( )( (32 )9ttttr trr ecrr errr er et(2)传递函数的零点 零点并不形成自由运动的模态，但是它们却影响各模态响应所占的比重，因而影响响应曲线的形状。 设具有相同极点但是零点不同的传递函数为：分析：它们的极点相同 的零点为： 的零点为：12421.52( ), ( )(1)(2)(1

39、)(2)ssG sG sssss121,2pp 10.5z 2( )G s21.33z ，1( )G s12112242( )L123(1)(2)1.52( )L1 0.50.5(1)(2)ttttsc tees sssc tees ss 在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别为：在零初始条件下，它们的单位阶跃响应分别为： 在c1(t)、c2(t)中，自由模态相同，因有相同的极点，它们按相同的规律衰减，但衰减系数不同，这是因为它们的零点不同。C(t)t1C1(t)C2(t) 在极点相同时， G1(s) 的零点接近于原点，距两个极点的距离都离得比较远，因此，两个模态所占的比重大且零点的作用明显；

40、jG1(s)-2-1-0.5jG2(s)-2-1-1.33o 从零、极点的相互关系看，控制系统的性能，可通从零、极点的相互关系看，控制系统的性能，可通过分析零、极点的相互作用进行分析，如过分析零、极点的相互作用进行分析，如第四章第四章介介绍的根轨迹法。绍的根轨迹法。o 系统性能的改变，也可以通过增加或改变零点在系统性能的改变，也可以通过增加或改变零点在S S平面上的分布来校正，如平面上的分布来校正，如第六章第六章介绍的系统校正。介绍的系统校正。4 4 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数典型环节通常分为以下六种：典型环节通常分为以下六种： 1) 1) 比例环节比例环节 式中式中 K K-

41、-增益增益o 特点特点 输入输出量成比例输入输出量成比例, ,无失真和时间延迟。无失真和时间延迟。o 实例实例 电子放大器，齿轮，电阻电子放大器，齿轮，电阻( (电位器电位器) )等。等。( )G sK任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成。任何一个复杂系统都是由有限个典型环节组合而成。E E( (a a) )图图2 2- -1 10 0 电电位位器器( )u(t)U s 或( ) t( ) s1max2( ) t- -( (c c) )1K( ) s( )U s( ) t( )u t1( )( )U tKt( (b b) )单个电位器用作为信号变换装置单个电位器用作为信号变换装置1(

42、)1G sTs2） 惯性环节惯性环节 例例 如图所示的无源网络电路如图所示的无源网络电路 ui(t)Ruo(t)Ci(t)( )1( )( )1oiUsG sU sRCs(其中RCT) 理想微分理想微分一阶微分一阶微分二阶微分二阶微分特点：特点： 输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。入信号的变化趋势。( )G sKs( )1G ss22( )21G sss3) 微分环节微分环节 在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难在实际的机电控制工程系统中，理想的微分环节很难实现，通常用实现，通常用 : :( )1KTsG sTs( (其中其中

43、T T，K K为常数为常数) ) 来近似微分环节。来近似微分环节。 例例 如图所示的无源微分网络如图所示的无源微分网络 uo(t)i(t)ui(t)CR( )( )( )1oiUsRCsG sU sRCs (其中K=1，T=RC) 4 4） 积分环节积分环节 o 特点：特点： 输出量与输入量的积分成正比例，当输入输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。消失，输出具有记忆功能。o 实例：实例： 电动机角速度与角度间的传递函数，模拟电动机角速度与角度间的传递函数，模拟 计算机中的积分器等。计算机中的积分器等。1( )G ss例例 如图所示的积分运算放大器如图所示的积分运算放大

44、器 CRAuo(t)ui(t)1( )( )( )oiUsKRCG sU sss式中式中: : 阻尼比阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率） -时间常数时间常数特点：特点：环节中两个独立储能元件，并能量交换，输出出现振荡。环节中两个独立储能元件，并能量交换，输出出现振荡。实例：实例：RLCRLC电路的输出与输入电压间传递函数。电路的输出与输入电压间传递函数。222221( )221nnnG sssT sTs(01)n1nT5） 振荡环节振荡环节 例例 如图所示的如图所示的R-L-C R-L-C 无源网络无源网络 LRui(t)i(t)Cuo(t)2221

45、1( )1()212G sRCLCsRCsLCsLCsLC ,2RCTLCLC6 ) 6 ) 纯时间延时环节纯时间延时环节式中式中 延迟时间延迟时间特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定 的时间间隔。的时间间隔。实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型 就包含有延迟环节。就包含有延迟环节。( )()( )sc tr tG seo 控制工程中，为便于分析、设计系统，将各元件的控制工程中，为便于分析、设计系统，将各元件的功能及之间联系用图形表示，即功能及之间联系用图形表示，即结构图和信号流图。结构

46、图和信号流图。o 1. 1.系统的结构图的组成和绘制系统的结构图的组成和绘制 结构图也称结构图也称方块图方块图或或方框图方框图，具形象、直观特点。，具形象、直观特点。系统方框图是系统各元件功能和信号流向的图解，清楚系统方框图是系统各元件功能和信号流向的图解，清楚表明系统各环节间的相互关系。适用于表明系统各环节间的相互关系。适用于线性系统线性系统和和非线非线性系统。性系统。 2-3 2-3 控制系统的结构图和信号流图控制系统的结构图和信号流图（1 1）结构图的组成）结构图的组成构成结构图的基本符号有四种：构成结构图的基本符号有四种： 信号线信号线 比较点比较点 引出点引出点 方框（环节）方框（环

47、节）1) 1) 信号线信号线: : 带有箭头直线，箭头表示信号传递的方向带有箭头直线，箭头表示信号传递的方向d)c)b)G(s)X (s)a)X (s)X (s)iiX (s)X (s)ioiX (s)ooX (s)X (s)oX (s)o在直线一侧标出信号的名称，在直线一侧标出信号的名称，一般多用象函数表示。一般多用象函数表示。2) 2) 引出点引出点( (测量点测量点) )：表示信号引出或测量的位置：表示信号引出或测量的位置d)c)b)G(s)X (s)a)X (s)X (s)iiX (s)X (s)ioiX (s)ooX (s)X (s)oX (s)o同一位置引出的信号特性完全相同同一位

48、置引出的信号特性完全相同3) 3) 比较点比较点( (综合点综合点) )：表示两个或两个以上的信号相加减运算：表示两个或两个以上的信号相加减运算 d)c)b)G(s)X (s)a)X (s)X (s)iiX (s)X (s)ioiX (s)ooX (s)X (s)oX (s)o4) 4) 方块方块( (环节环节) )：表示信号进行的数学转换表示信号进行的数学转换 d)c)b)G(s)X (s)a)X (s)X (s)iiX (s)X (s)ioiX (s)ooX (s)X (s)oX (s)o方块中写入元件或系统的传递函数方块中写入元件或系统的传递函数 方块的输出变量就等于输入变量与传递函数的

49、乘积方块的输出变量就等于输入变量与传递函数的乘积 ( )( )( )oiXsG s X s 对于一个系统，清楚工作原理及信号传递情况，可按结对于一个系统，清楚工作原理及信号传递情况，可按结构图的基本连接形式，将各个环节结构图，连接成系统构图的基本连接形式，将各个环节结构图，连接成系统结构图结构图. .绘制步骤：绘制步骤：(2) 结构图的绘结构图的绘制制（1 1）列写基本元件拉氏变换表达式；）列写基本元件拉氏变换表达式；（2）将拉氏表达式整理成易于绘图的规范形式（输入量是第一将拉氏表达式整理成易于绘图的规范形式（输入量是第一个已知变量，放在等号右边；未知量放在等号左边）；个已知变量，放在等号右边

50、；未知量放在等号左边）；（3 3）用方框图的基本构件表达拉氏变换表达式；）用方框图的基本构件表达拉氏变换表达式；解：解：列写上述方程过程中，已考虑到列写顺序和规范形式。从第一个方程开始绘制，逐个完成。R2R1i1i2iuiuoC1( )( )( )RioUsU sU s；1111( )( )RI sUsR；21( )( )RIsCsUs；12( )( )( )I sI sIs；2( )( )oU sR I s；I2(s)CsUo(s)R2I1(s)11/ RI (s)UR1(s)Ui (s)-1( )RUsUo(s) 方框图等效变换使系统结构方框图等效变换使系统结构便于理解、分析便于理解、分析

51、和计算和计算传递函数。传递函数。“等效等效”是指变换部分两端的信是指变换部分两端的信号传递号传递 串联环节的等效传递函数串联环节的等效传递函数简记，简记，“串联相乘串联相乘”。X3(s)X1(s)X2(s) G1(s) G2(s) X1(s)X3(s)G1(s)G2(s)12( )( )( )G sG s Gs；关系不变。关系不变。 并联环节的等效传递函数并联环节的等效传递函数简记，“并联比较”。X1(s)X4(s)X2(s)X3(s)G1(s)G2(s)G1(s)G2(s)X1(s)X4(s)12( )( )( )G sG sG s；简记，简记，( (对于负反馈对于负反馈) ) X2(s)_

52、 X3(s)X1(s)X4(s)G1(s)G2(s)X4(s)X1(s)112( )1( )( )G sG s G s112( )( )1( )( )G sG sG s G s；等效传递函数等效传递函数= = ；前向传递函数前向传递函数1 + 1 + 开环传递函数开环传递函数 比较点移动规则比较点移动规则( (要点信号关系等效要点信号关系等效) )X2(s)X3(s)X1(s)G(s)X2(s)X3(s)X1(s)G(s)G(s)X2(s)X3(s)X1(s)G(s)X2(s)X3(s)X1(s)G(s)1/G(s)X2(s)X1(s)X1(s)G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)X

53、2(s)X1(s)X1(s)G(s)1/G(s)X2(s)X2(s)X1(s)G(s)G(s) 比较点与比较点之间，引出点与引出点之间交比较点与比较点之间，引出点与引出点之间交换位置信号关系不变；换位置信号关系不变；比较点与引出点之间交换位置要慎重，尽可能比较点与引出点之间交换位置要慎重，尽可能不采用。不采用。 负号在支路上移动负号在支路上移动( (要点信号关系等效要点信号关系等效) )。 方块图的等效规则方块图的等效规则 a. a. 各前向通道的传递函数乘积不变；各前向通道的传递函数乘积不变； b. b. 各回路传递函数的乘积不变。各回路传递函数的乘积不变。G1G2G1G2串串 联联并并 联

54、联反反 馈馈G1G2RCG2G1RCG1G2RCRCRCG1G1G21+RC1 1 三种典型结构可直接用公式三种典型结构可直接用公式2 2 相邻比较点可互换位置、可合并相邻比较点可互换位置、可合并3 3 相邻引出点可互换位置、可合并相邻引出点可互换位置、可合并 注意事项：注意事项：1 1 不是典型结构不可直接用公式不是典型结构不可直接用公式2 2 引出点比较点引出点比较点相邻，不可相邻，不可互换位置互换位置G1G2G3H1错！错！G1G2G3H1G2H1G1G3G1G2G3H1G2向向同类同类移动移动比较点移动比较点移动G1G2G3H1G1G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H

55、2H1G41请你写出结果请你写出结果,行吗？行吗？G1G4H3G2G3H1H1H3G1G4G2G3H3H1函数函数 G G( (s s) = ) = C C( (s s)/ )/R R( (s s) )。系统方框图R(s)_ _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)_ _ _解：方法一R(s)_ _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)_ _ _1/G4(s)H3(s)R(s)_ _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)_ _ _G4(s)H3(s)方法三_ _R(s)_ _C(s)G

56、1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)_ _ _H3(s)/G2(s)_ _R(s)_ _C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H1(s)H3(s)_ _ _G2(s)H2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)H(s)_ _ _G5(s)G(s) = C(s)/R(s)。系统方框图解：R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)_ _ _G5(s)四个信号经三个求和点比较，交换次序，得R(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s

57、)H(s)_ _ _G5(s)1324( )( )( )( )( )G sG s G sG s G s534( )1 ( )( )( )G sG sG s H sR(s)C(s)G1(s)G3(s)G2(s)G4(s)G3(s)H(s)G4(s)H(s)_ _ _G5(s)3. 3.信号流图的组成及性质信号流图的组成及性质 信号流图是表示一组线性代数方程的图示方法。是信号流图是表示一组线性代数方程的图示方法。是一种描述系统内部信号传递关系的数学模型。一种描述系统内部信号传递关系的数学模型。 信号流图比结构图更简单明了，可不必求解方程就信号流图比结构图更简单明了，可不必求解方程就得到各变量之间的

58、关系，既直观又形象。得到各变量之间的关系，既直观又形象。 当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流当系统方框图比较复杂时，可以将它转化为信号流图，并可据此采用梅逊图，并可据此采用梅逊(Mason)(Mason)公式求出系统的传递函公式求出系统的传递函数，但是它数，但是它只能用来描述线性系统只能用来描述线性系统。 信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点信号流图中的网络是由一些定向线段将一些节点连接起来组成。连接起来组成。E(s)X (s)iG(s)H(s)oX (s)H(s)X (s)i1G(s)1E(s)X (s)oX (s)o图示的方块图与之对应的信号流图的关系图示的方块图与之对应的

59、信号流图的关系 1)节点表示系统的节点表示系统的变量变量或或信号信号 通常，节点是自左向右设置，每一个节点的信号通常，节点是自左向右设置，每一个节点的信号是所有通过节点信号的代数和，而同一节点流向是所有通过节点信号的代数和，而同一节点流向各支路的信号均用该节点的信号表示各支路的信号均用该节点的信号表示. . 任何节点都用空心圆圈任何节点都用空心圆圈 “ “”表示。表示。信号流图的基本性质如下：信号流图的基本性质如下：)()()(sEsGsXo3) 3) 信号在支路上只能沿箭头方向单向传递。信号在支路上只能沿箭头方向单向传递。4) 4) 同一系统，节点变量可以任意设置，信号流图同一系统，节点变量

60、可以任意设置，信号流图 不唯一，但不唯一，但最终的传递函数是唯一的最终的传递函数是唯一的。 2) 2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，流入支支路相当于乘法器，信号流经支路时，流入支 路的信号乘以支路的增益等于流出支路的信号：路的信号乘以支路的增益等于流出支路的信号：常用的术语：常用的术语：源节点源节点（输入节点）：（输入节点）：代表输入变量，代表输入变量，如节点：如节点：X1X1阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）：代表输出变量，代表输出变量， 如节点：如节点：X7X7混合节点：混合节点：既有输入支路又有输出支路，既有输入支路又有输出支路，如节点：如节点：X2X2，X3X3，X4X4回路