数学分析 重积分应用

1、重积分的应用重积分的应用一、立体的体积一、立体的体积二、曲面的面积二、曲面的面积三、物体的重心三、物体的重心四、平面薄片对质点的引力四、平面薄片对质点的引力五、矩五、矩复习：区域连通性的分类复习：区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、立体的体积一、立体的体积二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱

2、体的体积xzyoD),(yxfz .),( DdyxfV 例例1 计算由曲面计算由曲面2241yxz 及及 xoy 面所围的立体面所围的立体体积。体积。xyzo1121xyzo1121解解设立体在设立体在第一卦限上第一卦限上的体积为的体积为 V1。由立体的对称性，所求立由立体的对称性，所求立体体积体体积 V = 4V1 。121xyo241xy D立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz .410,210:2xyxD121xyo241xy D立体在第一卦限部分可以看立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲成

3、是一个曲顶柱体，它的曲顶为顶为,4122yxz 它的底为它的底为于是，于是， dyxVD )41(221 dyyxdxx 241022210 )41( 2104103223)41( dxyyxx 2104103223)41( dxyyxx 210232)41(32dxxtxsin21 令令xt02102 204 cos2132 dtt)22143(31 16 所求立体的体积所求立体的体积14VV .4 例例2 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体在第一卦限部分的体积。的立体在第一卦限部分的体积。xyzoRRRxyzoRRRRxyo22xRy RD解解所求立体

4、所求立体可以看成可以看成是一个曲是一个曲顶柱体，顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为Rxyo22xRy RD,22xRz .0,0:22xRyRxD它的底为它的底为它的曲顶为它的曲顶为于是，立体体积为于是，立体体积为 dxRVD 22dyxRdxxRR 220220 RxRdxyxR002222 RdxxR022 )( RxxR0323 .323R 例例3 求球体求球体22224azyx 被圆柱面被圆柱面axyx222 )0( a所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。解解显然，所求立体应在第一、显然，所求立体应在第一、第四、第五、第八卦限。第

5、四、第五、第八卦限。而且，四个卦限部分的体积而且，四个卦限部分的体积是对称相等的。是对称相等的。因此，若设第一卦限部分的体因此，若设第一卦限部分的体积为积为 V1 ，则所求立体的体积为，则所求立体的体积为.41VV xyzoa2a2a2V1 可以看成是一个曲顶柱体，可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为它的曲顶为xyzoa2a2a2.4222yxaz 22xaxy 它的底它的底D 由半圆周由半圆周及及 x 轴围成。轴围成。a2xyo cos2ar D用极坐标系表示用极坐标系表示:D,20 .cos20 ar 于是于是, dyxaVD 42221 drdrraD 422a2xyo cos2ar D

6、dyxaVD 42221 drdrraD 422drrrada 4cos202220 )4( 42122cos202220radrada 2033)sin1(38 da)322(383 a所求立体体积所求立体体积14VV )322(3323 a二、曲面的面积二、曲面的面积设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,Dxoy面面上上的的投投影影区区域域为为在在,Dd 设设小小区区域域,),( dyx 点点.),(,(的的切切平平面面上上过过为为yxfyxMS .dsdAdAdsszd，则有为；截切平面为截曲面轴的小柱面，于边界为准线，母线平行以如图，如图， d),(yxMdAxyzs o

7、MAdzdn, 面面上上的的投投影影在在为为因因为为xoydAd ,cos dAd所所以以,11cos22yxff dffdAyx221 ,122 DyxdffA - - 曲面曲面 S 的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：dxdyyzxzAxyD 22)()(1设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式为：曲面面积公式为：.122dzdxxyzyAzxD 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式为：曲面面积公式为：;122dydzzxyxAyzD 同理可得同理可得14AA , , 221 yzxz 解解xyzoaaa设第一卦限部分的面积为设

8、第一卦限部分的面积为 A1 ，则由对称性，所求的面积为则由对称性，所求的面积为,222yxaa xyDdxdyyxaa222 cos022201ardrrada.4222aa dxdyyzxzAxyD 1221 xyD：axyx 22 )0,( yxaxyo cosar D极坐标系下表示：极坐标系下表示：,20 .cos0 ar Ddrdrraa 22例例5 求两个圆柱面求两个圆柱面222Ryx 222 Rzx 及及所围所围的立体的表面在第一卦限部分的面积的立体的表面在第一卦限部分的面积 A。解解所求表面分成所求表面分成和和，如图。，如图。xyzoRRR第一块（第一块（ ）在圆柱面）在圆柱面上

9、上， 222Rzx 第一块（第一块（ ）在圆柱面）在圆柱面. 222上上Ryx 由对称性，这两块曲面的面积相等，即由对称性，这两块曲面的面积相等，即 A=A。因此，因此，A = 2 A。,22xRz 在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为221 yzxz ,22xRR xyD：222Ryx )0, 0( yx xyDdxdyxRR22dxdyyzxzxyD 122 A,22 xRRRx时，时，当当Rxyo22xRy RxyD,22xRz 在在 A上，曲面方程为上，曲面方程为因此，因此，A = 2 A。Rxyo22xRy RxyD xyDdxdyxRR22dxdyyzxzxyD 122 A,22

10、xRRRx时，时，当当),0, 0( yx 1Rx 围围成成。 0 , 0 ),0(1 xyRRRxyo22xRy R1D1RA 1122limDRRdxdyxRR 22110220limxRRRRdyxRRdxA 1122limDRRdxdyxRR 22110220limxRRRRdyxRRdx 110limRRRRdx.2R 于是所求面积，于是所求面积，A = 2 A.22R 设在空间中有设在空间中有 n 个质量分别是个质量分别是的质点组，它们的坐标分别为的质点组，它们的坐标分别为 nmmm,21),( ,),(),(222111nnnzyxzyxzyx由静力学的知识可知，这个质点组的质心

11、坐标由静力学的知识可知，这个质点组的质心坐标有如下的计算公式：有如下的计算公式： ),(zyx,111111niiniiiniiniiiniiniiimmzzmmyymmxx三、物体的重心设设 为一块可以度量的几何体，它的密度函数为为一块可以度量的几何体，它的密度函数为)(M设设 在在 上连续，要求上连续，要求 的质心坐标的质心坐标。)(M我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是我们打算用质点组的质心坐标的公式来计算，但质点组是离散分布的，而离散分布的，而 是质量连续分布的几何体。因此，首是质量连续分布的几何体。因此，首先把先把 分划成若干可度量的小块分划成若干可度量的小块：n,21

12、为了简化符号，也用为了简化符号，也用表示小块的度量。表示小块的度量。n,21若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看若这些小块分得充分小，每一个小块可近似地看作一个点，于是作一个点，于是 可近似地看作一个质点组，从可近似地看作一个质点组，从而可用质点组的质心坐标公式来近似计算而可用质点组的质心坐标公式来近似计算 的质的质心坐标心坐标。为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数为此先计算每一个小块的质量，由于密度函数 不是常数，即不是常数，即 的密度分布不是均匀的，因此不的密度分布不是均匀的，因此不能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：能简单地用密度均匀分布的物体的质量的计算公式：密度密

13、度度量，来计算。度量，来计算。)(M由于假设由于假设 连续，因此当连续，因此当 比较小时，比较小时，在在 上上 变化不大，于是可近似地看成变化不大，于是可近似地看成不变，从而不变，从而 的度量可近似计算为的度量可近似计算为i)(Mi)(MiiiMiiM)(这里这里 是是 中的任意一点，设其在三维空中的任意一点，设其在三维空间中的坐标为间中的坐标为 ，于是几何体，于是几何体 的质的质心坐标心坐标 可近似表示为可近似表示为iM),(iiizyx),(GGGzyxi,)()(,)()(,)()(111111niiiniiiiGniiiniiiiGniiiniiiiGMMzzMMyyMMxx当然这个质

14、心坐标只能是近似的，如果当然这个质心坐标只能是近似的，如果 分得小一些分得小一些近似程度就要好些，因此在上式中让每一个近似程度就要好些，因此在上式中让每一个 的直径的直径趋于零取极限，把极限值定义为趋于零取极限，把极限值定义为 的质心坐标。于是的质心坐标。于是令令iimax1的直径inid让让 ，取极限得，取极限得0d,)()(lim,)()(lim,)()(lim110110110niiiniiiidGniiiniiiidGniiiniiiidGMMzzMMyyMMxx上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼上述和式的极限，正是我们在第九章第一节定义的黎曼积分，因此，得到积分，因此，

15、得到,)()(,)()(,)()(dmzdmdMdMzzdmydmdMdMyydmxdmdMdMxxGGG这里dMdm)(如果几何体如果几何体 是三维空间中的一块立体是三维空间中的一块立体 ，则上述积，则上述积分分就是三重积分，从而质心坐标可表示为就是三重积分，从而质心坐标可表示为V,),(),(,),(),(,),(),(VVGVVGVVGdxdydzzyxdxdydzzyxzzdxdydzzyxdxdydzzyxyydxdydzzyxdxdydzzyxxx如果几何体如果几何体 是一块平面区域，则上述积分就是二重积是一块平面区域，则上述积分就是二重积分；如果几何体是一块空间曲面，上述积分就成

16、为第一型分；如果几何体是一块空间曲面，上述积分就成为第一型曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一曲面积分；如果几何体是一条曲线，上述积分就成为第一型曲线积分。型曲线积分。解解 由于立体由于立体 关于轴关于轴对对V称，并且立体是均匀的，即称，并且立体是均匀的，即密度函数密度函数 为常数，所以有为常数，所以有0GGyxzyx例例 6 设设 由上半球面由上半球面和锥面（以和锥面（以 轴为轴，半顶角为轴为轴，半顶角为 ）围）围成的均匀立体，求成的均匀立体，求 的质心。的质心。 V222yxaz)20(VzVVVVGdxdydzdxdydzzdxdydzdxdydzzz20002sincos

17、aVdrrrdddxdydzz而 003sincos2adrrd2442sin4142sin2aa20002sinaVdrrdddxdydz002sin2adrrd)cos1 (323)cos1 (233aa于是 )cos1 (83)cos1 (32sin41324aaazG),(yx平面薄片的重心平面薄片的重心当薄片是均匀的，重心称为形心当薄片是均匀的，重心称为形心. .,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中,),(),( DDdyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 由元素法由元素法闭区域闭区域 D 的面积的面积解解 20 t， ax 20 adxxyA 20)

18、( 20)sin()cos1(ttadta 2022)cos1(dtta.32a Da 2a )(xy DydxdyAy1 )(0201xyaydydxA adxxya 2022)(61 203cos16dtta.65 薄片对薄片对轴上单位质点的引力轴上单位质点的引力,zyxFFFF ,)(),(23222 dayxxyxGFDx ,)(),(23222 dayxyyxGFDy .)(),(23222 dayxyxaGFDz G 为引力常数为引力常数四、平面薄片对质点的引力四、平面薄片对质点的引力解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知, 0 yxFF dayxyxaGFDz 23)(),

19、(222 dayxaGD 23)(1222oyzxFdrrardaGR 0222023)(1 .11222 aaRGa 所求引力为所求引力为.112, 0, 022 aaRGa dayxaGD 23)(1222drrardaGR 0222023)(1 五、矩五、矩设设 为一块可以度量的空间立体，它的密度函数为一块可以度量的空间立体，它的密度函数在在 上连续，分别称上连续，分别称V)(MVVkVkVkdxdydzzyxzdxdydzzyxydxdydzzyxx),(,),(,),( 为物体为物体 关于坐标平面关于坐标平面 ，坐标平面，坐标平面 ，坐标平，坐标平面面 的的 阶矩阶矩 。VYZZXX

20、Yk)0( k 其中当其中当 的情形更为重要。的情形更为重要。2, 1, 0k当当 时称为零阶矩，表示物体的质量。时称为零阶矩，表示物体的质量。0k当当 时称为静矩，静矩与物体质量之比为该物体的时称为静矩，静矩与物体质量之比为该物体的质心的坐标。质心的坐标。1k当当 时称为转动惯量。时称为转动惯量。2k又分别称又分别称VOyVOxVOzdxdydzzyxxzIdxdydzzyxzyIdxdydzzyxyxI),()(,),()(,),()(222222 为物体为物体 关于关于 轴，轴， 轴，轴， 轴的转动惯量。轴的转动惯量。Vxyz显然有显然有zxyzVVVOZIIdxdydzzyxydxdy

21、dzzyxxdxdydzzyxyxI),(),(),()(2222xyzxVVVOxIIdxdydzzyxzdxdydzzyxydxdydzzyxzyI),(),(),()(2222yzxyVVVOyIIdxdydzzyxxdxdydzzyxzdxdydzzyxxzI),(),(),()(2222 其中其中 分别表示物体分别表示物体 关于坐标平面关于坐标平面 ，坐标平面坐标平面 ，坐标平面，坐标平面 的转动惯量。的转动惯量。VYZZXXYzxyzxyIII,例例9 计算由平面计算由平面所围成的均匀物体（设所围成的均匀物体（设 ）对于坐标平面的转动惯量）对于坐标平面的转动惯量, 0, 0, 0,

22、 1zyxczbyax1zxy解解 VxydxdydzzI2z 是一个直角三角形，是一个直角三角形，两直角边的长度分别为两直角边的长度分别为zczcbczca)()(和zdxdyzdzc20所以所以 zzdxdydzzdxdyzdzIccxy022060)(230222abcdzzczcabc同样可得同样可得 60,6033cabIbcaIzxyzcdzczcbczcaz02)()(21解解先先求求形形心心,1 DxdxdyAx.1 DydxdyAy 建建立立坐坐标标系系如如图图oyx, hbA 区域面积区域面积 因因为为矩矩形形板板均均匀匀,由由对对称称性性知知形形心心坐坐标标2bx ，2h

23、y .hb将将坐坐标标系系平平移移如如图图oyxhbuvo 对对u轴的转动惯量轴的转动惯量 DududvvI2 22222hhbbdudvv .123 bh 对对v轴轴的的转转动动惯惯量量 DvdudvuI2 .123 hb 几何应用：立体的体积、曲面的面积几何应用：立体的体积、曲面的面积物理应用：重心、对质点的引力、转动惯量物理应用：重心、对质点的引力、转动惯量（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）六、小结六、小结)(th( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程,)()(2)(22thyxthz设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 1、设有一高度为、设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ), 问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? 思考题思考题提示提示:yxzo记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则)(:221220thyxD)()(:22122zth