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1、整体把握数学教材整体把握数学教材提升学生数学素养提升学生数学素养人民教育出版社中学数学室人民教育出版社中学数学室 李海东李海东 “立德树人立德树人”是教育的根本任务是教育的根本任务 育人目标是教育的核心目标，育人目标是教育的核心目标， 数学教育育人目标的核心是学生的数学教育育人目标的核心是学生的数学素数学素养的提升养的提升。 数学是一个整体。数学的整体性体现在数与代数、图形数学是一个整体。数学的整体性体现在数与代数、图形与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，与几何、统计与概率等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上（同时也体现在同一部分内容中知识的

2、前后逻辑关系上（纵向联系、横向联系）。纵向联系、横向联系）。 数学有其认识和解决问题的数学有其认识和解决问题的“基本套路基本套路”，认识和研究，认识和研究一个数学对象，一般要经历一个数学对象，一般要经历“背景材料背景材料概念与表示概念与表示性质性质联系和应用联系和应用”的过程。的过程。 要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们要使学生学会数学地认识问题和解决问题，就需要我们在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，在数学教学中挖掘数学核心知识蕴含的思维教育价值，加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数加强学习方法的引导，以问题引导学习，使学生经历数学概念的概括过程、数学原

3、理的抽象过程、数学知识的学概念的概括过程、数学原理的抽象过程、数学知识的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的应用过程，从中体会数学的研究方法，领悟数学研究的“基本套路基本套路”。一、一、突出运算和运算律的作用，归突出运算和运算律的作用，归纳地学习纳地学习“数与代数数与代数”的内容。的内容。 代数的根源在于运算代数的根源在于运算 各种代数问题中，我们总是运用各种各种代数问题中，我们总是运用各种代数运算代数运算（如加法、（如加法、乘法等）来分析量与量的代数关联。乘法等）来分析量与量的代数关联。 解决问题的过程中，则要用代数解决问题的过程中，则要用代数运算运算去表示现实事物中的去表示现实

4、事物中的量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（量（式），反映其中的关系（方程、函数）和变化过程（函数），将实际问题函数），将实际问题“代数化代数化”后再加以解决。后再加以解决。 从代数式（符号代表数从代数式（符号代表数从处理单个数到处理一类问题从处理单个数到处理一类问题）、方程（符号代表未知数）、方程（符号代表未知数数量关系到等量关系）到数量关系到等量关系）到函数（符号代表变数函数（符号代表变数从变化过程中考察规律）是一个从变化过程中考察规律）是一个飞跃，这是看问题角度的根本变化。飞跃，这是看问题角度的根本变化。 代数运算具有一系列普遍成立的运算律，包括加法、乘法代数运算具有一系列

5、普遍成立的运算律，包括加法、乘法的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数的交换律、结合律，分配律，指数法则等，它们是在代数中广泛能用且简单有力的代数基本工具，中广泛能用且简单有力的代数基本工具，运算律是整个代运算律是整个代数学的基础数学的基础。 运算过程中，运算过程中，运算律运算律的普遍性让我们可以有效地分析所给的普遍性让我们可以有效地分析所给问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。问题中未知量与已知量的关联，从而化未知为已知。 各种式（整式、分式、根式等）的运算各种式（整式、分式、根式等）的运算用运算律进行用运算律进行“等价变换等价变换”；比如在整式的乘法中，多项式的乘法要利

6、比如在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用用分配律转化为单项式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算。交换律和结合律转化为幂的运算。 与几何问题的研究从与几何问题的研究从“几何直观几何直观”出发不同出发不同，在代数问题在代数问题的学习中，的学习中，归纳法是一种常用且有用的基本方法归纳法是一种常用且有用的基本方法。 这里的归纳，既包括这里的归纳，既包括“归纳发现归纳发现”，也包括，也包括“归纳证明归纳证明”。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特。各种代数问题的研究中，我们总是从具体到抽象、从特殊到一般，归纳地发现具有某种

7、共有特性的事物，归纳地殊到一般，归纳地发现具有某种共有特性的事物，归纳地定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特定义这种事物，归纳地证明上述归纳定义的事物具有的特性。性。 代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少代数中许多重要的公式和定理，都是从低次到高次、从少元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到元到多元逐步归纳发现，再进行归纳论证其普遍性而得到的。的。 基于上述认识，对于基于上述认识，对于“数与代数数与代数”的内容，从数的内容，从数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的扩充、式的扩展、方程的丰富、到变量与函数的引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、的

8、引入，是一个从简单到复杂、从具体到抽象、从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展从常量到变量的不断归纳提升的过程。在内容展开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，开过程中，应充分重视归纳、类比等研究方法，加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数加强思想方法的引导，使学生逐步领悟研究代数问题的基本方法。问题的基本方法。例例1：数式通性：数式通性 “数式通性数式通性”是研究数（有理数、实数）、式（整式、分是研究数（有理数、实数）、式（整式、分式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。式、二次根式）和解方程的基本思想和方法。 由于字母表示数，因此数的运算法则、运算律和运算性质由于字母表示数，因此

9、数的运算法则、运算律和运算性质在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。在式的运算中仍然成立，这也是对式进行研究的基础。 同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所同样，对于解方程，也是因为运算律对任何数都成立，所以对以对“未知数未知数”也成立，因此可以有系统地用运算律化简也成立，因此可以有系统地用运算律化简所给的方程，从而确定其中的未知数所给的方程，从而确定其中的未知数化未知为已知。化未知为已知。 数式通性整式 数式通性分式 数式通性数式通性二次根式二次根式 解方程中的算理解方程中的算理 等式的性质等式的性质解简单方程解简单方程 分配律分配律合并同类项合并同类项 等式的性质等式

10、的性质移项移项 分配律分配律去括号去括号 等式的性质等式的性质去分母去分母 等式的性质等式的性质运算中的不变性运算中的不变性运算律运算律 充分注意充分注意“有理数有理数”的基础地位和作用，有理数的运算不的基础地位和作用，有理数的运算不仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（数仅提供了整个代数运算的基础，它的研究过程（数运运算和逆运算算和逆运算运算律运算律大小关系）也提供了研究一个大小关系）也提供了研究一个代数对象的基本思路。代数对象的基本思路。 在进行式的内容的教学时，要重视在进行式的内容的教学时，要重视“数式通性数式通性”，加强与，加强与数的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，数

11、的概念、运算法则和运算律的类比，在引言和小结中，注意阐述注意阐述“从数到式从数到式”的研究内容和方法。的研究内容和方法。 基础：解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程基础：解一元一次方程、二元一次方程组、分式方程 解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等式的性质解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等式的性质、运算律）以及基本思路（通过恒等变形，把方程逐步化、运算律）以及基本思路（通过恒等变形，把方程逐步化为为 的形式）的形式） 一元二次方程一元二次方程 x xa a 的形式的形式 差异在差异在“次数次数”。因此，将。因此，将“二次二次”降为降为“一次一次”就能使就能使“新方程新方程”转

12、化为转化为“旧方程旧方程”， 解一元二次方程的关键问题解一元二次方程的关键问题如何降次。如何降次。例例2 2：一元二次方程解法的研究：一元二次方程解法的研究重视相关的知重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本策略策略 从特殊到一般、从具体到抽象从特殊到一般、从具体到抽象 直接开平方直接开平方解解x2=25，推广到求方程，推广到求方程x2=p，对对p0，p0和和p0三种情况进行讨论三种情况进行讨论。 分析变式分析变式(x+3)2=5的解决过程的解决过程，给出给出(x+3)2=5的等价形式的等价形式x2+6x+4=0，并表示将，并表示将x

13、2+6x+4=0转化为转化为(x+3)2=5的过程，的过程，最后归纳出最后归纳出“配方法配方法”； 讨论通过配方将一元二次方程转化为讨论通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=m的形式后的的形式后的解，再次经历分类讨论过程解，再次经历分类讨论过程。 用配方法用配方法解解一般形式一般形式的方程的方程ax2+bx+c=0(a0)，推导出求，推导出求根根公式公式。 反复经历反复经历“具体具体抽象抽象”、“配方配方分类讨论分类讨论”的过的过程程 教学过程中，要注意整体性，让学生经历研究一元二次方教学过程中，要注意整体性，让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂。程解法的完整过

14、程，避免不同解法之间的割裂。 方程方程x2=p的解具有奠基作用，特别是对的解具有奠基作用，特别是对p的分类讨论，蕴的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，要认真处理好；含了对判别式的分类讨论，要认真处理好； 推广的方程推广的方程(x+3)2=5与与x2+6x+4=0是获得配方法的载体；是获得配方法的载体； 配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。的简便方法。 注意注意加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。加强类比、从特殊到一

15、般等思想方法的引导。 例例2 2：类比的研究问题：类比的研究问题函数的研究函数的研究 正比例函数正比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数反比例函数反比例函数 研究内容研究内容：概念、图象、性质、应用：概念、图象、性质、应用 概念（表示）：概念（表示）：体现概念教学的一般过程体现概念教学的一般过程 图象：图象：描点法、图象特征描点法、图象特征 性质：性质：从从k(a)0到到k(a)0，从具体的函数到一般函数，从具体的函数到一般函数 应用：应用：建立函数模型解决问题建立函数模型解决问题 概念教学的基本环节概念教学的基本环节 概念的引入概念的引入从数学概念体系的发展过程或解决实际问从数学概念体系的

16、发展过程或解决实际问题的需要引入概念；题的需要引入概念； 概念属性的概括概念属性的概括提供提供典型丰富的具体例证，进行属性典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性；的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性； 概念的明确与表示概念的明确与表示下定义，给出准确的数学语言描述下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；（文字的、符号的）； 概念的辨析概念的辨析以实例为载体分析关键词的含义（恰当使以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；用反例）； 概念的巩固应用概念的巩固应用用概念作判断的具体事例，形成用概用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断

17、的具体步骤；念作判断的具体步骤； 纳入概念系统纳入概念系统建立与相关概念的联系。建立与相关概念的联系。例如，反比例函数的教学例如，反比例函数的教学研究概念的一般方法研究概念的一般方法 匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系；系； 让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）；让学生概括共同本质特征（函数关系，反比例关系）； 下定义下定义给出反比例函数的文字和符号描述；给出反比例函数的文字和符号描述； 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析

18、概念，注意反例的辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，注意反例的使用，如让学生思考函数使用，如让学生思考函数y=1/xy=1/x2 2是不是反比例函数；是不是反比例函数； 例题例题用概念作判断的用概念作判断的“操作步骤操作步骤”，强调，强调“自变量自变量x x与相应的函数值与相应的函数值y y是否成反比例关系是否成反比例关系”，可以用反例让学，可以用反例让学生分析，使学生进一步明确生分析，使学生进一步明确“求反比例函数求反比例函数”的含义；的含义； 通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明通过与一般函数概念、正比例函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了确反比例函数反映了“一类事

19、物一类事物”的变化规律，使学生逐的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。 概念教学的核心概念教学的核心抽象概括抽象概括：以典型丰富的实以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念；（教学重点、突破难点的关键所在）（教学重点、突破难点的关键所在） 习惯做法习惯做法“纠错教学法纠错教学法” 快速给出定义快速给出定义 提出提出 “ “准确理解准确理解”定义的注意点定义的注意点 例题示范（巩固、应用）例题示范

20、（巩固、应用） 练习巩固练习巩固课堂、课后课堂、课后 关于概念的引入关于概念的引入 数学的还是联系实际的数学的还是联系实际的自然的自然的 成为后续概括活动的基础；吸引学生注意力；引发学生兴成为后续概括活动的基础；吸引学生注意力；引发学生兴趣；趣； 更应重视数学内在的逻辑线索。更应重视数学内在的逻辑线索。 不好的引入不好的引入 不反映当前学习内容的本质不反映当前学习内容的本质 例：平方差公式的引入，从相关关系引入函数概念例：平方差公式的引入，从相关关系引入函数概念 实际背景的复杂化（例：圆周角）实际背景的复杂化（例：圆周角） 函数性质的讨论函数性质的讨论体现研究一个数学对象的性质的一般体现研究一

21、个数学对象的性质的一般过程与方法。过程与方法。 利用图象研究性质利用图象研究性质 特殊到一般特殊到一般 分类讨论、归纳汇总分类讨论、归纳汇总 三步曲三步曲 观察图象观察图象 ，描述变化规律，描述变化规律 （上升、下降）（上升、下降） 结合图、表，用自然语言描述变化规律（结合图、表，用自然语言描述变化规律（y随随x的增大而增的增大而增大或减小）大或减小） 用数学符号语言描述变化规律用数学符号语言描述变化规律 回到解析式回到解析式 函数的应用函数的应用体现模型思想体现模型思想 从现实生活或具体情境中抽象从现实生活或具体情境中抽象数学问题数学问题起点起点 用用数学符号建立方程、不等式、数学符号建立方

22、程、不等式、函数等表示数学问题中的数量函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律关系和变化规律关键步骤关键步骤 通过模型去求出结果，并用此通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问结果去解释、讨论它在现实问题中的意义题中的意义。例例4：选择方案问题：选择方案问题 明确研究的问题和解决问题的方向明确研究的问题和解决问题的方向 问题问题1 你了解表格中这些数字的含义吗？你了解表格中这些数字的含义吗？ 追问追问1 1：如果每月的上网时间为：如果每月的上网时间为2020小时，选择哪种收费方小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？式能节约上网费用？ 追问追问2 2：如果每月的上网时间为：如果每月的

23、上网时间为150150小时，选择哪种收费方小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？式能节约上网费用？ 通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力及理解水平，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工及理解水平，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工通过两个追问，渗透收费方式的选择与上网时间相关通过两个追问，渗透收费方式的选择与上网时间相关。 问题问题2 你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为什么？什么？ 问题问题3 面对这样一个问题，我们应从哪里入手呢？面对这样一个问题，我们应从哪里入手呢？

24、追问追问1 1：这个问题要我们做什么？：这个问题要我们做什么？ 追问追问2 2：选择方案的依据是什么？：选择方案的依据是什么？ 感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下需要做什么事，从而为我们后续的工作指明方向件下需要做什么事，从而为我们后续的工作指明方向 分析问题，寻找解决问题的思路分析问题，寻找解决问题的思路 问题问题4 要比较三种收费方式的费用，需要做什么？要比较三种收费方式的费用，需要做什么？ 追问追问1 1：方式：方式C C需要多少钱？需要多少钱？ 追问追问2 2：方式：方式A A，B B的费用确定吗？影响费用的因素是什

25、么？的费用确定吗？影响费用的因素是什么？ 追问追问3 3：方式：方式A A，B B的费用与上网时间的费用与上网时间t t有什么关系？有什么关系？ 追问追问4 4：怎样比较三种收费方式的费用？：怎样比较三种收费方式的费用？（费用的构成、用（费用的构成、用适当的方式表示费用）适当的方式表示费用）感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析作为研究

26、的对象，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程在感知问题、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程在感知问题中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标据，设出变量或未知中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标据，设出变量或未知数，用式子表示这些数量之间关系最终把问题转化为比较一次函数数，用式子表示这些数量之间关系最终把问题转化为比较一次函数大小大小 求解模型，解释讨论实际问题求解模型，解释讨论实际问题 任务任务l 请把原来的问题转化为函数问题请把原来的问题转化为函数问题 建立变量（自变量）、费用建立变量（自变量）、费用y y） 表示

27、关系（列出函数解析式）表示关系（列出函数解析式） 转化问题（费用比较转化问题（费用比较函数值比较）函数值比较） 通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转为一次函数的问题，这是感知问函数模型，把实际问题转为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题 任务任务2 独立解决上面的函数问题独立解决上面的函数问题，并进行相互交流，并进行相互交流 利用

28、图象，信息技术工具利用图象，信息技术工具 上述函数问题，需要在画出函数上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生上网时间进行分段讨论，让学生体会根据函数图象作出整体时间体会根据函数图象作出整体时间分段规划，应用方程和不等式解分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比决具体时间段中的函数值大小比较，精细分析数量关系的过程较，精细分析数量关系的过程. . 任务任务3 请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否程正确与否 让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我

29、评价的意识让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我评价的意识 回顾解决问题的过程，进一步体会模型思想回顾解决问题的过程，进一步体会模型思想 请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己的感悟：的感悟： （l）在解决）在解决“选择上网收费方式选择上网收费方式”问题的过程中，经历了问题的过程中，经历了哪些步骤？哪些步骤？ （2）建立函数模型时经历了那些步骤？建立函数模型时经历了那些步骤？建模是关键建模是关键 （3）还有那些收获？还有那些收获？ 明确起点、目标，特殊到一般，分段函数特征，数形结明确起点、目标，特殊到一般，分段函数特征，数形结合合

30、 巩固应用，再解决一个问题巩固应用，再解决一个问题三、三、从几何直观到推理论证，从一般到从几何直观到推理论证，从一般到特殊地研究几何图形的性质和判定特殊地研究几何图形的性质和判定。 图形与几何的研究内容和研究方法图形与几何的研究内容和研究方法 研究什么研究什么图形的性质和判定、图形间的关系图形的性质和判定、图形间的关系 性质性质组成要素之间的关系组成要素之间的关系 组成要素组成要素基本要素（边、角）和相关要素（对角线）基本要素（边、角）和相关要素（对角线） 关系关系位置关系（垂直、平行）位置关系（垂直、平行） 数量关系（相等、倍分）数量关系（相等、倍分） 判定判定组成要素需要具备的条件组成要素

31、需要具备的条件 关系关系还是性质和判定还是性质和判定 怎么研究怎么研究 研究对象一般到特殊（性质的包容性）研究对象一般到特殊（性质的包容性） 实验到论证实验到论证 几何直观几何直观 ，推理，推理 性质和判定的互逆关系性质和判定的互逆关系例例5 5：如何研究平行四边形：如何研究平行四边形 章引言的教学章引言的教学先行组织者的应用先行组织者的应用 对学习过的三角形的研究思路进行回顾，在此基础上构建对学习过的三角形的研究思路进行回顾，在此基础上构建平行四边形的研究内容和发展脉络平行四边形的研究内容和发展脉络 一般四边形一般四边形平行四边形平行四边形特殊的平行四边形（矩形特殊的平行四边形（矩形、菱形、

32、正方形）、菱形、正方形） 角的特殊角的特殊矩形，边的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。正方形，都要研究性质和判定。 研究的方法研究的方法转化为三角形、平行线等已有知识。转化为三角形、平行线等已有知识。 导游图导游图 平行四边形性质的研究平行四边形性质的研究研究图形性质的一般过程研究图形性质的一般过程我们知道，图形的性质是指组成图形的要素之间的位置关系和数量关我们知道，图形的性质是指组成图形的要素之间的位置关系和数量关系，对于任意一个平行四边形，它的组成要素是什么？它们之间具有系，对于任意一个平行四边形，它的组成要素是什么？它们之间具有什么位置关系和数

33、量关系？什么位置关系和数量关系？通过观察、度量，我们已经发现平行四边形的对边相等、对角相等，通过观察、度量，我们已经发现平行四边形的对边相等、对角相等，如何证明它们？我们学过那些证明边相等和角相等的方法？如何证明它们？我们学过那些证明边相等和角相等的方法？在证明平行四边形的对边相等、对角相等时，我们通过连接它的一条在证明平行四边形的对边相等、对角相等时，我们通过连接它的一条对角线，把平行四边形转化成了两个全等的三角形。实际上，对角线对角线，把平行四边形转化成了两个全等的三角形。实际上，对角线也是平行四边形的一个组成要素，那么平行四边形的对角线有什么性也是平行四边形的一个组成要素，那么平行四边形

34、的对角线有什么性质呢？质呢？把平行四边形的两条对角线都连起来，从它们的位置关系和数量关系把平行四边形的两条对角线都连起来，从它们的位置关系和数量关系的角度观察，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？的角度观察，你有什么发现？你能证明你发现的结论吗？通过本节课的学习，你学到了平行四边形具有什么性质？这些性质有通过本节课的学习，你学到了平行四边形具有什么性质？这些性质有什么作用？这节课的研究思路是什么？什么作用？这节课的研究思路是什么？ 平行四边形的判定平行四边形的判定三、三、结合典型案例、经历统计过程、结合典型案例、经历统计过程、培养数据分析观念。培养数据分析观念。数据分析观念数据分析观念了解在

35、现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息。据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息。经经历数据分析的过程历数据分析的过程了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法。题的背景选择合适的方法。 掌握数据分析的基本方法掌握数据分析的基本方法通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能集到的数据可能不同，另一方面只要有足够

36、的数据就可能从中发现规律。从中发现规律。 感受到数据的随机性感受到数据的随机性 注意统计与数学的区别注意统计与数学的区别研究内容研究内容 数和形，概念和符号数据数和形，概念和符号数据 研究方法研究方法 依赖公理和假设依赖公理和假设依赖数据和数据产生的背景依赖数据和数据产生的背景 演绎法演绎法归纳法归纳法研究结论研究结论 对与错对与错好与坏好与坏例例7：平均数与中位数、众数的统计意义：平均数与中位数、众数的统计意义统计不是单纯统计不是单纯的数字计算或绘图的数字计算或绘图 统计意义统计意义 用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这用平均数作为一组数据的代表，比较可靠和稳定，它与这组数据中

37、的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息组数据中的每一个数都有关系，对这组数据所包含的信息的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统的反映最为充分，因而其应用最为广泛，特别是在进行统计推断时有重要的作用；但平均数计算时比较烦琐，并且计推断时有重要的作用；但平均数计算时比较烦琐，并且容易受到极端数据的影响容易受到极端数据的影响。 众数作为一组数据的代表，它不受极端数据的影响，当一众数作为一组数据的代表，它不受极端数据的影响，当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数来表示这组数据的数据的“集中趋势集中趋势”。 中位数作为一组数据的代表

38、，也不受极端数据的影响，并中位数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响，并且求法简便，是一个反映数据且求法简便，是一个反映数据“集中趋势集中趋势”的位置的代表的位置的代表值值。平均数的特点平均数的特点对于给定的对于给定的n n个数个数 x x1 1,x,xn n，使得，使得 (x(x1 1-b)-b) + (x+ (xn n-b)-b) （离差平方和）（离差平方和）达到最小的达到最小的b b为为n n个数据的平均数。如果把个数据的平均数。如果把n n个数据看作样本，个数据看作样本，那么，样本平均那么，样本平均使样本的离差平方和达到最小。使样本的离差平方和达到最小。利用中位数代表数据，是使利用

39、中位数代表数据，是使一次损失（误差绝对值的和）一次损失（误差绝对值的和）最小最小。而我们都知道，二次函数有着很好的数学性质，所。而我们都知道，二次函数有着很好的数学性质，所以人们以人们经常经常选择用平均数来进行研究选择用平均数来进行研究。算法理解、概念理解、统计理解。算法理解、概念理解、统计理解。 例例8“8“对错对错”判断的例子判断的例子 某小组进行跳绳比赛，每个成员某小组进行跳绳比赛，每个成员1 1分时间跳的次数如下：分时间跳的次数如下： 234 234，133133，128128，9292，113113，116116，182182，125125，9292。 你认为平均数、中位数哪个可以表

40、示这组同学的跳绳水你认为平均数、中位数哪个可以表示这组同学的跳绳水平？平？( (因为有极端数据，所以应该选择中位数因为有极端数据，所以应该选择中位数) ) 要用频率估计该率，一定要大量重复实验？要用频率估计该率，一定要大量重复实验？ 伯努利大数定律：设伯努利大数定律：设m m 是是n n 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A A出现的次数，又出现的次数，又A A 在每次试验中出现的概率为在每次试验中出现的概率为p p(0p1 )(0p0 0 ，有，有 伯努利大数定律告诉我们，当伯努利大数定律告诉我们，当n n 趋于无穷时，频趋于无穷时，频率率依概率收敛依概率收敛于概率于概率p p。也就是也就

41、是只要只要n n充分大，那充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小。么频率估计概率的误差就可以如所希望的小。 基于以上认识，在进行基于以上认识，在进行“统计与概率统计与概率”内容的教学时，应内容的教学时，应特别注意体现特别注意体现“通过统计数据探究规律通过统计数据探究规律”的归纳思想。注的归纳思想。注意结合解决具体实际问题的典型案例展开相关内容，并让意结合解决具体实际问题的典型案例展开相关内容，并让学生亲身参与统计活动，在收集数据、整理数据、描述数学生亲身参与统计活动，在收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息，学会根据据、分析数据的过程中体会数据中蕴含的信息

42、，学会根据问题的背景选择合适的数据分析方法，通过数据的分析体问题的背景选择合适的数据分析方法，通过数据的分析体验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观念，感受统验数据的随机性。从而发展学生的数据分析观念，感受统计思想，逐步建立用数据说话的习惯。计思想，逐步建立用数据说话的习惯。四、重视综合与实践四、重视综合与实践、积累数学基本积累数学基本活动经验活动经验。 课标要求课标要求“综合与实践综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数数与代数”“”“图形与几何图形与几

43、何”“”“统计与概率统计与概率”等知识和方法解决问题等知识和方法解决问题。 第三学段要求第三学段要求 1结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。过程中，尝试发现和提出问题。 2会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验报告或小论文，并能进行交流，进一步获得数学活动经验。 3通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他

44、通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展应用意识和能力。意识和能力。 培养学生培养学生应用意识应用意识很好的载体。一方面有意识利用数学的很好的载体。一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。数学方法予

45、以解决。 有助于培养学生的有助于培养学生的创新意识创新意识。综合与实践给学生自己发现。综合与实践给学生自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供了更大的空间和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供了更大的空间。学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。，并加以验证，是创新的重要方法。 有助于培养学生的有助于培养学生的模型思想模型思想。模型思想的建立是学生体会。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的

46、基本途径。和理解数学与外部世界联系的基本途径。综合与实践提供综合与实践提供了这种平台。了这种平台。“综合与实践综合与实践”的教育价值的教育价值选题选题问题引领：由教师，更希望是学生提出一些有价问题引领：由教师，更希望是学生提出一些有价值的、学生可以实际参与的问题或问题串。值的、学生可以实际参与的问题或问题串。开题开题探寻解径：在教师引导下，让学生通过的分析、探寻解径：在教师引导下，让学生通过的分析、讲解、观察、讨论进一步明确题意，知晓相关数学知识或讲解、观察、讨论进一步明确题意，知晓相关数学知识或模型，提出比较合理、可行、有效的解决问题的思路或方模型，提出比较合理、可行、有效的解决问题的思路或