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文档简介

1、希尔伯特旅馆悖论（希尔伯特旅馆悖论（Hilberts paradox of Grand Hotel）希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号房间搬到 3 号房间 n 号房间搬到 n+1 号房间，你就可以住进 1 号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让 1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到 4 号，3 号搬到 6 号 n 号搬到 2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。”这就是德国大数学家大卫希尔伯特（Dav

2、id Hilbert）提出的著名悖论。每个学过集合论的学生，都应该“拜访”过这个奇妙的希尔伯特旅馆。虽然人们把它叫做一个“悖论”，它在逻辑上却是完全正确的，只不过大大出乎我们的意料罢了。托里拆利小号（托里拆利小号（Torricellis Horn）意大利数学家托里拆利（Evangelista Torricelli）将 y=1/x 中 x1 的部分绕着 x 轴旋转了一圈，得到了上面的小号状图形（注意，上图只显示了这个图形的一部分）。然后他算出了这个小号的一个十分牛 B 的性质它的表面积无穷大，可它的体积却是 。这明显有悖于人的直觉：体积有限的物体，表面积却可以是无限的！换句话说，填满整个托里拆利

3、小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！类似的二维几何悖论中，最著名的要属“科赫雪花”（Koch Snowflake）了。科赫雪花是一种经过无穷多次迭代生成的分形图形，下图就是前三次迭代的过程，迭代过程的极限便是科赫雪花了。它也有一个类似的性质：它的面积有限，周长却是无限的。用无限的周长包围了一块有限的面积，真是另类的“无中生有”啊！运动无力悖论阿基里斯与乌龟的悖论（Achilles and the tortoise Paradox）：在跑步比赛中，如果跑得最慢的乌龟一开始领先跑得最快的希腊勇士阿基里斯，那么乌龟永远也不会被阿基里斯追上。因为要想追到乌龟，阿基里斯必须先到达乌龟现在的位置；而等阿基里斯到了这个位置之后乌龟已经又前进了一段距离。如此下去，阿基里斯永远追不上乌龟。二分法悖论（Dichotomy Paradox）：运动是不可能的。你要到达终点，必须首先到达全程的 1/2 处；而要到达 1/2 处，必须要先到 1/4 处 每当

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