高等数学：D8习题课

1、第九节复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 复习复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF( , )dd( , )xyFx yyxFx y 故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy 00(,)yFxy 000(,)()xFxyxx 0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 000(,)()0 xFxyyy 00(,)yFxy )(0 xx 机动 目录

2、 上页 下页 返回 结束 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动 目录 上页 下页 返回 结束 位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况:( ),( ),( )xx tyy tzz tzzzyyyxxx000, t上述方程之分母同除以),(0000zyxMtt对应设 ),(0000zzyyxxMttt对应机动 目录 上页 下页 返回 结束 TMM:的方程割线MM得000 xxyyzzxyzttt0,t 令令即 沿曲线

3、趋于M 时，割线 的 M MM 00( )()x txx 此处要求000( ),( ),( )x ty tz t也是法平面的法向量,切线的方向向量切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .00( )()y tyy 00( )()0z tzz 如个别为0, 则理解为分子为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 M不全为0, 因此得法平面方程法平面方程 o)(tr 000( ),( ),( )x ty tz t 000zzyyxx0()xt 0( )y t 0( )z t 切线方程切线方程极限位置就是切线，得 zyxo例例1. 求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法

4、平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解: 由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy , kz ),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 故 , 0,Rk 例例2. 曲线曲线23xtytzt 的所有切线中与平面的所有切线中与平面x +2y + z = 4 平行的切线有多少条？平行的切线有多少条？答：2条注：注：空间曲线空间曲线( ):( )yy xzz x (两柱面的交线)在点在点 处的切向量为处的切向量为 001,(),()yxzx 证：证：曲线相当于曲线相当于:( ) ,( )xxyy x

5、zz x 将将 x 视为参量视为参量 t ，是情形，是情形1的特例。的特例。0000(,)Mxyz2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ( )( )yy xzz x 则曲线上一点0000(,)Mxyz, 求出时, 可表示为处的切向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ),( ),yxzx为 001,(),()yxzx 或者0 xyzxyzMijkFFFGGG 证略例例3. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程121zyx解法解法1 令2226,FxyzGxyz则即0202yzx即切向量

6、为066机动 目录 上页 下页 返回 结束 1, 2,1222111ijkxyz 1, 2,1xyzxyzijkFFFGGG 242111ijk 6, 0, 6 606 ,ijk 2226xyz0 xyz法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx即0 zx机动 目录 上页 下页 返回 结束 dd2220ddyzxyzxx解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得dd10ddyzxxddzxyxyz d,dyzxxyz 代入点 M(1,2, 1)，有:切向量解得 1, 0,1dd1,ddMMyzxx 切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0

7、 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011机动 目录 上页 下页 返回 结束 1, 0,1 0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,000( ),( ),( )x ty tz t切线方程为000000( )( )( )xxyyzzx ty tz t不全为0 。:( ),( ),( ),xx tyy tzz t且则 在点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线M下面证明:此平面称为此平面称为 在该点的在该点的切平面切平面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 上过点上过点 M 的任何曲线在该点的切线都的

8、任何曲线在该点的切线都在同一平面上在同一平面上. 000( ),( ),( )x ty tz t M证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上,( ( ),( ), ( )0F x ty tz t,0处求导两边在tt ,0Mtt对应点注意 0( )z t 0000(,)xFxyz 000(,)yFxyz 000(,)zFxyz 0( )x t 0( )y t 得令由曲线 的任意性 , ，因此这些切线都在以为法向量的同n一平面上 , 从而切平面存在 .n:( ),( ),( )xx tyy tzz t 000( ),( ),( )x ty tz t 000000000(,),(,),(,)

9、xyznFxyzFxyzFxyz n 切切向向量量可见过M点的任一曲线的切线都垂直于向量n0000(,)()xFxyzxx 曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx0000(,)()yFxyzyy 0000(,)()0zFxyzzz 切平面方程切平面方程000(,)xFxy z 000(,)yFxyz 000(,)zFxyz MTn复习 目录 上页 下页 返回 结束 000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzFxyz 000(,)()xfxyxx 曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数 ),(yxf),(

10、00yx00000001(,)(,)xyxxyyzzfxyfxy 法线方程法线方程,yyFf 1zF 令000(,)xyz 在在点点的的法法向向量量为为特别特别, 当曲面为 ： 在点有连续偏导数时, 000(,)()yfxyyy 0 ,xxFf 切平面方程切平面方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000(,),(,),1xynfxyfxy 0zz,法向量法向量用221cos1xyff 将0000(,),(,)xyfxyfxy,xyff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则分别记为则2222cos,cos,11yxxyxyffffff 向上,复

11、习 目录 上页 下页 返回 结束 0000(,),(,), 1xynfxyfxy 例例4. 求球面3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 , 4 , 6nxyz (1,2,3)2, 8,18n 例例4. 确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故

12、000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面机动 目录 上页 下页 返回 结束 21/nn, 因此有20y20z2 2000,nxyz 1000000,ny zx zx y 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzyyxx法平面方程00( )()x txx 1) 参数式情形.( ):( )( )xx tyy tzz t 空间光滑曲线切向量内容小结内容小结0( )x t 0( )y t 0( )z t 00( )()y tyy 00( )()0z tzz 机动

13、目录 上页 下页 返回 结束 000( ),( ),( )x ty tz t 空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF切向量2) 一般式情况.机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 xyzxyzMijkFFFGGG ( ):( )yy xzz x 3) 柱面交线.空间光滑曲线切向量 001,(),()yxzx 空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程0000(,)xxxFxyz 0000(,)yyyFxyz 0000(,)zzzFxyz 00000000(,)()(,)()xyFxyzxxFxyzyy1) 隐式情况隐式情况 .的法向量法向量),(000zyxM0000(,

14、)()0zFxyzzz 切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动 目录 上页 下页 返回 结束 000000000(,),(,),(,)xyznFxyzFxyzFxyz 空间光滑曲面),(:yxfz 0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy切平面方程切平面方程法线方程法线方程00000001(,)(,)xyxxyyzzfxyfxy ,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2) 显式情况显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 0000(,),(,),1xynfxyfxy 思考

15、与练习思考与练习1. 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示: 设切点为, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)证明: 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点, ),(000zyxM则通过此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2. 设 f ( u ) 可微,第七节 目录 上页 下页 返回 结束 切平面可化为点的切平面为000000,Myyyzffxxxx 00Myzfyx

16、00000000yyyyzffxfyxxxx可见切平面通过原点。 1. 证明曲面0),(ynzymxF与定直线平行,.),(可微其中vuF证证: 曲面上任一点的法向量,1F, )()(21nFmF 2F 取定直线的方向向量为,m,1n则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒备用题备用题机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0nln l 2. 求曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线:111zyx1691法平面:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面