自动控制理论 控制系统的数学模型2.1

1、Friday, January 14, 20221第二章 控制系统的数学模型Friday, January 14, 20222知识点v系统微分方程的建立方法v 传递函数的定义及性质v 控制系统中的典型环节及传递函数的数学模型v 动态结构图的建立方法及简化v 准确求取系统的传递函数v 自动控制系统中微分方程、传递函数、动态结构图之间的关系及相互转换Friday, January 14, 20223Friday, January 14, 202242.1 控制系统的时域数学模型Friday, January 14, 20225微分方程 数学模型数学模型 ：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数

2、学表达式。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。 例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。 控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。Friday, January 14, 20226 线性系统线性系统 ：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个

3、地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。线性定常系统和线性时变系统线性定常系统和线性时变系统：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。 宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。Friday, January 14, 20227 古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。非线性系统非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。 下面是非线性系统的一些例子：0,

4、 0) 1(,sin)(322222222xxdtdxdtxdxdtdxxdtxdtAxdtdxdtxdFriday, January 14, 20228 微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程控制系统的微分方程2.1.1.线性元件的微分方程 Friday, January 14, 20229控制系统的微分方程控制系统的微分方程iooouudtduRCdtudLC22dtduCio由： ，代入得：这是一个线性定常二阶微分方程。iuidtCRidtdiL1dtiCou1解：据

5、基尔霍夫电路定理：iu输入ou输出iuouLRCi例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。Friday, January 14, 202210例2-2 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFFx fxm 图2图1xkkxFkxx fxm mNmsNkg/,/.,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：控制系统的微分方程控制系统的微分方程Friday, J

6、anuary 14, 202211例2-3电枢控制式直流电动机aaaadiLR ieudtaeeCMaRaLaefiauJicM这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速 Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程mcdJfm mdt电机通电后产生转矩控制系统的微分方程控制系统的微分方程电枢回路方程其中ea 为反电势mamC iFriday, January 14, 202212aaaaueiRdtdiLeaCe amiCm mcdJfmmdt22aamaaacacememeememL JL fR JuLdmR mddC CdtC CdtCC CdtC C)

7、(22ccamaummamdtdmTKuKdtdTdtdTT其中 和aaaRLT meamCCJRT 分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理得euCK1meamCCRK分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。控制系统的微分方程控制系统的微分方程Friday, January 14, 202213确定系统和各元部件的输入量和输出量。对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到

8、描述系统输入和输出关系的微分方程。线性系统微分方程的编写步骤线性系统微分方程的编写步骤 2.1.2、控制系统微分方程的建立 Friday, January 14, 202214例2-6：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载gueu-+1u- +2u 功率 放大器fu测速发电机cMau解：该系统的组成和原理； 该系统的输出量是 ，输入量是 ，扰动量是gucM线性系统微分方程的编写例子线性系统微分方程的编写例子例例2-6Friday, January 14, 202215线性系统微分方程的编写例子线性系统微分方程的编写例子例例2-6)()(1110000cCamggmaMMTKuuKKKKT

9、KTTm )(cgMugucM消去中间变量：推出 之间的关系：显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。efgukuuku111)()(1122uuku各环节微分方程：运放： ， 运放： 功率放大： ，反馈环节：电动机环节：23ukuaffku )(ccamanmmaMMTkukTTT 见例2-4测速au1u2ueugufu-cM运放运放功放电动机速度控制系统方块图：Friday, January 14, 2022163、线性系统的特性 (1)、线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。(2)、叠加原理具有可叠加性和均匀性。 Friday, January 14,

10、 2022174、线性定常微分方程的求解直接求解法、 换域求解法（Laplace 变换方法） 用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如下： 1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量，的代数方程； 2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。 Friday, January 14, 202218Friday, January 14, 202219 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性

11、便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化 5、非线性元件微分方程的线性化Friday, January 14, 202220 若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。 设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态

12、为工作点，如下图中的 。A点附近有点为 当 很小时，AB段可近似看做线性的。(,)B xx yy非线性环节微分方程的线性化非线性环节微分方程的线性化AByx00 xxx00y00yy)(xfy 0,0()A x yxFriday, January 14, 202221AByx00 xxx00y00yy)(xfy .)(|)(! 21)(|)()(20220000 xxdxxdfxxdxxdfxfyxxxx)(0, 0yxA设f(x)在 点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。 x)(|000 xxdxdyyyxxxKxdxdyyxx0|非线性环节微分方程的线性